2023-2024学年江西省南昌市铁路一中高二（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省南昌市铁路一中高二(上)月考数学试卷(10

月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设直线I的方向向量为沆=(2,-Lz),平面a的一个法向量为五=(4,一2,-2),若直线〃/平面a,则实数z的

值为()

A.-5B.5C.-1D.1

2.下列直线中，倾斜角为锐角的是()

A.%—y+l=0B.y=-2x+1C.y=1D.%=2

3.若4(1,2),C(7,m+2)三点共线,则实数m的值为()

A.-2B.2C,-3D.3

4.过点P(l,2),且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

()

A.2x-y=0或x+y-3=0B.2x-y=0

C.x-2y=0或x+y-3=0D.x+y-3=0

5.已知空间中两点4(1,2,3),B(4,2,a),且■而,则a=()

A.1或2B.1或4C.0或2D.2或4

6.如图所示的菱形ABC。中，AB=2,ABAD=60°,对角线4C,BD交于点0,将△4BD沿B。折到△A'BD位

置，使平面1平面BCD.以下命题：

①8。1AC；

②平面4OC1平面BCD；

③平面4BC1平面A'CD；

④三棱锥4-BCD体积为1.

其中正确命题序号为()

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

7.如图，在平行六面体48。。一4占6。1中，底面是边长为1的正方形，若=

乙二60。，且4p4=4,则点3到4C的距离为()

A.1

B

■10

C•祟

D-To

8.在棱长为2的正方体回⑺一4占//中，点EC平面44出8,点F是线段的中点，若/E_LCF,则

△EBC的面积最小值为()

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列关于空间直角坐标系。xyz中的一点P(l,2,3)的说法正确的有()

A.线段OP的中点的坐标为弓,1,|)

B.点P关于x轴对称的点的坐标为(—1,—2,—3)

C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3)

D.点P关于。孙平面对称的点的坐标为(1,2,-3)

10.下列说法正确的有()

A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，贝ij(k,b)在第二象限

B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)

C.过点(2,—1)斜率为—的点斜式方程为y+1=—V-3(x—2)

D.与y轴夹角为弓，且y轴截距为3的直线方程为y=?%+3

J3

11.如图，棱长为2的正方体4BCD-&B1QD1中，点E,F,G分别是棱4D,。必,

C。的中点，则()

A.直线为G,GE为异面直线

B.%-BEF=3

C.直线4G与平面4DD遇1所成角的正切值为?

D.过点8,E,尸的平面截正方体的截面面积为9

12.设。是正三棱锥P-ABC的顶点P在底面△ABC的投影，过。的动平面与PC交于S,与P4、的延长线分

别交于Q、R，且PQ=x,PR=y,PS=z,则（）

A.。是△ABC的垂心B.；+：+；有最小值而无最大值

C.；+"+：无最大值也无最小值D.：+5+:是与平面QRS无关的常数

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若直线1的一个方向向量是看=(3,，？)，则直线，的斜率是.

14.已知点4(一1,1,0),B(l,2,0),C(-2,-l,0),£>(3,4,0),则方在而上的投影向量的长度为

15.如图，在三棱锥C-4BC中，AC1BD,一平面截三棱锥D-ABC所得

截面为平行四边形EFGH.已知EF=EH=则异面直线EG和4C所

成角的正弦值是.

16.已知四棱锥P-4BCD的底面4BCD是边长为2的正方形，PAL^ABCD,PA=4/7，则四棱锥P-

2BCD外接球表面积为；若点Q是线段4C上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知点4(2,3)、8(-3,-2).

(1)求直线4B的方程，并化成一般式；

(2)若线段4B中点为M,点P(l,l),求直线PM在两坐标轴上的截距.

18.(本小题12.0分)

如图，在直四棱柱4BCD-4B1GD1中，侧棱44的长为3,底面ABCC是边长为2的正方形，E是棱BC的中

点.

⑴证明：85〃平面CiDE.

(2)求三棱锥A-GDE的体积.

19.(本小题12.0分)

已知向量五=(-2,—1,2),b=(—1,1,2)，c—(x,2,2).

(I)当归|=24时，若向量k五+B与,垂直，求实数x和k的值;

(II)若向量号与向量出族共面，求实数x的值.

20.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥S-4BC中，平面SBCJ_平面ABC,SB=SC=AB=AC=y/~2,BC=2,若。为BC的中点.

(1)求点C到平面S4B的距离；

(2)设P是三角面内一点，且OP〃平面SZB,求符合条件的点P的轨迹长度.

21.(本小题12.0分)

如图所示，圆锥的底面半径为2,其侧面积是底面积的2倍，线段4B为圆锥底面。。的直径，在底面内以线

段4。为直径作OM,点P为。M上异于点4。的动点.

(1)证明：平面$4P1平面SOP；

(2)当三棱锥S-4P。的体积最大时，求二面角4-SP-B的余弦值.

s

A

22.(本小题12.0分)

如图，菱形力BCD的边长为2,/.BAD=60°,E为AB的中点.将△ADE沿。E折起，使4到达A,连接A'B,A'C,

得到四棱锥Z'-BCDE.

(1)证明：OE_LA'B.

(2)当二面角4-DE-B在g,专］内变化时，求直线4c与平面4DE所成角的正弦的最大值.

A

E

B

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：若直线〃/平面a,则记=

故8+2-2z=0,解得：z=5,

故选：B.

根据线面平行，求出法向量与直线的方向向量垂直，求出z的值即可.

本题考查了线面关系，考查向量的垂直问题，是基础题.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题.

根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可.

【解答】

解：对于4斜率k=l,倾斜角是锐角，

对于B：斜率k=-2,倾斜角是钝角，

对于C：斜率k=0,倾斜角是0。角，

对于D：斜率k不存在，倾斜角是直角，

故选：A.

3.【答案】D

【解析】解：因为3*1,直线2B斜率存在，A,B,C三点共线，则七8=厩0，

即套=陪心，解得m=3.

•5-1/-1

故选：D.

先判定斜率存在，再由三点共线可得，任意两个点组成直线斜率相等即可得结果.

本题考查的知识要点：三点共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了直线方程的求法与应用问题，属于基础题，解题时要注意截距式方程的合理运用.讨论截距为0

时和截距不为0时，分别求出直线的方程即可.

【解答】

解：当横截距a=0时，纵截距b=0,

此时直线过点(0,0),P(l,2),

直线斜率为k=2,方程为y=2x；

当横截距aw0时，纵截距b=a,

此时直线方程设为X=l,

把P(l,2)代入，得a=1+2=3,

・・•所求的直线方程为：x+y-3=0.

综上：过点PQ2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x-y=0或x+y-3=0.

故选：4

5.【答案】D

【解析】解：•••点4(1,2,3),8(4,2,a),

\AB\=J(4-1尸+(2—2,+(a-3尸=

解这个方程，得a=2或4

故选：D

根据空间两点之间的距离公式，由依引=5列出关于a的方程，解之即可得到实数a的值.

本题给出空间两点含有字母a的坐标形式，在已知两点间距离的情况下求实数a的值，着重考查了空间坐标

的两点距离公式及其应用的知识，属于基础题.

6.【答案】。

【解析】解：对于①，如图：

因为四边形4BCD是菱形，/.BAD=60°,

所以4B=4D=BC=CD=8。，。为BC的中点，

所以BD1.A。，BD1CO,A'OnCO=O,A'O,COu面A'OC,

所以B。_L面40C,

又A'Cu面AOC,

所以即①正确：

对于②，由①知，BD1•平面AOC,

又BDu平面BC。，

所以平面A'OCl平面BCD,即②正确;

对于③，如图：

取4C的中点为E,连接BE,DE,

依题意，A'B=BC=A'D=CD,

所以BEJLA'E,DELA'C,

由二面角的定义可知，4BED是二面角B-A'C-。的平面角，

又因为平面4BDJL平面BCD,平面4BDn平面BCD=BD,BDl.A'0,

所以4。1面BCD,

又&4'8。和4BCD是边长为2的正三角形，

所以4。=0C=V-3>且有4。10C,

所以在RtAA'OC中，A'C=y/~6,

又△ABC和△4DC是两全等的等腰三角形，A'B=BC=A'D=CD=2,4C的中点为E,

所以BE=DE=J22_存尸=y，

由已知可得ABC。是边长为2的正三角形，得8。=2,

则在ABOE中，易知80=2,

则BD2丰BE2+DE2,

所以NBED羊90。，即二面角B-A'C-C不是直二面角，故③错误；

对于④，由已知可得△BCD是边长为2的正三角形，

又40J■平面BCD,

所以三棱锥4'-BCD的高即为4。，A'O=y/~3,△BCD是边长为2的正三角形，

所以三棱锥4'一BCD的体积为:SABCO•AO="x；x2x2x/xq=l，故④正确.

故选：D.

通过证BDL面HOC可判断①②；求两平面所成的二面角可判断③；得到三棱锥的高后可判断④.

本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查三棱锥的体积计算，考查逻辑推理能力和运算求解

能力，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：以｛荏，而，而｝为一组基底、取五=荏,3=而1=研，

在平行六面体4BCD-aBiGDi中，底面是边长为1的正方形，A.A=4,

则|初=\b\=l,|c|=4.

又•:LA^AB=/.ArAD=60°,

Aa-d=0,a•c=2,fe-c=2,

vArC=a+6—c,BC=b,

2

AAXC-BC=(a+b—c)-Z)=a-h+b—K=-1，

2222

A|ArC|=(a+6-c)=a4-h4-?+2ab—2b-c—2a-c=14-l+16+0—4—4=10»

即|砧|二CU，

mil^ozPr/1A^CBCCU.3CU,仝士、

则C0S4BCA】=^^=一丁，SH14BCA】=)(一二舍去)，

贝(I点B至I」直线41c的距离为|而|sin/BC4=噌.

故选：B.

以｛荏，同，砧｝为基底表示出再利用空间向量的模和数量积运算即可求।砧再求出而与鬲夹角

的余弦值，再求出正弦值，即可求出点B到4c的距离.

本题考查了点到直线的距离计算，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查线线垂直及线面垂直，考查直观想象能力及数学运算能力，属于较难题.

取4B中点G,利用三角形全等证得BF1GBi，进而证得CF，平面/。道，当点E在直线B】G上时，DrE1CF,

当AEBC的面积取得最小值时，线段BE的长度为点B到直线&G的距离，再由三角形面积公式可得结果.

【解答】

解：

如图：取AB中点G,可知RtABAF三Rt△B^BG,得上ABF=乙BB1G,：.乙B1GB+AABF=4B1GB+乙BB^G

90°,

BF1GBy,X---BrG1.BC,BFC\BC=B,BF,BCu平面BCF,•••BiG_L平面BFC,•••BrG1CF,

又在正方体4BCD-4BiGDi中，易得HQ_L平面4CG4,

CFu平面ACCiAi，所以Bi。11CF,

又名G与当名相交，且均在平面BWiG内，

CF，平面8也6,

当点E在直线4G上时，DrE1CF,BC=2,则△EBC面积为找8•BC,

当^EBC的面积取得最小值时，线段8E的长度为点B到直线&G的距离，

线段BE长度的最小值为表，此时△EBC面积为：xEBxBC=冷.

故选：B.

9.【答案】AD

【解析】解：由题意可知线段。P的中点的坐标为弓所以4中说法正确；

点P关于％轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),所以B中说法错误；

点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),所以C中说法错误；

点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2,-3),所以。中说法正确.

故选：AD.

根据空间坐标系中点的对称性的相关性质分别判断即可.

本题考查空间直角坐标系，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：对于4中，由直线y=kx+b过一、二、四象限，

所以直线的斜率k<0,截距b>0,

故点(k,b)在第二象限，所以A正确；

对于B中，由直线方程y=ax-3a+2,整理得a(x-3)+(-y+2)=0,

所以无论a取何值，点(3,2)都满足方程，所以B正确；

对于C中，由点斜式方程，可知过点(2,-1),斜率为一门的点斜式方程为y+1=-q5-2),所以C正

确；

对于。中，由斜截式方程得到斜率为士?，在y轴上的截距为3的直线方程为y=±?*+3,所以。错误.

故选：ABC.

由直线y=kx+b过一、二、四象限，得到斜率％<0,截距b>0,可判定A正确；由把直线方程化简为a(x-

3)+(-y+2)=0,得到点(3,2)都满足方程，可判定8正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式方

程可判定。错误.

本题主要考查了直线斜截式方程、点斜式方程，直线过定点问题，属于基础题.

11.【答案】BC

【解析】解：如图，对4选项，根据题意易知I&C//EG,

・・•直线41G与QE为共面直线，二/1选项错误；

111

对B选项，•:%iEF=VB-D1EF=|x|xlxlx2=1,B选项正确；

对C选项，根据题意易知：直线&G与平面所成角为NG&D,

又12114641。=黑=1^=¥，；"选项正确；

对D选项，根据题意易知E/7/BCi，且EB=FG，

・•・过点B,E,F的平面截正方体的截面为等腰梯形EFGB,

-

又根据题意易得EB=FC】=>/"写，EF=y/_2>C1B~2A/2,

•••等腰梯形EFGB的高为J5-1=合，

•・•等腰梯形EFGB的面积为:x(<2+2/至)x-^==!,。选项错误.

故选：BC.

根据立体几何公理3的推论，转化顶点法求体积，线面角的概念，等腰梯形的面积公式，即可分别求解.

本题考查立体几何公理3的推论，转化顶点法求三棱锥的体积，线面角的概念，梯形面积公式，属中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：画出图形，如图所示，

因为△48C是正三角形，所以点P在底面的投影是AaBC的中心，选项A正

确；

因为PQ=%，PR=y,PS=Z,则对=?闻,丽=蓝而，PC=?国，

因为方=竺等比=?而+券而+竽对且Q,R,S共面，

33%x3y3z

g、］PAPBPC.

所以孩+豆+豆=1，

又因为PA=PB=PC,所以［1+1；+1；高a为常数，选项。正确.

故选：AD.

根据题意画出图形，结合图形对选项中的命题判断真假性即可.

本题考查了立体几何与向量之间的综合应用问题，是中档题.

13.【答案】?

【解析】解：因为直线，的一个方向向量是是2=(3,C)，

所以直线/的斜率为

故答案为：£3.

由题意，根据直线的方向向量，求出直线的斜率.

本题主要考查利用直线的方向向量求出得直线1的斜率，属于基础题.

14.【答案】亨

【解析】【分析】

本题考查了空间向量投影的理解与应用，解题的关键是掌握空间向量投影的定义，考查了逻辑推理能力与

化简运算能力，属于基础题.

利用空间向量投影的定义求解即可.

【解答】

解:因为点4(—1,1,0),8(1,2,0),C(-2,-l,0),D(3,4,0),

所以而=(2,1,0),CD=(5,5,0)，

则都在而上的投影向量的长度为鬻=点竺==*.

\CD\V25+252

故答案为：号.

15.【答案】f

【解析】解：因为EFGH是平行四边形，由线面平行的性质定理可得，AC//EH,

所以直线EG和4C所成角为直线EG和EH所成角，即4GHG,

因为4c所以NEHG=90。.

因为EF=V_2>EH=V_5，

所以EG=

故sin/GEH=7.

根据题意首先找到异面直线所成的角，然后再三角形中计算相应的角的正弦值即可.

本题主要考查了异面直线所成的角，涉及了直线与平面平行的性质定理的应用，解题的关键是准确找到直

线与所成的角，要求学生有一定的转化能力和计算能力.

16.【答案】40兀2^/^73

【解析】解：设PC中点为。，贝“OP=OC=。。=OB==CU，

所以。为四棱锥P-4BCD外接球的球心，CU为该球半径，

所以其表面积为47r(CU)2=407T；

如图，将4P4C绕4c翻折到与4ZMC所在面重合，

连接PB,交AC于点Q,此时|PQ|+|QB|最小,

最小值为J网2+一2|明•|AP|cosl35。

=J4+32-2X2X4<7x(一泊=2<l3-

故答案为：40TT;2<l3.

设PC中点为0，则OP=。。=。。=0B=。4=/TU，可得外接球的球心与半径，从而可求外接球的表面

积；将△P2C绕AC翻折到与ADaC所在面重合，

连接PB,交4c于点Q,此时|PQ|+|QB|最小，求解即可.

本题考查求空间几何体的外接球的表面积，考查距离和的最小值问题，属中档题.

17.【答案】解：⑴由于：点4(2,3)和8(-3,-2),

故心B==l,y-3=1x(x-2),

整理得％-y+1=0.

(2)由于点M为/和B的中点，

所以：M(—；,；),

所以直线PM的方程为：y=jx+|；

在x轴上的截距为-2；在y轴上的截距为|.

【解析】(1)直接利用点斜式求出直线的方程；

(2)首先求出直线PM的方程，进一步求出直线PM在两坐标轴上的截距.

本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：由题意，以。为原点，分别以万?，DC，西的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间

直角坐标系。-xyz,

由侧棱的长为3,底面ABCD是边长为2的正方形，

得8(2,2,0),C(0,2,0),G(0,2,3),(0,0,3),

••,E是棱BC的中点，2,0),

A=(0,2,3),DE=(1,2,0).西=(-2,-2,3)，

设平面CiDE的一个法向量为元=(x,y,z),

由gE=x+2y=。，取3,得元=(6,-3,2),

场•DC=2y+3z=0

•••云•=—12+6+6=0,.,.记_L，

rBDiC平面GCE,二8。1〃平面GDE.

(2)解：由等体积法可得：

匕-QDE=^C^ADE=•CCj=-x(-x2x2)x3=2.

【解析】(1)以。为原点，分别以万不反，西的方向为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz,

利用空间向量证明平面C1DE；

(2)直接利用等体积法求解.

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间向量的应用，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题.

19.【答案】解：(I)因为n=2y[-2,所以x=0.

因为向量+(-2fc-l,l-k,2fc+2)，向量kd+3与1垂直，

所以(k五+石)々=0，即2k+6=0,解得k=-3,

所以实数x和k的值分别为0和-3.

(H)因为向量,与向量2,3共面，所以设不=义五+43(4,"eR).

因为(%,2,2)=4(一2,—1,2)+〃(-1,1,2),

x=—2A—

则：2=〃一尢

.2=2/1+2出

尸+

解得｛；!=_：

1=1

所以实数x的值为T

【解析】本题考查共线与共面向量定理及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基

础题型.

(I)直接利用向量的垂直的充要条件的应用求出结果.

(II)直接利用共面向量基本定理的应用求出结果.

20.【答案】解：(l)：SB=SC=4B=4C=e,BC=2,

BS1CS,BA1CA,

■.SB=SC,。为BC的中点，

：.SO1BC,

又平面SBC1平面ABC,平面SBCn平面ABC=BC,SOu平面SBC,

ASO1平面ABC,SO1OA,如图，

分别以OB,OA,OS为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，

则4(0,1,0),B(1,0,0),5(0,0,1).C(-1,0,0),

设记=(Q,仇c)为平面SB4的一个法向量,

伊•=a—b=0

•・•AB=(1,-1,0),SB=(1A-1)

-JB=a—c=0

可得访=(1,1,1),CA=(1,1,0),4=|胃|=手

(2)取AC的中点为点M,SC的中点为点N,

因为。为BC的中点，所以。M〃4B,ON//BS,

又因为OM、ONC平面S4B,AB,BSu平面S4B,

所以OM〃平面SAB,ON〃平面S4B,

因为。MCON=。，OM、ONu平面OMN,

所以平面。MN〃平面S4B,

因为P是三角面S4C内的一点，OP〃平面SAB,

所以点P的轨迹为MN,SA=VSO2+OA2=V_2,所以MN=；S4=y，

因此点P点轨迹长度为?.

【解析】(1)建系，利用空间向量求点到面的距离；

(2)取4C的中点为点M,SC的中点为点N,根据题意可证平面OMN〃平面S4B,结合面面平行的性质可知点

P的轨迹为线段MN,即可得结果.

本题考查了点到平面的距离和点的轨迹长度的计算，属于中档题.

21.【答案】解：(1)证明：•••5。垂直于圆锥的底面，［5。_14「，

.-.POA.AP,

•:SOCPO=0,SO,POc^jSi5OP,

■■■AP_L平面SOP,

・・•APu平面S/P,二平面SAP_1_平面SOP.

(2)解：设圆锥的母线长为Z,底面半径为八

・•・圆锥的侧面积S麴=x2nrl-71rI,底面积5磨=nr2,

・•・依题意271T2=yrrZ,I=2r,

取r=2,1=4,贝lj在AABS中，AB=AS=BS=4,

SO=VAS2-AO2=2C，

如图，在底面作0。的半径OC,使得04_L0C,

•：SO1OA,SO1OC,

・•・以。为原点，04为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，

4(2,0,0),B(-2,0,0),S(0,0,2V~3).

在三棱锥S-4P0中，••・SO=2/G，.•.△40P面积最大时，三棱锥S-4P。的体积最大，此时MP1。4

•••。”的半径为1,二「(1,1,0),

AP=(-1,1,0).丽=(3,1,0)，SP=(1,1,-2/3).

设平面S8P的法向量五=(a,b,c),

piijtn-AP=-a+b=0，取a=l,得元=(1,1,—)，

m-SP=a+b—2y/~3c=0

设平面SBP的法向量沅=(%,y,z),

则盟二