2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）期末押题培优02卷（考试范围：1.1-6.7）含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练期末押题培优02卷（考试范围1.1-6.7）一、单选题(共18分)1．(本题3分)方程的解为（

）A．， B．， C．， D．，2．(本题3分)抛物线的顶点坐标是（）A．（，−2） B．（，2） C．（0，−2） D．（0，2）3．(本题3分)如图，已知，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．＝1：44．(本题3分)已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（

）A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.85．(本题3分)如图，四边形是⊙O的内接四边形，连接．若，则的度数为（）A．72° B．108° C．144° D．150°6．(本题3分)如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图像与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(共30分)7．(本题3分)若=，则=___________.8．(本题3分)某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置（如图所示），若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长约为_____米．（倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号）9．(本题3分)为方程的两根，则的值为_____．10．(本题3分)设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开后平面图为一个半圆，则此圆锥的侧面积是____________.11．(本题3分)将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是______．12．(本题3分)汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是，汽车从刹车到停下来滑行了______米．13．(本题3分)如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、B、C及点D、E、F，且，，，则___________.14．(本题3分)二次函数的部分对应值如表：01234512500512利用二次函数的图象可知，当函数值时，x的取值范围是__________．15．(本题3分)如图，AB是的直径，点E、C在上，点A是弧EC的中点，过点A画的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，若，则______°．16．(本题3分)如图，等边的边长是，点是线段上一动点，连接，点是的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是直角三角形时，则线段的长度为______．三、解答题(共92分)17．(本题6分)解方程：(1)(2)18．(本题8分)某公司在新冠疫情后投入复工复产中，现有甲、乙两家农副产品加工厂到该公司推销猪蹄，两家猪蹄的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的猪蹄，检查人员从两家分别抽取200个猪蹄，然后再从中随机各抽取10个，记录质量如下（单位：克）：甲加工厂73787675727775757574乙加工厂75757574747478787374(1)根据表中数据，求甲加工厂的10个猪蹄质量的中位数、众数、平均数．(2)估计乙加工厂这200个猪蹄中，质量为75克的猪蹄有多少个？(3)根据猪蹄质量的稳定性，该公司应选购哪家加工厂的猪蹄？19．(本题8分)小明在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、-4、-3.现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后小明任意从中抽出一张，放回搅匀后再任意抽出一张记下数字．(1)第一次抽到写有正数的卡片的概率是；(2)用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率．20．(本题8分)如图，内接于，是的直径，直线与相切于点，在上取一点使得，线段，的延长线交于点．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留．21．(本题8分)如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC下方抛物线上一点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，与直线AC相交于点F．(1)求直线AC的解析式；(2)当线段DF的长度最大时，求点D的坐标．22．(本题8分)如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．23．(本题8分)如图所示：笔直的公路边有甲、乙两栋楼房，高度分别为和，两楼之间的距离为，现有一人沿着公路向这两栋楼房前进，当他走到与甲楼的水平距离为且笔直站立时（这种姿势下眼睛到地面的距离为），他所看到的乙楼上面的部分有多高？24．(本题8分)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060(1)直接写出y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？25．(本题8分)已知二次函数．(1)二次函数图象的对称轴是；(2)当时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式．26．(本题10分)如图，点P在y轴的正半轴上，交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．(1)求证：；(2)求证：；(3)______°；(4)若，，则△GDC的面积为______．27．(本题12分)如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）（1）特例探究：如图，当点在射线上时，______，点到直线的距离是______；变式研究：当点在上方时，（2）如图，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；（3）当圆与边相切时，求线段的长；（4）若点到的距离为，直接写出点到的距离．期末押题培优02卷（考试范围1.1-6.7）一、单选题(共18分)1．(本题3分)方程的解为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】把方程两边开方得到x+1＝±3，然后解两个一次方程即可．【详解】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．2．(本题3分)抛物线的顶点坐标是（）A．（，−2） B．（，2） C．（0，−2） D．（0，2）【答案】C【分析】由二次函数解析式求解．【详解】解：，顶点坐标为，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点式求抛物线的顶点坐标．3．(本题3分)如图，已知，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．＝1：4【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DEBC，∴．∴．∴A选项的结论错误；∵DEBC，∴．∴．∴B选项的结论正确；∵DEBC，∴．∴．∴C选项的结论错误；∵DEBC，∴∴．设，则，∴，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．4．(本题3分)已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（

）A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8【答案】C【分析】先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可．【详解】一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，，解得，这组数据为：5，8，8，9，10，极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意；众数是8，故B选项正确，不符合题意；中位数是8，故C选项错误，符合题意；方差=，D选项正确，不符合题意；故选C．【点睛】此题考查了极差、众数、中位数以及方差的定义，熟练掌握并运用平均数、众数、中位数以及极差的概念是解题的关键．5．(本题3分)如图，四边形是⊙O的内接四边形，连接．若，则的度数为（）A．72° B．108° C．144° D．150°【答案】C【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出∠D的度数，再根据圆周角定理得出，再求出答案即可．【详解】解：∵四边形是⊙O的内接四边形，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．6．(本题3分)如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图像与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据二次函数与不等式的关系，二次函数与一元二次方程判断甲、乙，根据抛物线与x轴的交点坐标得出其对称轴，从而得出和的关系，进而判断丙和丁．【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴，故甲同学结论正确；∵抛物线与x轴相交于点，，根据函数图像可得，当时，或，故乙同学结论错误；∵抛物线与x轴相交于点，，∴抛物线的对称轴为，即，∴，即，故丙同学结论错误；当时，，即，∵时，，∴，故丁同学结论正确；综上，正确的结论有甲、丁两位同学的两个结论，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，根据二次函数的性质准确判断式子的符号是解本题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共30分)7．(本题3分)若=，则=___________.【答案】【分析】根据比例的性质可得，代入计算即可求解．【详解】解：∵=，设，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．8．(本题3分)某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置（如图所示），若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长约为_____米．（倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号）【答案】3##【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程xx＝2，然后解方程即可．【详解】解：设该车车身总长为xm，∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为x，∴xx＝2，解得x3，即该车车身总长为（3）米．故答案为：3．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．9．(本题3分)为方程的两根，则的值为_____．【答案】2028【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，可得，，进而即可求解．【详解】解：∵为方程的两根，∴，，∴，∴．故答案为：2028．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，熟练掌握元二次方程根与系数的关系是关键．10．(本题3分)设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开后平面图为一个半圆，则此圆锥的侧面积是____________.【答案】20【分析】根据圆锥底面周长得到半径和母线的关系，然后计算侧面积即可；【详解】解：∵侧面展开图是半圆，∴∴∵∴故答案为20；【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．11．(本题3分)将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是______．【答案】【分析】根据原抛物线的顶点坐标为，平移后的顶点坐标为，代入顶点式即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标为，则平移后的解析式为：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的平移，也考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为：，顶点为，则二次函数的平移也可看作顶点的平移．12．(本题3分)汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是，汽车从刹车到停下来滑行了______米．【答案】【分析】当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，则顶点纵坐标的值即为所求．【详解】解：∵，∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来，∴汽车从刹车到停下来滑行了米，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．(本题3分)如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、B、C及点D、E、F，且，，，则___________.【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，即可求得的长，据此即可求得．【详解】解：，，得，解得，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14．(本题3分)二次函数的部分对应值如表：01234512500512利用二次函数的图象可知，当函数值时，x的取值范围是__________．【答案】【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x=1，，开口向上，与x轴交于、（3，0）两点，则时，x的取值范围即可求出．【详解】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线，∴顶点坐标为（1，−4），∴，开口向上，∴根据抛物线的对称性知：与x轴交于、（3，0）两点，则当函数值时，x的取值范围是：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性进行解题．15．(本题3分)如图，AB是的直径，点E、C在上，点A是弧EC的中点，过点A画的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，若，则______°．【答案】31【分析】连接AE，根据切线的性质可求出，即可求出．再根据圆周角定理即可求出．由点A是弧EC的中点，可证明，即得出，从而可求出．【详解】如图，连接AE，∵AD为圆O切线，∴，∴，∴，∵点A是弧EC的中点，即，∴，∴，∴，故答案为：31．【点睛】本题考查圆的相关知识，涉及圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质等知识．连接常用的辅助线是解题关键．16．(本题3分)如图，等边的边长是，点是线段上一动点，连接，点是的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是直角三角形时，则线段的长度为______．【答案】或【分析】是直角三角形分三种情况讨论：①当时，当点在上时，根据等边三角形的性质得，根据旋转的性质得，根据等腰三角形三线合一，得．②延长到使，连接、，过作交延长线于，根据相全等三角形的判定得≌，即，设，则，由旋转性质得出，再由相似三角形的判定得出∽，再由相似的性质得出，即；③当时，，不成立．【详解】解：当时，当点在上时，是等边三角形且边长为，，，，旋转得到线段，，，，，是的中点，，，即时，，；，如图，延长到使，连接、，过作交延长线于，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，即，在和中，，≌，，，，，，，，设，则，是中点，，由旋转性质可知，，，，，∽，，，，，，，；当时，，，不成立，综上，或；故答案为：或．【点睛】本题考查等边三角形中动点的旋转问题．通过旋转构造另外的等边三角形以及全等手拉手模型，本题考查的知识较为综合，难度较大，通过分类讨论确定动点的位置，熟记旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题(共92分)17．(本题6分)解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用配方法解该方程比较简单．（2）用直接开方法解该方程比较简单．（1）解：==∴，（2）解：或∴，【点睛】本题考查了解一元二次方程的解法，掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，能够根据方程选取合适的解法是解题关键．18．(本题8分)某公司在新冠疫情后投入复工复产中，现有甲、乙两家农副产品加工厂到该公司推销猪蹄，两家猪蹄的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的猪蹄，检查人员从两家分别抽取200个猪蹄，然后再从中随机各抽取10个，记录质量如下（单位：克）：甲加工厂73787675727775757574乙加工厂75757574747478787374(1)根据表中数据，求甲加工厂的10个猪蹄质量的中位数、众数、平均数．(2)估计乙加工厂这200个猪蹄中，质量为75克的猪蹄有多少个？(3)根据猪蹄质量的稳定性，该公司应选购哪家加工厂的猪蹄？【答案】(1)中位数是75；众数是75；平均数75(2)质量为75克的猪蹄有60个(3)选乙，理由见解析【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可（2）用总数乘以质量为75克的猪蹄所占百分比即可（3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案（1）解：从小到大排列：72，73，74，75，75，75，75，76，77，78．∴中位数是，众数是：75平均数：（2）解：（个）答：质量为75克的猪蹄有60个（3）解：∴∵乙的平均值为：∵甲，乙平均值一样，乙的方差比甲的方差小∴乙更稳定∴选购乙加工厂的猪蹄．【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．19．(本题8分)小明在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、-4、-3.现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后小明任意从中抽出一张，放回搅匀后再任意抽出一张记下数字．(1)第一次抽到写有正数的卡片的概率是；(2)用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）用正数的个数除以数字的总个数即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．（1）解：第一次抽到写有正数的卡片的概率是，故答案为：；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为负数的有4种结果，所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．20．(本题8分)如图，内接于，是的直径，直线与相切于点，在上取一点使得，线段，的延长线交于点．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，由DA＝DC得∠DCA＝∠DAC，由OA＝OC得∠OCA＝∠OAC，而直线l与⊙O相切于点A，则∠OCD＝∠OAD＝90°，可证得直线DC是⊙O的切线；（2）先证明△BOC是等边三角形，则OC＝BC＝4，再根据勾股定理求出CE的长，由S阴影＝S△COE−S扇形COB求出图中阴影部分的面积即可．（1）证明：如图，连接OC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC，∴∠OCD＝∠OAD，∵直线l与⊙O相切于点A，∴直线l⊥OA，∴∠OCD＝∠OAD＝90°，∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，∴直线DC是⊙O的切线.（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∵∠OCE＝90°，∠COE＝60°，∴∠E＝30°，∴OE＝2OC＝2×4＝8，∴CE＝，∴S阴影＝S△COE−S扇形COB＝．【点睛】此题考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、扇形的面积计算等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．21．(本题8分)如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC下方抛物线上一点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，与直线AC相交于点F．(1)求直线AC的解析式；(2)当线段DF的长度最大时，求点D的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线AC的解析式；（2）设点D的横坐标为m，得到点D的坐标，进而得到点F的坐标，设DF的长度为d，构建二次函数即可解决问题．（1）22．解：∵抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，令∴∴，可得，解得或，∴，．令，得，∴，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为；（2）解：设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，F的纵坐标为，∴．当时，有最大值，当时，．∴．【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法，二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．22．(本题8分)如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【答案】(1)见解析(2)1：3【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，则DE=x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴，即，∴AE=x，∴DE=AD-AE=，∴AE：DE==1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．23．(本题8分)如图所示：笔直的公路边有甲、乙两栋楼房，高度分别为和，两楼之间的距离为，现有一人沿着公路向这两栋楼房前进，当他走到与甲楼的水平距离为且笔直站立时（这种姿势下眼睛到地面的距离为），他所看到的乙楼上面的部分有多高？【答案】【分析】作，交于M，如图，把题中数据与几何图中的线段对应起来，,点A、E、C共线，则，，然后证明，利用相似比计算出，再计算进行计算．【详解】解：作，交于M，如图，，点A、E、C共线，则，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即他所看到的乙楼上面的部分有7.8m高.【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区．合理使用相似的知识解决问题．24．(本题8分)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060(1)直接写出y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)(2)当时，W取得最大值为1750【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得二次函数解析式，将其配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结果．（1）解：设，将代入得：解得：∴；（2）解：由题意可得：，∵，∴当时，W随x的增大而增大，∵，∴当时，W的最大值，∴W的最大值为1750，答：售价为65元时获得最大利润，最大利润是1750元．【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解答本题的关键．25．(本题8分)已知二次函数．(1)二次函数图象的对称轴是；(2)当时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二次函数的性质解答即可；（2）利用二次函数的性质分别求得y的最大值与最小值，利用已知条件列出关于a的方程，解方程即可求得结论．（1）解：二次函数图象的对称轴是：．故答案为：；（2）∵，又∵，∴当时，y取得最小值为．由（1）知：抛物线y＝ax2+2ax﹣2的对称轴为直线，∵，∴二次函数在范围内，当时y取得最大值为，∵当时，y的最大值与最小值的差为3，∴，解得．∴二次函数的表达式为．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．26．(本题10分)如图，点P在y轴的正半轴上，交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．(1)求证：；(2)求证：；(3)______°；(4)若，，则△GDC的面积为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45(4)15【分析】（1）连接AB，由圆的轴对称性可得AB=AC，则AB=AD，即可证明结论；（2）由∠ACD=∠ADC，∠ACF=∠ADF，则有∠ACD－∠ACF=∠ADC－∠ADF，即∠FCD=∠FDC，得CF=DF；（3）连接AF，由（2）知CF=DF，则AF是CD的垂直平分线，得AF平分∠CAD，再利用圆周角定理可得答案；（4）作CH⊥BD于H，利用勾股定理可得，，，再由△DCG∽△DBC，得，代入求出DG的长，从而得出答案．（1）证明：如图，连接AB，∵OP⊥BC，∴BO＝CO，∴AB＝AC，又∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABD＝∠ACF，∴∠ACF＝∠ADB；（2）解：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACF＝∠ADF，∵∠ACD－∠ACF＝∠ADC－∠ADF，∴即∠FCD＝∠FDC，∴CF＝DF；（3）解：如图，连接AF，由（2）知CF＝DF，∴点F在CD的垂直平分线上，∵AC=AD，∴点A在CD的垂直平分线上，∴AF是CD的垂直平分线，∴AF平分∠CAD，∴，∴∠CBD＝∠CAF＝45°，故答案是：45；（4）解：如图，作CH⊥BD于H，∵OB=OC=3，∠DBC=45°，∴，∵OA=6，OC=3，∴，∴，∴，∴，∵∠ACD=∠DBC，∠CDG=∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴，即：，∴，∴．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的对称性、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等，利用前面探索的结论解决新问题是解题的关键．27．(本题12分)如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）（1）特例探究：如图，当点在射线上时，______，点到直线的距离是______；变式研究：当点在上方时，（2）如图，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；（3）当圆与边相切时，求线段的长；（4）若点到的距离为，直接写出点到的距离．【答案】（1），；（2）；（3）；（4）【分析】（1）在中，用勾股定理求的长；过点作交于，证明≌，则可求；（2）过点作交于，过点作交于，可证明，从而求出，再证明，可求，则；（3）设切点为，延长交延长线于点，过点作交于，再求的长即可；（4）分两种情况讨论：当在左侧时，过作交于，交于，交于，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明≌，再求；当点在右边时，过作交于，交于，过点作交于，交于，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明≌，可求点到直线的距离为．【详解】解：，，，，，，，如图，过点作交于，，，，，，≌，，故答案为：，；，，，在中，，，如图，过点作交于，过点作交于，，∽，，，，，，，∽，，即，，：：：；圆与边相切，设切点为，则，如图，延长交延长线于点，过点作交于，，，，，，，，；如图，当在左侧时，过作交于，交于，交于，交于点，四边形是矩形，四边形是矩形，，，，在中，，，，，，，，≌，，点到的距离；如图，当点在右边时，过作交于，交于，过点作交于，交于，四边形是矩形，四边形是矩形，，，，，，，，，≌，，，点到直线的距离为；综上所述：点到直线的距离为或．【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握圆的性质，圆与直线的位置关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形勾股定理，数形结合，分类讨论是解题的关键．专题01二次函数中的铅垂线段1．如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标；(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．2．如图，抛物线与轴交、两点，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．(1)求抛物线及直线AC的函数表达式；(2)若P点是线段AC上的一个动点，过P点作轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．4．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值．5．如图，抛物线经过点和点．(1)试确定抛物线与直线的函数解析式；(2)已知直线与直线交于点M，与抛物线交于点N，若点M，N之间的距离为d，请写出d关于m的函数解析式，并求m为何值时，d有最大值，最大值是多少？6．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．7．如图，在直角坐标系中，抛物线＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）写出抛物线顶点D的坐标；（2）点D1是点D关于y轴的对称点，判断点是否在直线AC上，并说明理由；（3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．8．如图，直线与抛物线相交于和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点求抛物线的解析式是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线分别交轴、轴于点、，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．若．（1）求抛物线的解析式；（2）当线段的长度最大时，求点的坐标；10．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式；（2）若直线l⊥x轴，且直线l在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值，并求出此时点M，N的坐标．11．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．12．对称轴为直线的抛物线y=x2+bx+c，与轴相交于，两点，其中点的坐标为（3，0）．（1）求点的坐标．（2）点是抛物线与轴的交点，点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．13．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上；（1）求抛物线的解析式；（2）若点是直线下方的抛物线上的一动点，过作轴的平行线与线段交于点，求线段的最大值．14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．（1）直线BC的解析式为________．（2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．专题01二次函数中的铅垂线段1．如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标；(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．【答案】(1)(2)(3)最大值是，最小值是4【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答；（2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；（3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答．（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上，∴设抛物线的解析式为，把点、代入中可得：，解得：舍去或，∴，∴抛物线的解析式为：；（2）把代入中可得：，∴，∴点的坐标为；（3）设的解析式为：，把点、代入中可得：，解得：，∴的解析式为：，∵点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴，∴当时，，，∴，当时，，，∴，当时，，，∴，设，，∴，当时，的最大值为：，∴的最大值是，最小值是4．【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．如图，抛物线与轴交、两点，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．(1)求抛物线及直线AC的函数表达式；(2)若P点是线段AC上的一个动点，过P点作轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．【答案】(1)，y=﹣x﹣1(2)【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．(1)解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为．将C点的横坐标x=2代入，得y=-3，∴C（2，-3）；设直线AC的解析式为，把点A（﹣1，0），C（2，-3）代入得：，解得：，∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；(2)解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P（x，﹣x﹣1），F（x，）；∵P点在E点的上方，∴PF=（﹣x﹣1）﹣（）=，∴当x=时，PF的最大值为．【点睛】此题考查了一次函数、二次函数解析式的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）求出直线AC的表达式为y＝x－3，设点，则点，表示出，所以当时，PD的最大值为．此时，点P的坐标．（1）解：将点A，C的坐标代入函数表达式，得，解得：，∴函数的表达式为．（2）解：设直线AC的表达式为y＝kx＋m，则，解得：，∴直线AC的表达式为y＝x－3．设点，则点，∴．∵，抛物线开口向下，∴当时，PD的最大值为．此时，点P的坐标．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，表述出，掌握二次函数的性质．4．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值．【答案】(1)，(2)线段长度有最大值为【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解出二次函数解析式，再求出点D的坐标，即可求出直线BD的解析式；（2）设P点的横坐标为，则，则，由此求解即可．（1）设二次函数的解析式为：将B的坐标代入得：∴二次函数的解析式为：即：，∵点D是二次函数与y轴的交点，∴D点坐标为：设直线的解析式为：将B的坐标代入得：∴直线的解析式为：；（2）解：设P点的横坐标为，则，∴，∵，∴当时，线段长度有最大值为．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，熟知一次函数与二次函数的相关知识是解题的关键．5．如图，抛物线经过点和点．(1)试确定抛物线与直线的函数解析式；(2)已知直线与直线交于点M，与抛物线交于点N，若点M，N之间的距离为d，请写出d关于m的函数解析式，并求m为何值时，d有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)，当时，d有最大值，最大值是4【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线和直线的解析式；（2）将点M和N的纵坐标用含m的式子表示出来，即可确定d和m之间的关系，再由二次函数的性质即可得出答案．（1）解：∵抛物线经过点和点，∴，解得，∴抛物线的函数解析式为；设直线的函数解析式为，根据题意得，解得，∴直线的函数解析式为；（2）解：当时，，∴点M坐标为；，∴点N坐标为.∴；，∵，∴抛物线开口向下，又，∴当时，d有最大值，最大值是4．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，关键是要会用待定系数法求函数的解析式，能根据横坐标求出对应函数图象上点的坐标．6．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．【答案】（1）；（2）P【分析】（1）将将A（-1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中进行计算即可得；（2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中得点C的坐标为（2，-3），设直线AC的解析式为y=kx＋d，将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得直线AC的解析式为，设点P的坐标为（x，），则点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，即可得PE=，根据二次函数的性质进行解答即可得．【详解】解：（1）将A（-1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得解得：，∴抛物线的解析式为；（2）将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得∴点C的坐标为（2，-3），设直线AC的解析式为y=kx＋d，将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得解得：，∴直线AC的解析式为，设点P的坐标为（x，），则点E的坐标为（x，）且-1≤x≤2，∴PE=－==∵-1＜0，∴抛物线的开口向下，∴当时，PE有最大值，最大值为此时点P的坐标为（，）．【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质．7．如图，在直角坐标系中，抛物线＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）写出抛物线顶点D的坐标；（2）点D1是点D关于y轴的对称点，判断点是否在直线AC上，并说明理由；（3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．【答案】（1）；（2）点在直线上，理由见解析；（3）【分析】（1）根据二次函数的解析式直接写出即可；（2）先根据二次函数求出A、C的坐标，再用待定系数法确定直线AC的关系式，再求出点，把它代入直线判断是否再直线上；（3）设，则，，求出线段的表达式，即可求解．【详解】解：（1）抛物线，则顶点坐标为（2）点在直线上，理由如下：将代入抛物线解析式，可得，即将代入抛物线解析式，可得，解得，即设直线解析式为，将和代入解析式得，解得，即解析式为由（1）得，则当时，∴点在直线上（3）抛物线解析式点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方设，则，所以，线段EF的最大值为．【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意求出与坐标轴的交点，数形结合的思想表示出线段是解题的关键．8．如图，直线与抛物线相交于和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点求抛物线的解析式是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】；存在，最大值为；理由见详解．【分析】（1）根据题意先求出直线的解析式，然后把点代入直线解析式求解，最后求出抛物线解析式即可；（2）由（1）可设点，则点C可用含k的代数式表示出来，进而根据两点距离得到PC的长，最后根据二次函数的性质求解最值即可．【详解】解：（1）把点代入直线得：，解得，，把代入直线解析式得：，即，把，代入抛物线得：，解得，抛物线解析式为；（2）存在，最大值为；理由如下：由（1）及题意可设点，则点，，，开口向下，当时，PC为最大值，即．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．9．如图，已知抛物线分别交轴、轴于点、，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．若．（1）求抛物线的解析式；（2）当线段的长度最大时，求点的坐标；【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标是．【分析】（1）把、可得关于的方程组，结合可求得的值，从而得出答案；（2）先根据点的坐标得出直线解析式，设点坐标为，则，从而得出，即可得出答案；【详解】解：（1）把、代入，得，∵，∴，∴抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，设点坐标为，则，∴，∴当时，线段的长度最大，此时点的坐标是．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质．10．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式；（2）若直线l⊥x轴，且直线l在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值，并求出此时点M，N的坐标．【答案】（1）A（3，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）MN有最大值，M，N.【分析】(1)求出B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，待定系数法求解析式；(2)M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，M在点N的上方，MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣)2+，由0＜a＜3，即可求MN的最大值；【详解】(1)由y＝﹣x2+2x+3可得：B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，设直线AB的解析式y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+3；(2)设直线l的解析式为x＝a，∴0＜a＜3，∴M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，∵MN在第一象限，∴点M在点N的上方，∴MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣)2+，∴当a＝时，MN有最大值，∴N(，)，M(，)；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数的图象及性质；掌握待定系数法求解析式，利用二次函数求最大值是解题的关键．11．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（