2024年中考数学复习（全国版）第30讲 投影与视图（讲义）（解析版）

第30讲投影与视图目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一图形的投影题型01平行投影题型02中心投影题型03正投影考点二几何体的三视图题型01判断简单几何体三视图题型02判断简单组合体三视图题型03判断非实心几何体三视图题型04画简单几何体的三视图题型05画简单组合体的三视图题型06由三视图还原几何体题型07已知三视图求边长题型08已知三视图求侧面积或表面积题型09求小立方块堆砌图形的表面积题型10已知三视图求体积题型11求几何体视图的面积题型12由三视图，判断小立方体的个数考点要求新课标要求命题预测图形的投影通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.本单元内容以考查几何体的三视图和正方体的展开图为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为3分，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择题出现的可能性较大，一般只考察基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.几何体的三视图考点一图形的投影投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）平行投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.

2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.图1图2【小技巧】1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.

4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）

中心投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

图3图4

【小技巧】1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.正投影的分类：1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.3）立体图形的正投影物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.投影的判断方法：1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．题型01平行投影【例1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（

）A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②【答案】B【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．【变式1-1】（2021·河北保定·统考二模）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．【详解】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；C．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．【变式1-2】（2023·吉林松原·统考二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB【答案】12【分析】设地面影长对应的树高为xm，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙上的影长CD【详解】解：设地面影长对应的树高为xm由题意得，x5解得x=10∵墙上的影子CD长为2m∴树的高度为10+2=12m故答案为：12．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．【变式1-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：9072解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，∵斜坡坡度i=1:0.75∴DECE∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，4m解得：m=20，∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160，过点F作FH⊥AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形，∴9072∴AH=9072×∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．题型02中心投影【例2】（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）下列现象中，属于中心投影的是（）A．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子C．灯光下演员的影子 D．中午小明跑步的影子【答案】C【分析】根据平行投影和中心投影的定义对各选项进行判断．【详解】解：A．白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；B．阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意；C．灯光下演员的影子为中心投影，所以C选项符合题意；D．中午小明跑步的影子为平行投影，所以D选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影．【变式2-1】（2022·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（

）A．B． C．D．【答案】D【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．【变式2-2】（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断．【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．故选：D．【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．【变式2-3】（2020·重庆南岸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P2,2处，木杆AB两端的坐标分别为0,1，3,1．则木杆AB在x轴上的影长CD为（

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明△ABP∼△CDP【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，根据题意得：AB∥∴△ABP∵P2,2，A0,1，B3,1∴PE=2，AB=3，ME=1，∴PM=1，∴ABCD=PM解得：CD=6，．故选：B【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．【变式2-4】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（

）

A．减少32米 B．增加32米 C．减少53米 D【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于

∵AB∥∴△AOB∽△COD∵EF=1米，OE=2米，则∴ABCD设AB=2k∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，

即AB=2k，C'D∴ABC则O'∴O'∴光源与小明的距离变化为：OE-故选：A．【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．【变式2-5】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且

(1)标出小华站在P处时，在路灯AC下的影子．(2)求两个路灯之间的距离．(3)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？【答案】(1)画图见解析(2)两路灯的距离为18m(3)当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是3.6m【分析】（1）连接CM并延长与AB交于点K，从而可得答案；（2）如图，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=1（3）如图，他在路灯AC下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得BN【详解】（1）解：如图，连接CM并延长与AB交于点K，线段PK即为小华站在P处时，在路灯AC下的影子

（2）如图，

∵PM∥∴△APM∴APAB=PM∴AP=∵QB=∴BQ=而AP+∴16∴AB=18答：两路灯的距离为18m（3）如图，他在路灯AC下的影子为BN，

∵BM∥∴△NBM∴BNAN=BMAC，即答：当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是3.6m【点睛】本题考查了相似三角形的应用，投影的含义，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．题型03正投影【例3】（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．【变式3-1】（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在F'处，点C落在C'处，AE=EF，(1)BD的长为______．(2)如图2，当AB=54①求∠ACB的度数；（参考数据：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．【答案】(1)250cm(2)①35°；②29484【分析】（1）根据题意可得BD=BF'+F'D，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在（2）①过点C作CG⊥AG，根据BC=AC，可得AG=②根据题意可知CG∥AF，则∠EAH=17.5°，根据EH=【详解】（1）解：∵BD=BF'+F'D当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F∴BD=BF（2）①如图，过点C作CG∵BC=AC∴AG=GBsin∴∠∴∠②如图，连接AF，过点E作EH⊥∵∴根据题意可知CG∴∠∵∴∴∴伞能遮雨的面积为29484【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．考点二几何体的三视图三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

三视图之间的关系：1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.

画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体

1）确定主视图的位置，画出主视图；

2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.由三视图确定几何体的方法：1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.题型01判断简单几何体三视图【例1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）下列图形中，主视图和左视图一样的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．【详解】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状．【变式1-1】（2021·河南驻马店·校联考一模）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（

）A．该圆锥的主视图是轴对称图形B．该圆锥的主视图是中心对称图形C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【答案】A【分析】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案．【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，故选A．【点睛】本题考查的简单几何体的三视图，同时考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2022·江苏无锡·统考一模）下列立体图形中，主视图是圆的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；圆柱的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；球体的主视图是圆，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．【变式1-3】（2023·江西上饶·校联考一模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．【变式1-4】（2023·河北沧州·校考一模）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，可得如下图形：故选：A．【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．题型02判断简单组合体三视图【例2】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．【详解】俯视图如图所示．故选：A．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．.注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．【变式2-1】（2022·山东德州·统考一模）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据简单几何体的三视图中俯视图从上面看得到的图形即可求解．【详解】解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐．故选C．【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义．【变式2-2】（2023·海南三亚·一模）如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．【详解】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，故选：A．【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．题型03判断非实心几何体三视图【例3】（2022·辽宁抚顺·统考二模）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．【变式3-1】（2021·安徽宿州·统考二模）如图所示，左边立体图形的俯视图为（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的用虚线表示．【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．【变式3-2】（2021·山东济南·统考一模）如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正视图可排除A与C，利用俯视图可排B，符合要求便可知．【详解】主视图是从前向后看，由于几何体是一个空心圆柱，看到两个实圆，即圆环，则A、C不正确，俯视图是从上向下看是长方形，空心圆柱有厚度，但看不到用虚线长方形画在实长方形的里边，则B不正确，D正确．故选择：D．【点睛】本题考查正视图与俯视图，立体图形的视图问题，掌握三视图的概念，会用视图选图是解题关键．【变式3-3】（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．【详解】该几何体的左视图如图所示：故选：D．【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示．题型04画简单几何体的三视图【例4】（2023·广东汕头·校联考二模）图中几何体的三视图是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为故选C【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．【变式4-1】（2022·贵州遵义·统考三模）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的有（

）A．1个 B．2个 C．3 D．4【答案】B【分析】分别得出三棱柱、球、圆柱体、正方体的三视图的形状，再判断即可．【详解】解：三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，三种视图不相同，球的主视图、左视图都是矩形，俯视图都是圆，三种视图相同，圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，三种视图不相同；正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，三种视图相同；所以三种视图相同的有2种，故选：B．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，明确球、圆柱、三棱柱、正方体的三视图的形状和大小是正确判断的前提．题型05画简单组合体的三视图【例5】（2022·山东青岛·二模）如图是由一些棱长均为1个单位长度的小正方体组合成的简单几何体．(1)画该几何体的主视图、左视图：(2)若给该几何体露在外面的面（不含底图）都喷上红漆，则需要喷漆的面积是；(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加块小正方体．【答案】(1)见详解；(2)27；(3)3．【分析】（1）根据三视图的概念求解可得；（2）将主视图、左视图分别乘2的面积，加上俯视图的面积即可得解；（3）若使该几何体主视图和左视图不变，只可在底层添加方块，可以添加3块小正方体．【详解】（1）如图所示：（2）解：（7×2＋4×2）×（1×1）＋5×（1×1）＝14＋8＋5＝27故答案为：27．（3）若使该几何体主视图和左视图不变，可在最底层从右数第一至三列的第一行各添加一个，添加3块小正方体．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了画三视图，解题的关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都化成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方体的数目及位置．【变式5-1】（2021·河北·模拟预测）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（

）A．仅主视图不同 B．仅俯视图不同C．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同【答案】D【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案．【详解】第一个几何体的三视图如图所示：第二个几何体的三视图如图所示：观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，故选D．【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确得出各几何体的三视图是解题的关键．【变式5-2】（2023·全国·一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．

(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；（2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案．【详解】（1）解：画出图如图所示：

；（2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正方体，故答案为：3．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．【变式5-3】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是2m

(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（π取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）【答案】(1)见解析(2)1628元【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．【详解】（1）如图，

（2）5×2×2+2×2×π32.56×50=1628（元）答：需要花费1628元．【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．【变式5-4】（2020浙江宁波·统考一模）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．【详解】试题分析：（1）观察平面展开图，侧面四个面是长方形，且上下两个底面也是长方形，所以折叠后能围成长方体．（2）根据图1所标注的相关线段的长度画出长方体，根据立体图形和相关线段的长度画出其左视图；（3）将给出的式子中10拆分成1+9，则所给式子写成两个完全平方式，因式分解后能求出a、b的值，则h的值就能求出，然后由长方体的表面积计算公式求解．试题解析：（1）由平面展开图得知，侧面四个面是长方形，且上下两个底面也是长方形，∴折叠后能围成长方体．（2）根据图1所标注的相关线段的长度和给出的视图画出长方体，是长宽高分别为4,5,2的长方体，则左视图是长为5，宽为2的长方形；画出图形，如图：（3）将给出的式子中10拆分成1+9，则所给式子写成两个完全平方式，（12a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则12a﹣1=0，b﹣3=0，∴a=2，b=3，所以h=a+b=2+3=5．所以此长方体的表面积为六个面的面积和：2（2×3+5×2+3×5）考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．题型06由三视图还原几何体【例6】（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（

）A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱【答案】A【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．故选：A．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（

）

A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】C【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．【详解】解：由三视图知，该几何体是三棱柱，故选：C．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【变式6-2】（2022·河南郑州·一模）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可．【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项，故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键．【变式6-3】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．题型07已知三视图求边长【例7】（2022·广东珠海·校考一模）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（

）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】D【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°，∴AD=故选D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【变式7-1】（2022·北京·校考一模）如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（

）A．2 B．3 C．3 D．3【答案】D【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利用三角函数解直角三角形即可【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF=12BD=3，则边长AB为连AC交BD于E，则AC⊥BD，由左视图得AE=CE=x，在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=32，AE=AB•cos30°=3即x=33故选择：D.【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．【变式7-2】（2020·山东聊城·统考一模）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为.（结果保留π）【答案】2【分析】先求出圆锥底面半径，然后根据扇形的弧长为圆锥底面的圆周长进行计算即可解答.【详解】解：因为圆锥的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，所以圆锥底面半径为：R＝1圆锥侧面展开扇形的弧长为圆锥底面的圆周长，所以，弧长为：2故答案为2【点睛】本题考查解直角三角形和圆锥三视图，熟练掌握是解题的关键.【变式7-3】（2022·山东青岛·统考一模）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为cm．【答案】7【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，由题意可得出：EQ=AB，∵EG=14cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=12×14=7（cm故答案为：7．【点睛】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键．题型08已知三视图求侧面积或表面积【例8】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2【答案】B【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝12×π×6×8＝24π（cm2故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．【变式8-1】（2020·广东茂名·校联考模拟预测）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主=xA．x2+3x+2 B．x2+2【答案】C【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【详解】解：∵S主=x∴俯视图的长为x+3，宽为x∴S俯故选：C【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．【变式8-2】（2021·宁夏吴忠·统考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【答案】3π+4【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为1，故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，故答案为：3π+4．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大．题型09求小立方块堆砌图形的表面积【例9】（2020·江苏南京·统考一模）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是．【答案】28或30【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加解答即可．【详解】解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案为：28或30．【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是cm2．【答案】252【分析】根据正方体6个外表面的面积、9个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可．【详解】解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），9个内孔的内壁的面积为1×1×4×4×9﹣1×1×4×6＝120（cm2），因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为132+120＝252（cm2），故答案为：252．【点睛】本题考查正方体的表面积，求出“内孔”的内壁面积是解决问题的关键．【变式9-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图是由10个边长为2cm的小正方体组合成的简单几何体．(1)画出该几何体从三个方向看到的形状图；(2)该几何体的表面积（含底面）是______．【答案】(1)见解析(2)152【分析】（1）根据三视图的画法画出相应的图形即可；（2）根据三视图求解几何体表面积即可．【详解】（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示：（2）该几何体的表面积为6×2+6×2+6×2+1+1×4=152故答案为：152cm【点睛】本题考查三视图的画法、求简单几何体的表面积，熟练掌握三视图的画法，解答的关键是注意不要遗漏中间两个正方形的面积．【变式9-3】（2024·河南平顶山·统考一模）把边长为1个单位的6个相同正方体摆成如图的形式．

（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（2）直接写出该几何体的表面积为______；（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．【答案】（1）见解析；（2）21；（3）2．【分析】（1）利用三视图的画法解题；（2）利用几何体的形状计算其表面积；（3）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置．【详解】(1)如图，(2)几何体的表面积：4+3+3+4+5+2=21故答案为：21；(3)最多可以再添加2个正方体，如图，故答案为：2．【点睛】本题考查作图—三视图、几何体的表面积等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．题型10已知三视图求体积【例10】（2023·河北·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（

）A．12π B．18π C．24π【答案】B【分析】根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积．【详解】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6．空心圆柱体的体积为π×(42)2×6-π×(故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象．【变式10-1】（2021·内蒙古包头·统考二模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．2 C．2 D．4【答案】B【分析】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，则，等腰直角三角形的底面积=1体积=底面积×高=1×2=2，故选：B【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题的关键．【变式10-2】（2022·河北石家庄·统考二模）如图是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．【详解】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1＝4个小正方体，第二层有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1＝5个．∴这个几何体的体积是5×13＝5，故选：B．【点睛】本题考查了对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．【变式10-3】（2022·山东青岛·统考一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【答案】48-3【分析】根据三视图确定几何体的形状为一个正方体中间去掉一个圆柱体，根据三视图数据计算体积．【详解】解：由三视图可知，原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，正方体的边长为1+2+1=4，圆柱体的直径为2，两者的高度都为3，∴该几何体的体积为42×3-π故答案为：48-3π【点睛】此题考查了几何体的三视图，计算几何体的体积，正确掌握几何体的三视图的理解是解题的关键．【变式10-4】（2022·云南德宏·统考模拟预测）如图，图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的等腰三角形．若主视图腰长为6，俯视图是直径等于4的圆，则这个几何体的体积为．【答案】16【分析】先由三视图判定几何体是圆锥，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后由圆锥的体积公式计算即可．【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆锥，圆锥的高为：6∴V=13故答案为：162【点睛】本题考查由三视图判定几何体，圆锥的计算，由三视图判定几何体是圆锥，根据三视图求出圆锥的高是解题的关键题型11求几何体视图的面积【例11】（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（

）A．12 B．15 C．20 D．60【答案】B【分析】根据左视图与主视图宽相等，主视图与俯视图长相等，确定主视图的长、宽，即可求解．【详解】由左视图和俯视图可得：主视图的长为5，宽为3，∴主视图的面积为3×5=15，故选B．【点睛】本题考查了三视图及其之间的数量关系，熟练掌握三视图的特点是解题的关键．【变式11-1】（2021·贵州毕节·统考一模）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（

）A．4 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可．【详解】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，该几何体的左视图为长方形，该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，∵底面等边三角形的高=2×sin∴它的左视图的面积是23故选：D．【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体的长、宽、高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．【变式11-2】（2022·山西·三模）如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】首先根据组合体画出它的俯视图，再求俯视图的面积即可求得．【详解】解：该组合体的俯视图为：故该组合体的俯视图的面积为：1×1×3=故选：B【点睛】本题考查了组合体的俯视图，熟练掌握和运用画组合体的俯视图的方法是解决本题的关键．【变式11-3】（2020·江苏无锡·统考一模