2023-2024学年四川省眉山市仁寿重点中学高三（上）第一次调研数学试卷（理科）（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市仁寿重点中学高三(上)第一次调研数学

试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设全集〃=/?,集合4={x|当W0},集合BS1},则4n8是()

x一乙

A.(0,2]B.(2,e)C.(0,2)D.[—l,e)

2.已知复数Z],Z2在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1),则为=()

A.1+iB.-1+iC.-1—iD.1—i

3.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区

间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组，…，

第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的

有8人，则第三组中有疗效的人数为()

A.8B.10C.12D.18

4.若曲线丫=e^T+Znx在点(1,1)处的切线与直线x+ay=0平行，则a=()

A.-iB.iC.-2D.2

22

5.设双曲蜷l(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2/m，则双曲线的渐近线方程为

()

A.y=+V-2xB.y=±2%C.y=±孕无D.y=±|x

6.优章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不

更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各儿何？”意思是：“有大夫、

不更、簪凄、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数

列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为()

A.12B.23C.24D.28

7.0为坐标原点，尸为抛物线C：y2=8%的焦点，M为C上一点，若|MF|=6,则aMOF的面积为（）

A.4口B.2nC.4。D.8

8.若E为正方体力8。。一41当好。1的棱8名的中点，则异面直线4%与CE所成角的余弦值为（）

A.CB.土CTD.5

23510

9.已知定义在R上的奇函数/（乃满足/•（%+2）=-/（X）,当0<x<1时，/（x）=X2,贝好（2023）=（）

A.20192B.1C.0D.-1

10.如图，△ABC中，/BAC=j,AD=2DB，P为CD上一点，且满足Q=

g而，若力C=3,AB=4,则赤•荏的值为（）

C13

。~2

D焉

12

11.已知数列｛斯｝是等比数列，则下列结论：①数列｛磷｝是等比数列；②若。3=2,。7=32,则恁=±8：

③若数列｛an｝的前n项和Sn=+r,则r=—1；④若的<。2<&3,则数列｛%｝是递增数列；其中正确

的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

12.已知实数a,b,c满足ac=62,且a+b+c=ln（a+b）,则（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为

14.已知圆C：X2+、2-2万一4、+巾=0.若圆。与圆/）：（%+2）2+（7+2）2=4有三条公切线，则m的值为

15.已知tan(a+^)=—则sin2a=

16.已知某圆徘的内切球的体积为婴，则该圆锥的表面积的最小值为

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题12.0分)

在△力BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知A=ab=2，7c.

(I')^.tanCi

(II)若a=2，石，求△ABC的面积.

18.(本小题12.0分)

2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手

机、电视等方式观看相关比赛.某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，

否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得

到下表(单位：人):

冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计

女性2050

男性15

合计100

(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否为“冰雪运

动爱好者”有关？

(2)将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的

3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望E(X).

2

附：K2=(a+盛端篇位+小其中…+b+c+d.

P(K2>ko)0.050.0250.0100.0050.001

ko3.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小题12.0分)

如图1所示，梯形ABC。中，AB=BC=CD=2,AD=4,E为40的中点，连结BE,4c交于凡将AABE沿

BE折叠，使得平面ABE1平面BCDE(如图2).

(1)求证：AF1CD.

(2)求平面4尸C与平面AOE的夹角的余弦值.

AEDA

图I

图2

20.(本小题12.0分)

已知。为坐标原点，椭圆C：务，=l(a>b>0)的离心率为?，且经过点P"石,1).

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线，与椭圆C交于4,B两点,直线。4的斜率为%1，直线OB的斜率为七，且卜也=V,求画•南的取

值范围.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=xlnx—x+1,g(x)=minx+e~x(mG/?).

(1)求/(x)的最小值；

(2)若0<a<1,且加1=1，求证：logab>1；

(3)若g(x)有两个极值点与，x2,证明：l5(xi)-g(x2)l<1.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系中，以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点4的极坐标为

直线，的极坐标方程为pcos(0-：)=a,且点4在直线，上

(I)求。的值和直线I的直角坐标方程及，的参数方程；

(11)已知曲线0的参数方程为1二：曙；落，(a为参数)，直线均C交于M,N两点，求意+意的值

23.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=|x-1|+|x+2|.

(I)求不等式f(x)<5的解集：

(E)若不等式f(x)>x2-ax+1的解集包含［-1,1］，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：全集U=R,集合4={幻言WO}={x|—1Wx<2},

集合8={x\lnx<1}={x|0<x<10},

则力CB=(0,2).

故选：C.

求出集合A,集合B,利用交集定义能求出4nB.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：•••复数Zi，Z2在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1),

**•Z1=1+i,z2=i.

._1+i__i(l+0_.

,•—―7-11•.

Z2i-r

故选：D.

由已知条件可得Zi，Z2,然后代入记,再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别

为0.24,0.16,所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36,所以第三组的人数：18人，

第三组中没有疗效的有8人，

第三组中有疗效的有10人.

故选：B.

由频率=建舞:以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的

样本容量

人数得到答案.

本题考查频率分布直方图相关知识，属基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由丫=〃-1+仇工,得y'=eXT+%

y'\x=i=e°+1=2,

又曲线y=e，T+bix在点(1,1)处的切线与直线x+ay=0平行，

•••—-=2,即a=―"

a2

故选：A.

求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由两直线平行与斜率的关系列式求解.

本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了双曲线的几何性质，属于简单题.

由题意知b=i,c=q,a=7c2-b2=C，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为y=

,b,^2

=x-

【解答】

解：由已知得到b=1,c=a-Vc2—b2-，克，

因为双曲线的焦点在%轴上，

故渐近线方程为y=±gx=+

故选：C.

6.【答案】D

【解析】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成等差数列｛aj.

设公差为d(d>0),前n项和为S“.

由题意可知，a2=16,S5=100,

则S5=5a3=100»解得。3=20，所以d=a3—a2=4,

所以公士出的钱数为as=+2d=20+2X4=28.

故选：D.

设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列｛an｝,根据题意可求得值，然后可

求得正确选项.

本题考查等差数列应用，考查数学运算能力，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由抛物线的方程可得F(2,0),设点M(xo，y。)，

由抛物线的性质可得：|M可=&+2=6,得殉=4,|y0|=

所以△M。尸的面积S=1\0F\x\y0\=：x2x4c=4。.

故选：C.

首先根据焦半径公式求点M的坐标，再代入面积公式，即可求解.

本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：以。为原点，为支轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角

坐标系，

设正方体4BCD-4B1GD]的棱长为2,

则4(2,0,0),8i(2,2,2),C(0,2,0),E(2,2,1),

丽=(0,2,2).CE=(2,0,1)，

设异面直线A&与CE所成角为。，

|炳•函_

则。2_/"To

COSI砧H函——io

••・异面直线与CE所成角的余弦值为音.

故选：D.

以。为原点，为x轴，OC为y轴，0劣为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB】与CE

所成角的余弦值.

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运

算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

9.【答案】D

【解析】解：根据题意，函数/Q)是定义在R上的奇函数，则有所以/(一功=

又由/(#+2)=-f(x),则/(x+4)=/[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

故/(x)是周期为4的周期函数.

/(2023)=/(4x506-1)=/(-I)=-/(I),

因为0WxW1时，/(%)=i,则/(1)=I2=1,

故f(2023)=-/(I)=-1,

故选：D.

根据题意，结合函数的奇偶性可得/(%+4)=/[(X+2)+2]=-fix+2)=f(x),即可得f(x)是周期

为4的周期函数，由此可得“2023)=/(4x506-1)=/(-I)=一/⑴，结合函数的解析式计算可得答案.

本题考查函数的奇偶性和周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：因为而=2而,所以而=:四，

设而=kCD(0<k<l),

则加_前=k(AD-AC)，

又丽=m前+g加

所以(m-1)而+g希=k^AB-AC),

m—1=—k&1

12,,解得k=pm=-,

｛2=3k44

所以乔•AB=+^AB)-AB=^AB2+^AB•前=8+“4x3xcosg=号

v42724432

故选:B.

以荏，而为基底表示出Q，根据而=m前+g适可求m的值，再根据数量积的运算律计算即可.

本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：｛an｝是等比数列,设公比为q,

2

对于①，可得誓=(等l)2=q2,故数列｛成｝是等比数列，①正确；

对于②，a3-a5-al>0,a7-a5=al>0,故。3，a7>0,则<25>0,②错误；

n1

对于③，Sn=3-+r^a1=S1=r+l,若r=一1得的=0,不符合等比数列的性质，③错误;

-(a(q-1)>0

对于④，a1<a2<=%<fliQ<a[q7=(ax^fq-1)>0,

n2

若%>0=q>1,此时0n—a”_]=arq~•(q-1)>0.即｛an｝是递增数列，

n2

若%<0=>l>q>0,此时即-an_j=atq~•(q-1)>0,即｛%｝是递增数列,

故④正确.

故选:B.

根据等比数列及其前n项和的定义与性质一一判定即可.

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

12.【答案】A

【解析】【分析】

先证明)xW%—1,可得ln(a+b)工a+b—1,即Q+b+cWa+b—1,即cW—1,再结合ac=b?的条

件，即可求解.

本题考查数值大小的比较，需要需要熟练掌握不等式变换的公式，属于基础题.

【解答】解：令/(%)=Inx-%+1,则/(%)=：-1=9，

・••当OVxVl时,f(%)>0,当％>1时，f(x)<0,

・・•/(%)在(0,1)上单调递增，(1,+8)上单调递减，

故f(%)<f(l)=O

:.Inx<x—1,

Aln(a+b)<a+b—1,

，a+b+cWQ+b—1,即cW—1,

又1ac=b2>0,

Aa<0,

•・•a+b>0,

***b>—a>0,

:.b2>a1,

vac=b2,

・•・ac>a2-,

/.c<a<0,

c<a<b.

故选：A.

13.【答案】|

【解析】解：6名专家随机选取2人的情况有此=15种，其中甲、乙2人都未被选中的情况有废=6种，

则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为1-2=|.

故答案为：

先计算出甲、乙2人都未被选中的情况，再通过互斥事件关系即可得出甲、乙2人中至少有1人被选中的概率.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题.

14.【答案】一4

【解析】解：r圆C：x2+y2-2x-4y+m=0,(x—I)2+(y—2)2=5—m,(m<5).

・•・圆C的圆心为C(l,2),半径为V5—m，

•••圆。：(x+2)2+(y+2)2=4,.•.圆。的圆心为。(一2,—2),半径为2,

•••圆C与圆。有三条公切线，.••圆C与圆。相外切，

\CD\=J(1+2尸+(2+2/=V5-m+2，

解得m——4.

加的值为一4.

故答案为：-4.

根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.

本题考查两圆位置关系，圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.【答案】£

【解析】解：因为tan(a+》=—%

则鬻里=一号所以tan。=7,

1—tana3

2sinacosa2tana_2x7_7

sin2a=2sinacosa

sin2a+cos2a1+tan2a-1+49-25

故答案为：意.

由已知得出tcrna=7,然后根据倍角公式化简即可求解.

本题考查了两角和与差的三角函数的应用，二倍角公式，属于基础题.

16.【答案】327r

【解析】解：设圆锥的内切球半径为r,贝听兀/=券，解得「=2,

设圆锥顶点为4，底面圆周上一点为B,底面圆心为C,

内切球球心为D,内切球切母线4B于E,

底面半径BC=R>2,4BDC=3,

D

则tan。=,,又ZJ10E=兀-2。，

由已知ABDE,ABDC为直角三角形,

又DC=DE,BD=BD,

所以aBDE=^BDC,

所以BE=BC=R,4BDE=乙BDC=6,

所以乙4DE=7T-20,

故AB=BE+AE=R+2tan(n-20)—R—2tan29,

2tan0_R_4R

\^tan20=

l-tan20-1R2_4，_R2,

8R/?(屋+4)

故AB=R-

4-R2R2-4'

故该圆锥的表面积为5=学产+〃R2=黑'

令t=R2-4>0,则5=2"丁)2=27r(t+y+8)>27r(2JtXy+8)=32兀，

当且仅当£=芋，即£=4,/?=24时取等号.

故答案为：327r.

由球的体积公式求出内切球的半径，设底面半径为R,结合图形利用R表示母线48,根据圆锥表面积公式求

其表面积的解析式，利用基本不等式求其最小值.

本题主要考查球的体积，属于中档题.

17.【答案】解：（I）由5=2A/~~^C及正弦定理得=2y/~~2sinC-

・•・sinB=sin(午—C)=2yT~2sinC.

・••ycos。+^~sinC=2^J~2sinC•

cosC=­--sine•

即tcmC=

(II)va=2AT_5»且tcmC=g>0,则0VCV*

.「Isin3C-I_tan2cOo

StnC=JMc+cos2c="=R

由设7=旨入解得C=ASM^=2,

sinAsinCsinA

b=2y/~~2c=

•••S=gbcsinA=1x4^2x2x^=4.

即△ABC的面积为4.

【解析】(I)根据正弦定理以及三角形内角和，两角差的正弦公式的应用即可求得结论，

(II)利用同角三角函数关系式求得s讥C,再结合正弦定理求得c,进而求解结论.

本题主要考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查同角三角函数关系式的应用，考查计算能力，属于中档

题.

18.【答案】解:⑴2x2列联表:

冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计

女性203050

男性351550

合计5545100

此时烂=…黑荔峥)=吗黑55kX9.091>7.879,

所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与“冰雪运动爱好者”有关;

(2)由题意可得X〜8(3,|),

此时X的所有可能取值为0,1,2,3,

所以P(X=0)=以(|)。(|)3=备,P(X=1)=禺(|)1舄)2=哉,

P(X=2)=废(|)2(|)】=母，P(X=3)=琰|)3(|)。=蒜

则X的分布列为：

X0123

2754368

P

125125125125

故E(X)=3x|=|.

【解析】(1)由题意，补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解:

(2)先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力.

19.【答案】解：⑴证明：连接EC,则AABE、△BCE.^CDE均为正三角形，四边形4BCE为菱形,

AF1BE,CF1BE,

又••♦平面ABE，平面BCDE,平面4BEn平面BCDE=BE,AFu平面ABE,

：.AFJL平面BCDE,

又CDu平面BCDE,

AF1CD；

(2)由(1)知，FB,FC,FA两两垂直，于是以点F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则E(-1,O,O),。(一2,0,0),4(0,0,C)，

：.~ED=(-1,AT3,0),^4=(1,0,7~3).

设平面4DE的一个法向量为沅=(x,y,z),则1行,丝=一"+炉'=°,则可取记=(门,1,-1),

易知平面4FC的一个法向量为元=(1,0,0)，

设平面4FC与平面4DE的夹角为。，贝!Icos。=|cos<rn,n>|=|二||=\3''=上国，

111|m||n|1V5x15

・•・平面AFC与平面ZDE的夹角的余弦值为

【解析】(1)结合已知条件及面面垂直的性质定理证明4尸1平面8CDE,再由线面垂直的性质定理即可得证；

(2)根据题意建立合适的空间直角坐标系，求出平面4FC和平面40E的法向量，利用空间向量的夹角公式即

可得到答案.

本题考查线线垂直的判定以及面面垂直的性质定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想

象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题.

(£=*

20.【答案】解：(1)由题意，:，又。2=/+。2,解得a=3,b=q.

匕+记=1

所以椭圆C为(+4=1.

93

(2)设4(与,%),B(x2,y2)>

/y-kxt

若直线I的斜率存在，设l为y=kx+t,联立注+乃=],

消去y得：(1+3fc2)%2+6ktx+3t2—9=0,4=3+9fc2—t2>0,

则f:23,又后七=转=4

故y02=—：工1%2且。°，即3/—9。0，贝1]严03,又力=fcx1+3y2=kx2+t,

旭至+±22

所以ZlZZ—(-1+£)(依2+£)=k2+阳勺+%2)+£=+1+3/_t-9k=—工，

xtx2~xrx2-%ix2-3心-9-3产一9-3’

l+3/c2

整理得2t2=9/+323,则t22|且/>0恒成立.

OA-OB=%1打+y/2=x62-|xiX2=|/小=|•=3•卷=3(1-芬

Xt2>|,且t2义3,故3(1-1)6[—3,0)11(0,3).

当直线，的斜率不存在时.，©=/，、2=-71-又k比2=一号=V，又a+9=1，解得后=£则亦萌=

*一光=|*=3.

综上，雨•砺的取值范围为[-3,0)U(0,3].

【解析】(1)由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方程：

(2)讨论直线斜率的存在性，设4(孙乃),B(x2,y2)Rl^y=kx+t,联立椭圆方程，应用判别式求t、k的

关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表示得到刀.南关于t的关系式，进

而其范围，注意直线斜率不存在时的值.

本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范

围问题等知识，属于中等题.

21.【答案】(1)解:函数/。)的定义域为(0,+8),f(x)=Inx,

当久e(1,+8)时，f(x)>o,所以f(x)在(1,+8)上单调递增，

当％6(0,1)时,f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减，

所以/(x)在x=1时取得最小值0.

1

(2)证明：由(1)知/(%)=x/nx—％+130,所以仇%>1—[(久>0)，

由於平=1»得b>0且伍b=1—，，

所以/nbTna=lT-1na<0,即伍b<松，从而0<b<a<l,

所以logab>logaa=1.

(3)证明：依题意，g，(x)=£-2=0有两个不等正根%,x2,不妨设修<%2，

由g'(x)=£_±=0，得加=a，

设(p(x)=/，由d(x)=与，知9(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

且当汽6(0,+8)时，(p(x)>0,可得%1£(0,1),x26(1,4-00).

X1X2

g(%i)=rnlnx^+e~=g(%2)=rnlnx2+e~=划贷+\

令人(%)=隼口，则"(x)=

当％E(0,1)时，(1一%)"％<0,所以//(%)V0,

当％W(l,+8)时，(1一%)仇工<0,所以八'(x)V0,

所以九。)在(0,+8)上单调递减.

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因为0</<1,x2>1,所以九。1)>h⑴=；，o</i(x2)<八(1)=;•

由(2)当％>0时，有，nx>l—;，

所以In4>1—x,即一，nx>l-x,

X

所以"％<%—1,从而％/nx4-1<x(x—1)+1.

令沆(x)=+：+1(xe(0,1))'m'(x)=弋产-2<0)

所以m(x)在(0,1)上单调递减，

所以m(x)<m(0)=1,EP%(x-1)+1vex,

所以g(x])=笑泸<氏*<1，

所以；<9(,Xi)<1-0<g(x2)<；，

所以IgQi)-g(%2)l<1-

【解析】(1)利用导数确定函数的单调性，从而即可求得最小值；

(2)由(1)知/'(X)=xlnx-%+1>0,即仇x>1-^(0<x<l),由独平=1>得"b=1即bib<Ina,

从而0<bVQ<l,再由对数函数的性质可得logab>log。。=1,从而得证；

(3)依题意可得d(x)=g-盘=0有两个不等正根与,久2，不妨设与<X2，由g'(x)=0,得m=：设0(x)=:

利用导数可得匕6(0,1),%2G(l,+oo),令八。)=爷"，由导数可得h(x)在(0,+8)上单调递减，结合(2)

可得Rnx+1<%(%-1)+1,令m(x)==±l(xe(0,l))，利用导数得m(x)在(0,1)上单调递减，从而得

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"<g(xi)vi，0Vg。2)即可得证・

本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查不等式的证明，考查运算求