2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题16 网格中的相似含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题16网格中的相似1．如图，在的正方形方格中，的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，D在边格点上，请用无刻度直尺在边上找点E，使得与相似．2．在的网格中，格点的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：的面积为___________．(2)请利用网格再画一个格点，且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）3．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（1）∠ACB的大小为_____（度）；（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）_____．5．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比．(3)在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．6．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在上画一点，使；(2)在图②中，在上画一点，使：：；(3)在图③中，在内画一点，使：：：：．7．如图，A、B在圆形方格网横线上，点C、D是直径AB与网格横线的交点，则BC：CD：DA为（

）A．3：4：5 B．1：3：2 C．1：4：2 D．3：6：5第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共0分)8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．（1）的长等于________；（2）M是线段与网格线的交点，P是外接圆上的动点，点N在线段上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________．9．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点均落在格点上，为⊙的直径．（1）的长等于__________；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为斜边、面积为的，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，是一条小河平行的两岸.(Ⅰ)的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥(点在上，点在上，桥的宽度忽略)，使最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点，的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.11．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点，，均为格点，点，分别为线段，上的动点，且满足．(1)线段的长度等于__________；(2)当线段取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段和，并简要说明你是怎么画出点Q，P的：_______________________．三、解答题(共0分)12．如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上(1)请在图2中画一个，使得，且相似比为；(2)请在图3中画一个，使得，且相似比为．13．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1；(2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1．14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)判断和△是否相似，并说明理由；(2)画一个三角形，它的三个顶点为中的个格点，并且与相似．（要求：不写作法与证明）15．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．(1)在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似．(2)在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）．(3)在图③中的线段AB上画一个点P，使＝．16．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）(1)在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点．(2)在图2中，以点O为位似中心，在网格内画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比k=2，点D、E为格点．(3)在图3中，在OA边上找一个点F，且满足．17．定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形．(1)初步感受：如图是7×2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出一个顶点在格点并且不全等的奇妙三角形；所画三角形中最大内角度数为°．(2)再思探究：如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2，2），点D坐标（7，1），在坐标平面上取一点B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接写出m的值并说明理由．18．如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．19．如图，在方格纸中，点A，B，C，D都在格点上．（1）在图1中画一个格点，使与相似；（2）在图2中画一个格点，使，且与不相似．20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图（保留作图连线痕迹），并回答问题．（1）在的右边找格点，连，使平分．（2）若与交于，直接写出的值．（3）找格点，连，使于．（4）在上找点，连，使．专题16网格中的相似1．如图，在的正方形方格中，的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，D在边格点上，请用无刻度直尺在边上找点E，使得与相似．【答案】见解析【分析】以或两种情况进行分类讨论．利用相似比确定E点即可．【详解】解：①，由图可知：，∴，∴；如图：②，由图可知：，∴，∴，∴，∴；如图：【点睛】本题考查根据相似三角形确定点的位置．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．2．在的网格中，格点的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：的面积为___________．(2)请利用网格再画一个格点，且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）用三角形的面积公式进行计算即可．（2）将的各边缩小为原来的一半即可．【详解】（1）解：（2）解：如下图所示，即为所求【点睛】本题考查了三角形的面积、相似三角形的三边关系，熟练运用相似三角形的三边关系对原三角形进行缩小变换是解决此题的关键．3．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求，（2）如图2所示，△CEF即为所求，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（1）∠ACB的大小为_____（度）；（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）_____．【答案】

90

见解析，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点，则点即为所求【分析】（1）运用勾股定理逆定理求解即可；（2）将点B以A为中心，∠BAC为旋转角旋转，确定线段BC旋转后所得直线FG，找到点C到FG的垂足即为．【详解】解：（1）由网格图可知AC＝BC＝AB＝∵AC2+BC2＝AB2∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形．∴∠ACB＝90°故填：90°；（2）作图过程如下：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求证明：连CF∵AC，CF为正方形网格对角线∴A、C、F共线∴AF＝5＝AB由图形可知：GC＝，CF＝2，∵AC＝，BC＝∴△ACB∽△GCF∴∠GFC＝∠B∵AF＝5＝AB∴当BC边绕点A逆时针旋转∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上．由作图可知T为AB中点∴∠TCA＝∠TAC∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°∴CP′⊥GF此时，CP′最短故填：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点，则点即为所求．【点睛】本题主要考查了直角三角形的证明、图形的旋转、三角形相似和最短距离的证明，找到线段BC旋转后所在成为解答本题的关键．5．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出与四边形DEHG的面积比．(3)在图③中，画，点R在格点上，且被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．【答案】(1)见解析(2)见解析，面积比为1：3(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点，找到之间单元网格的对角线，交于点，则点即为所求；（2）根据（1）的方法找到的中点，连接，根据相似三角形的性质即可求出与四边形DEHG的面积比；（3）根据（2）的结论，可知，只要经过的中位线，根据在网格上，找到符合题意的点即可求解．(1)如图①：(2)如图②：，与四边形DEHG的面积比为1：3．(3)如图③，画出一种即可．【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找到线段的中点是解题的关键．6．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在上画一点，使；(2)在图②中，在上画一点，使：：；(3)在图③中，在内画一点，使：：：：．【答案】(1)图形见解析；(2)图形见解析；(3)图形见解析．【分析】（1）取的中点即可；（2）取格点，，连接交于点，点即为所求；（3）利用数形结合的思想，判断出点到的距离为，到的距离为，取格点，，连接交直线于点，点即为所求．【详解】（1）在图中，点即为所求；（2）在图中，点即为所求；点C下移三个单位得到点M，点B上移两个单位得到点N，连接，得到，：：即点即为所求；（3）在图中，点即为所求．由图可知，，，，，：：：：，，，设中边上的高为，中边上的高为，，，，作直线：，点在直线上，在直线上取边上高，取格点，，连接交直线于点，由图可知点到边距离为，即点即为所求．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形相似性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．7．如图，A、B在圆形方格网横线上，点C、D是直径AB与网格横线的交点，则BC：CD：DA为（

）A．3：4：5 B．1：3：2 C．1：4：2 D．3：6：5【答案】B【分析】要求的值，想到构造这三条线段所在的三角形相似，所以过点A作，垂足为，可得，然后利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：过点A作，垂足为，取格点F，G，则CG=1，DF=3，AE=2，如图：∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．（1）的长等于________；（2）M是线段与网格线的交点，P是外接圆上的动点，点N在线段上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________．【答案】

图见解析，取格点D，连接并延长，与圆相交于点E，连接；取格点F，G，连接与网格线相交于点H，连接与圆相交于点I，连接与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求．【分析】(1)根据勾股定理计算即可；(2)先确定圆心，再作直径CP即可．【详解】解：(1)，故答案为：，(2)由题意可知，CP=3MN，当CP为直径时，MN最大，故确定圆心即可，如图所示，取格点D，以BD、AB为斜边的两个网格直角三角形全等，可得∠ABE=90°，AE为直径，同理，以BC、CH为斜边的两个直角三角形相似，可得∠BCI=90°，BI为直径，所以，O为圆心，此时，CP最大；故答案为：取格点D，连接并延长，与圆相交于点E，连接；取格点F，G，连接与网格线相交于点H，连接与圆相交于点I，连接与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求．【点睛】本题考查了无刻度尺作图和勾股定理，解题关键是熟练运用圆周角定理和相似三角形判定与性质确定圆心．9．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点均落在格点上，为⊙的直径．（1）的长等于__________；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为斜边、面积为的，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．【答案】

作图见解析，简要说明见解析【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）取格点，连接；取格点，，连接与交于点．取格点，，连接并延长，交网格线于点，连接；取格点，连接与交于点．连接与⊙相交，得点．连接，，即为所求．【详解】解：（1），故答案为：；（2）如图取格点，连接；取格点，，连接与交于点．取格点，，连接并延长，交网格线于点，连接；取格点，连接与交于点．连接与⊙相交，得点．连接，，即为所求．故答案为（1）；（2）作图见解析，简要说明见解析．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直径的性质，相似三角形的判定及性质，灵活运用相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，是一条小河平行的两岸.(Ⅰ)的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥(点在上，点在上，桥的宽度忽略)，使最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点，的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.【答案】

取格点，连接，(使)，取格点、，连接(使)，与交于点；同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，即为所求【分析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AB的长即可；(Ⅱ)要使最短，则MN⊥l1，AM与BN转化成一条线段时最短，取格点，连接，交l1于Q，交l2于P，由网格性质可得AC⊥l1，由l1//l2可得平行线间的距离PQ=MN的长，取格点、，连接，交AC于A′，根据相似三角形的性质可得AA′=PQ，同理可作点B′，则BB′=PQ，连接与交于点，连接与交于点，则BB′=PQ，可得四边形AA′BB′是平行四边形，由全等三角形的性质可得AM=A′N，可得四边形AA′MN是平行四边形，可知MN⊥l1，同理BN=B′M，则AM+BN=AB′距离最短，即可得解.【详解】(Ⅰ)AB==.故答案为(Ⅱ)如图，取格点，连接，(使)，交l1于Q，交l2于P，∴PQ⊥l1，∴PQ=，取格点、，连接(使)，与交于点；∵∠AFE=∠EAA′，∠AEF=∠AEF，∴△AA′E∽△FAE，∴，∴AA′=，∴AA′=PQ，同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，∴BB′=AA′=PQ，∵BB′//AA′，∴四边形AA′BB′，∴AB′//A′B，∴∠QAM=∠PA′N，又∵AQ=A′P，∠AQM=∠A′PN，∴△AQM≌△A′PN，∴AM=A′N，∴四边形AA′MN是平行四边形，∴AA′//MN，∴MN⊥l1，同理：BN=B′M，∴AM+BN=AB′距离最短，∴即为所求.故答案为取格点，连接，(使)，取格点、，连接(使)，与交于点；同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，即为所求【点睛】本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键.11．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点，，均为格点，点，分别为线段，上的动点，且满足．(1)线段的长度等于__________；(2)当线段取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段和，并简要说明你是怎么画出点Q，P的：_______________________．【答案】

5

取格点．连接，它们相交于点，连接，分别交于点，则线段和即为所求．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；（2）要使AQ+PC有最小值，则应把AQ与PC转换到一条直线，利用全等三角形可确定∠QBT的位置，连接EF，利用相似三角形可确定T点位置，连接AT交BC于Q，则QT=PC，根据全等三角形确定∠ACP，据此即可得出点P、Q的位置.【详解】(1)AB==5.(2)∵要使AQ+PC有最小值，∴应把AQ与PC转换到一条直线，即使QT=PC，得AQ+PC=AT，∴作△BQT≌△APC即可，∴应作∠CBT=∠BAC，BT=AC=3，∴连接BD，则∠CBT=∠BAC，∵BD=5，∴要使BT=3，则=，∴连接EF，则==，即BT=3，∴连接AT，交BC于Q，则Q点即为所求，∵△BQT≌△APC，∴∠BTA=∠ACP，∴只要作△ABT的全等三角形即可，∵AC=BT，∠ABT=90°，AB=5，∴作GA⊥AC，AG=5，则△ABT≌△GAC，∴连接CG，交AB于P，则∠ACP=∠ATB，则P点即为所求.故答案为5；取格点．连接，它们相交于点，连接，分别交于点，则线段和即为所求．【点睛】本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键.12．如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上(1)请在图2中画一个，使得，且相似比为；(2)请在图3中画一个，使得，且相似比为．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案；（2）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案．【详解】（1）解：如图，即为所求；理由：根据题意得：，，∴，∴，且相似比为；（2）解：如图，即为所求；根据题意得：，，∴，∴，且相似比为．【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键．13．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1；(2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可．（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作．（2）如图，即为所求作．【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)判断和△是否相似，并说明理由；(2)画一个三角形，它的三个顶点为中的个格点，并且与相似．（要求：不写作法与证明）【答案】(1)相似，理由见解析(2)作图见解析【分析】（1）先分别求出这两个三角形的三边之比，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出相应的边长，根据“三边成比例的两个三角形相似”得和相似，作图即可．【详解】（1）解：根据勾股定理得，，，，，，即，所以；（2）根据勾股定理得，，，所以，所以和相似，连接，，.如图所示．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“三边成比例的两个三角形相似”是解题的关键．15．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．(1)在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似．(2)在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）．(3)在图③中的线段AB上画一个点P，使＝．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）取格点E，连接DE，则DEBC，由相似三角形的判定方法可知．（2）取格点D，E，F，连接DE，DF，EF，使DE＝，DF＝4，EF＝即可．（3）取格点M，N，连接MN，交AB于点P，此时，由，可得．（1）如图①，△ADE即为所求．（2）如图②，△DEF即为所求．（3）如图③，点P即为所求．【点睛】本题考查了格点作图，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．16．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）(1)在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点．(2)在图2中，以点O为位似中心，在网格内画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比k=2，点D、E为格点．(3)在图3中，在OA边上找一个点F，且满足．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出△OBC，使△OBC∽△ABO；（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△ODE；（3）取格点G，连接BG交AO于点F，根据相似三角形的性质得出．（1）如图所示，△OBC即为所求；（2）如图所示，△ODE即为所求；（3）如图所示，点F即为所求．【点睛】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形．(1)初步感受：如图是7×2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出一个顶点在格点并且不全等的奇妙三角形；所画三角形中最大内角度数为°．(2)再思探究：如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2，2），点D坐标（7，1），在坐标平面上取一点B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接写出m的值并说明理由．【答案】(1)见解析，135(2)m=4，理由见解析【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角；（2）m=4，利用网格结合勾股定理求出△ABC和△ADB各边的长．证明△ABC∽△ADB，直接利用相似三角形的性质即可得出结论．（1）如图所示：由网格可得：DE=1，，∴DE：EF：DF=1：：，∴△DEF的三边比为1：：，而，∴AB：BC：AC=1：：，∴△ABC的三边比为1：：，∴△ADC∽△ACB，∴∠DEF=∠ABC，∴∠DEF=∠ABC=45°+90°=135°．故答案为：135；（2）m=4，理由：连接AB、BD，由网格可得：BC=2，，∴BC：AC：AB=1：：，∴△ABC的三边比为1：：，由网格可得：，∴BD：AB：AD=1：：，∴△ADB的三边比为1：：，∴△ABC∽△ADB，∴∠BAC=∠DAB，∴AB平分∠CAD．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定与性质，正确借助网格分析是解题关键．18．如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）利用旋转变换的性质作点B的对应点E，CE=CB，CE与格点交于点F，连接BF即可，，，，因此，，进而可得△BCF∽△BDA；（2）作点D关于BC的对称点，连接交BC于点H。连接DH，点H即为所求．（1）解：如图，线段CE，点F即为所求，（2）解：如图，线段DG，点H即为所求，【点睛】本题主要考查了旋转的性质，对称的性质及相似三角形的判定，灵活运用以上知识点作图是做出本题的关键．19．如图，在方格纸中，点A，B，C，D都在格点上．（1）在图1中画一个格点，使与相似；（2）在图2中画一个格点，使，且与不相似．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例，求出CE和DE，利用格点画出即可；（2）根据网格画出，使不是直角三角形即可．【详解】（1）如图1，格点如图所示（其中任意一个均可），（2）如图2，格点如图所示（其中任意一个均可）．【点睛】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角．20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图（保留作图连线痕迹），并回答问题．（1）在的右边找格点，连，使平分．（2）若与交于，直接写出的值．（3）找格点，连，使于．（4）在上找点，连，使．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析【分析】（1）在AC延长线上取一点F使AB=AF=5，再取BF中点即为所求的D，连AD,依据是等腰三角形三线合一,注意直线AD上有多个格点；（2）由“8”字型相似得；（3）可用，找点，也可用三高交于一点找点；（4）将平移到位置，再用线段将分为，连交于点，则为所求；【详解】（1）如图即为所求；（2）∵∴；（3）；

∴AC=AH

∴即可确定F位置在C左边两格（4）将平移到位置，再用线段将分为，连交于点，则为所求；【点睛】本题考查了无刻度尺规作图，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确的作出图形是解题的关键．专题17手拉手旋转模型证相似1．如图1，是四边形内一点，连接，，，，，，，，．（1）求证：．（2）若，．求的长．（3）如图2，，，，请直接写出，，之间的数量关系．2．已知中，，．点是线段（含端点）上一动点．连接线段，将线段绕点逆时针旋转角度．得到线段，连接线段、．（1）如图1，若且点与重合，为线段的中点，连接线段．求证：；（2）如图2，若点不与点重合，其它条件同（1），，，求线段的长度．3．在和中，，，．、分别为、的中点，连接、．（1）如图1，当时，的值是，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值．4．（1）如图①，将绕点旋转任意角度得到△，连接、，证明：．（2）如图②，四边形和四边形均为正方形，连接，，求的值．5．如图，与有公共的顶点，，，且．点、、分别为、、的中点．（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由．6．为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，，，，，．（1）求证：；（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长．7．在边长为1的正方形网格中有、、、、五个点，问与是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由．8．如图，，绕点逆时针旋转得到，恰好点在上，连接．（1）与有何关系？并说明理由；（2）与有何关系？并说明理由；（3）线段与在位置上有何关系？为什么？9．在中，，，，为边上一点，点，分别在边，上，．（1）如图1，当为中点时，；（2）如图2，若，求的值．10．在中，是延长线上一点，是的平分线，于，延长线于．（1）若四边形是正方形（如图①，、分别与、相交于点、，求证：．（2）如图②，若，、相交于．试探究、之间的数量关系，并说明理由．（用含的式子表示）11．已知点、、在同一条直线上，，线段、交于点．（1）如图1，若，．①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；②求的大小（用表示）；（2）如图2，若，，则线段与又有怎样的数量关系？并说明理由；（用表示）．12．如图，在中，，将绕点顺时针旋转度得到，连接，线段（或其延长线）分别交、于、点．（1）求证：；（2）在旋转的过程中，是否存在一个时刻，使得与全等？若存在，求出此时旋转角的大小．13．已知：点、、在同一条直线上，，线段、交于点．（1）如图1，若，①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；②求的大小（用表示）；（2）如图2，若，，则线段与的数量关系为，（用表示）；（3）在（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点．则（用表示）．14．在中，，将绕点顺时针旋转得到．（1）如图1，；（2）连接交直线于点，直线交于点．①如图2所示，试说明；②设，旋转的角度，当、满足什么关系时，是等腰三角形．15．如图①，是边长为2的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，点是射线上的一动点．（1）当不与重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，则．（2）如图②，在（1）的条件下，当点在线段上时，周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图③，当点在射线上运动时，以为斜边做等腰直角，连接，求最小值．16．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：如图1，与互为“旋转位似图形”．①若，，，则；②若，，，则（2）知识运用：如图2，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”．（3）拓展提高：如图3，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”．若，，求的值．17．（1）问题发现（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．填空：①的度数是；②线段，之间的数量关系为；（2）类比探究如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕着点在平面内旋转，请直接写出直线经过点时，点到直线的距离．18．如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形（填“是”或“不是”“旋转位似图形”；如图1，和互为“旋转位似图形”，①若，，，则；②若，，，则；（2）知识运用：如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．19．已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接．（1）如图1，在上取一点，使，连接，求证：；（2）如图2，点在延长线上，求证：；（3）如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明．专题17手拉手旋转模型证相似1．如图1，是四边形内一点，连接，，，，，，，，．（1）求证：．（2）若，．求的长．（3）如图2，，，，请直接写出，，之间的数量关系．【解答】（1）证明：，，，与都是等腰直角三角形，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，（负值舍去），（3）解：，理由如下：如图，过点作于点，则，，，，，，同理，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．2．已知中，，．点是线段（含端点）上一动点．连接线段，将线段绕点逆时针旋转角度．得到线段，连接线段、．（1）如图1，若且点与重合，为线段的中点，连接线段．求证：；（2）如图2，若点不与点重合，其它条件同（1），，，求线段的长度．【解答】（1）证明：连结，如图，，，和是等腰直角三角形，，，，是的中点，，是等腰直角三角形，；（2）解：延长至使，连结、，在上取点，使，则，如图，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，即，是的中点，，，，，，，，，，，，，，．3．在和中，，，．、分别为、的中点，连接、．（1）如图1，当时，的值是，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值．【解答】解：（1）如图1，连接，并延长交于，设直线与的交点为，，，，，，，，是等边三角形，，，又，是等边三角形，，，，，、分别为、的中点，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）如图2，连接，并延长交于，设直线与的交点为，过点作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分别为、的中点，，，，，，，，，，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（3）如图3，当点在线段上时，连接，，，点为的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分别为、的中点，，，，又点是中点，，，，当点在线段上时，同理可求，综上所述：的值为或．4．（1）如图①，将绕点旋转任意角度得到△，连接、，证明：．（2）如图②，四边形和四边形均为正方形，连接，，求的值．【解答】证明：（1）将绕点旋转任意角度得到△，，，，，，；（2）连接和，四边形和四边形均为正方形，，，，则，，，．．．5．如图，与有公共的顶点，，，且．点、、分别为、、的中点．（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）．连接、，，，，，，；点、、分别为、、的中点，根据中位线定理可得，，．（2）．连接、，，，，，，，点、、分别为、、的中点，根据中位线定理可得，，即得．6．为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，，，，，．（1）求证：；（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长．【解答】（1）证明：如图1中，延长到，使得，连接．，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，．（2）解：如图2中，取的中点，连接，作于，于．由（1）可知，，，，，四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，设，则，，，在中，，，，，，，即，，在中，，，，，在中，，，．7．在边长为1的正方形网格中有、、、、五个点，问与是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由．【解答】解：，，，，，，，，，，，．8．如图，，绕点逆时针旋转得到，恰好点在上，连接．（1）与有何关系？并说明理由；（2）与有何关系？并说明理由；（3）线段与在位置上有何关系？为什么？【解答】解：（1）与互补；理由如下：由旋转的性质知：，；即，因此、互补．（2）与相似；理由如下：由旋转的性质知：，，；即，，即；因此．（3）线段与互相垂直，理由如下：由（2）知：；，，即线段、互相垂直．9．在中，，，，为边上一点，点，分别在边，上，．（1）如图1，当为中点时，；（2）如图2，若，求的值．【解答】解：（1）过点作，垂足为，，，，，，，，，，，，，为中点，，，，，，，故答案为：；（2）过点作，垂足为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的值为．10．在中，是延长线上一点，是的平分线，于，延长线于．（1）若四边形是正方形（如图①，、分别与、相交于点、，求证：．（2）如图②，若，、相交于．试探究、之间的数量关系，并说明理由．（用含的式子表示）【解答】（1）证明：，平分，，又四边形是正方形，，，，在与中，，，，、是正方形的对角线，，在与中，，；（2）猜想：（或．证明：由（1）得，，，，，，，，，，（或．11．已知点、、在同一条直线上，，线段、交于点．（1）如图1，若，．①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；②求的大小（用表示）；（2）如图2，若，，则线段与又有怎样的数量关系？并说明理由；（用表示）．【解答】解：（1）①，理由：，，，同理可得出：，，，即，在和中，，，；②，，，；（2），理由：，，，，，同理可得出：，，，即，，，，，，，．故答案为：．12．如图，在中，，将绕点顺时针旋转度得到，连接，线段（或其延长线）分别交、于、点．（1）求证：；（2）在旋转的过程中，是否存在一个时刻，使得与全等？若存在，求出此时旋转角的大小．【解答】解：（1）证法一：是由绕点顺时针旋转得到的，，，，（3分），（5分）又，（7分）证法二：是由绕点顺时针旋转得到的，，，，（3分），，（4分）又，（7分）（2）答：存在（8分）由（1）知，当时，，，，又（已知），又，，即旋转角．13．已知：点、、在同一条直线上，，线段、交于点．（1）如图1，若，①问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；②求的大小（用表示）；（2）如图2，若，，则线段与的数量关系为，（用表示）；（3）在（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点．则（用表示）．【解答】解：（1）如图1．①，理由如下：，，，，同理可得：，，，即：．在与中，，，；②，，，；（2）如图2．，，，同理可得：，，，即：．，，．在与中，，，，，，；，．故答案为：，；（3）如右图．，，，同理可得：，，即．，，．在与中，，，，，，，．故答案为：．14．在中，，将绕点顺时针旋转得到．（1）如图1，；（2）连接交直线于点，直线交于点．①如图2所示，试说明；②设，旋转的角度，当、满足什么关系