2022-2023学年八2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题13.3 期中期末专项复习之整式乘法与因式分解十八大必考点（举一反三）（苏科版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题13.3整式乘法与因式分解十八大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1整式的乘法】 1【考点2整式乘法的应用】 2【考点3利用乘法公式求值】 3【考点4乘法公式的几何背景】 4【考点5整式乘除的计算与化简】 6【考点6整式混合运算的应用】 7【考点7因式分解的概念】 8【考点8因式分解（提公因式与公式法综合）】 9【考点9因式分解（十字相乘法）】 9【考点10因式分解（分组分解法）】 11【考点11利用整体思想分解因式】 11【考点12利用拆项法分解因式】 12【考点13利用添项法分解因式】 14【考点14利用因式分解进行有理数的简算】 15【考点15利用因式分解判定三角形的形状】 16【考点16利用因式分解求值】 17【考点17因式分解的探究题】 17【考点18因式分解的应用】 19【考点1整式的乘法】【例1】（2022·福建·大同中学八年级期中）计算2x+3y−42x+ay+b得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则a−b的值为（

A．1 B．−1 C．−7 D．7【变式1-1】（2022·江西景德镇·七年级期中）小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，【变式1-2】（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)n(n=1，1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)1

4

6

4

1

(a+b)……

……请依据上述规律，写出(x−2x)2022展开式中含A．2022 B．−4044 C．−2020 D．4042【变式1-3】（2022·全国·八年级专题练习）设a1,a2,a3,⋯a【考点2整式乘法的应用】【例2】（2022·浙江宁波·七年级期中）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b、a的长方形纸片一张，其中a<b．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足S1=8S2，则a，A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a【变式2-1】（2022·山东泰安·期中）如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的面积可表示为__________．【变式2-2】（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．(2)若y=3x=30米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．【变式2-3】（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）如图，长为10，宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含y的代数式表示）(2)分别用含x，y的代数式表示阴影部分A，B的面积．(3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差．【考点3利用乘法公式求值】【例3】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期中）若x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k值为_____．【变式3-1】（2022·湖南株洲·七年级期中）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，则ab值是（）A．﹣8 B．12 C．8 D．9【变式3-2】（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，正方形的边长为m＋5，面积记为S1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋9，面积记为S2（其中m为正整数）．若某个图形的面积S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个，则m＝_______．【变式3-3】（2022·江苏镇江·七年级期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（【知识理解】(1)若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为（A．4

B．8

C．±8

D．±16(2)若多项式x2+4x+m是一个完全平方式，那么常数(3)配方：x2−6x−10=x−3【知识运用】(4)通过配方发现，代数式x2(5)利用配方法因式分解：a2+2a−3=a(6)已知m2+2mn+2n2−8n+16=0(7)若M=a+1a−3，N=2a−1a−2，则【考点4乘法公式的几何背景】【例4】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到(x−y)2、(x+y)2、利用上面所得的结论解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y（2）已知|a+b−4|+(ab−2)2=0，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+【变式4-1】（2022·河南南阳·八年级期中）探究活动：(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）；(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）；(3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____．(4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2−9y2＝10，4x+6y【变式4-2】（2022·福建·明溪县教师进修学校七年级期中）阅读理解：若x满足210−xx−200=−204，试求解：设210−x=a，x−200=b，则ab=−204，且a＋b＝(210－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=解决问题(1)若x满足2022−xx−2010=22，则2022−x(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022−xx−2002(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？【变式4-3】（2022·湖南·常德市第二中学七年级期中）（1）①如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）；②将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是______（写成多项式相乘的形式）；（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．（3）利用所得公式计算：2【考点5整式乘除的计算与化简】【例5】（2022·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×−1【变式5-1】（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）若定义表示3xyz3，表示−3adcb，则运算A．−72n B．72n C．mn 【变式5-2】（2022·山东淄博·期中）王老师给学生出了一道题：求2x+y2x−y+22x−y2+同学们看了题目后发表不同的看法．小明说：“条件y=−1是多余的．”小亮说：“不给y=−1这个条件，就不能求出结果，所以不多余．”(1)你认为他俩谁说的有道理？为什么？(2)若本题的结果等于M，试求M的值．【变式5-3】（2022·重庆市万州第二高级中学八年级期中）已知a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能被多项式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的值．【考点6整式混合运算的应用】【例6】（2022·北京·八年级期中）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案：方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；方案2：第一次、二次提价均为x%+y%2其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．【变式6-1】（2022·重庆·八年级期中）近年来，重庆成为了众多游客前来旅游的网红城市．某商场根据游客的喜好，推出A、B两种土特产礼盒，A种礼盒内有3袋磁器口麻花，3包火锅底料；B种礼盒里有2袋磁器口麻花，3包火锅底料，2袋合川桃片．两种礼盒每盒成本价分别为盒内所有土特产的成本价之和．已知每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%．今年10月1日卖出A、B【变式6-2】（2022·重庆南开中学七年级期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的16种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的38，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的【变式6-3】（2022·重庆巴蜀中学七年级期中）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人民的喜爱；每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为___．【考点7因式分解的概念】【例7】（2022·江苏徐州·七年级期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A．ab+ac+d=aa+b+d C．a+ba−b=a【变式7-1】（2022·山东·海川中学八年级期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a+12 D．a2+2ab﹣【变式7-2】（2022·云南省个旧市第二中学八年级期中）下列多项式中，不能进行因式分解的是（

）A．a3－3a2＋2a B．a2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【变式7-3】（2022·上海·七年级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（

）①x②x③−2④a⑤(m−n)(2x−5y−7z)+(m−n)(3y−10x+3z)=−(m−n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【考点8因式分解（提公因式与公式法综合）】【例8】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)4a(2)a2【变式8-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）已知a+b=12,ab=−【变式8-2】（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．(1)a(2)x【变式8-3】（2022·浙江·宁波大学青藤书院七年级期中）因式分解：(1)mx(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【考点9因式分解（十字相乘法）】【例9】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【变式9-1】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【变式9-2】（2022·浙江杭州·七年级期中）分解因式：x+2x−3【变式9-3】（2022·贵州铜仁·七年级期中）(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我们已经知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项−6也分解为两个因数的积，即−6=2×−3；然后把1，1，2，−3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×−3+1×2=−1，恰好等于一次项的系数−1请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

2x②

6x(3)【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，①

分解因式3x②

若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y【考点10因式分解（分组分解法）】【例10】（2022·上海市娄山中学九年级期中）分解因式：x2【变式10-1】（2022·上海·七年级期中）因式分解：9−4【变式10-2】（2022·湖南常德·七年级期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【变式10-3】（2022·福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a−7b，求整式M的最小值．【考点11利用整体思想分解因式】【例11】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：x+y2解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A再将“A”还原，得原式=x+y+12．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将【变式11-1】（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25进行因式分解的过程．解：设x2+3x＝y原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y2﹣8y+16（第二步）＝（y﹣4）2（第三步）＝（x2+3x﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（9x26x+3）（9x26x1）4进行因式分解．【变式11-2】（2022春·湖南永州·七年级统考期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【变式11-3】（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．【考点12利用拆项法分解因式】【例12】（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．ax+by+bx+ay=例2．2xy+（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．x请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：(1)分解因式：①x2−(2)分解因式：a2(3)若多项式ax2−9y2【变式12-1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）阅读材料：把代数式x2x===(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2(2)拓展：把代数式x2+4xy−5y2因式分解得______；当【变式12-3】（2022秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用上述方法将下列各式进行因式分解．(1)x2(2)a4【考点13利用添项法分解因式】【例13】（2022年河北省邢台市九年级中考第三次模拟数学试题）嘉琪采用一种新的方法将x2x2=x2=x−22=x−2+1x−2−1=x−1x−3(1)③的变形依据是．(2)仿照嘉琪的做法，分解因式x2【变式13-1】（2022秋·上海·七年级校联考期末）阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2−B解：原式===即原式=请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：(1)4x(2)x4【变式13-2】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把x4+4分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和x22+x4任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)4m(2)x2【变式13-3】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．例题：x3+8=x3=x=x＝________（两组有公因式，再提公因式）(1)请将上面的例题补充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x(3)若a，b，c是△ABC三边长，满足3a【考点14利用因式分解进行有理数的简算】【例14】（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−122A．512 B．12 C．712【变式14-1】（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．【变式14-2】（2022秋·广东惠州·九年级校考开学考试）利用因式分解简便运算：52.82【变式14-3】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）利用因式分解计算：(1)8.67×15.3+15.3×1.33(2)10×91【考点15利用因式分解判定三角形的形状】【例15】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）已知a、b、c是△ABC的三边，a2−2ab+b2=0且2A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【变式15-1】（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．【变式15-2】（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．【典例分析】已知实数x，y满足x+y＝4，试求代数式x2+y2的最小值．【分析】均值换元法：由x+y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2+t，再代入代数式换元求解．【解法】∵x+y＝4，∴设x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：(1)若实数a，b满足a+b＝2，求代数式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．(3)若实数a，b，c满足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．【变式15-3】（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：x22．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）【考点16利用因式分解求值】【例16】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果为x−1x+1x+2．当x=18(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3(2)将关于x的多项式(m−n)x3−m+12n【变式16-1】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期中）已知mn=1，m−n=2，则A．−1 B．3 C．2 D．−2【变式16-2】（2022·浙江·七年级期中）已知a−b=3，b−c=−4，则代数式a2【变式16-3】（2022·河南周口·八年级期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．【考点17因式分解的探究题】【例17】（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）做一做计算：探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为(x+a)，宽为(x+b)．(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为．尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．(2)若x2−7x+m=(x−9)(x+2)，则m=(3)若x2+px−4可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数p的值一定是(4)若x2−4x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数q的值一定是A．4

B．0

C．有限个

D．有无数个【变式17-1】（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2−2mm+2n2−8n+16=0解：∵m2∴m2∴m−n2∴m−n2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+4ab+5b2+6b+9=0(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+2b(3)若A=3a2+3a−4，B=2a2【变式17-2】（2022春·江苏南京·七年级校考期末）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn=2，求3m【变式17-3】（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）阅读材料：若m2−2mn+2n解：∵m2∴m2∴m−n2∴m−n2=0，n−42=0，∴根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+2b(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2(3)已知a−b=8，ab+c2−16c+80=0【考点18因式分解的应用】【例18】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果为x−1x+1x+2．当x=18(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3(2)将关于x的多项式(m−n)x3−m+12n【变式18-1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期中）先阅读下列材料，然后解决后面的问题．材料：一个三位数abc（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数abc为“协和数”，同时规定c=ka（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k(1)判断132，123，321这三个数中，是“协和数”．(2)对于“协和数”abc，求证：“协和数”abc能被11整除．(3)已知有两个十位数相同的“协和数”a1bb1，a2bb2（a1＞a【变式18-2】（2022·广东·广州六中八年级期中）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记A(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A45(2)若k是一个不超过50的“平方和数”，且Ak=k−9(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．【变式18-3】（2022·福建省永春第一中学八年级期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算：a+2ba+b=(2)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是（用含a，(3)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为；(4)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1−S2=3b2专题13.3整式乘法与因式分解十八大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1整式的乘法】 1【考点2整式乘法的应用】 4【考点3利用乘法公式求值】 7【考点4乘法公式的几何背景】 11【考点5整式乘除的计算与化简】 17【考点6整式混合运算的应用】 19【考点7因式分解的概念】 25【考点8因式分解（提公因式与公式法综合）】 27【考点9因式分解（十字相乘法）】 29【考点10因式分解（分组分解法）】 34【考点11利用整体思想分解因式】 36【考点12利用拆项法分解因式】 39【考点13利用添项法分解因式】 43【考点14利用因式分解进行有理数的简算】 47【考点15利用因式分解判定三角形的形状】 49【考点16利用因式分解求值】 54【考点17因式分解的探究题】 56【考点18因式分解的应用】 61【考点1整式的乘法】【例1】（2022·福建·大同中学八年级期中）计算2x+3y−42x+ay+b得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则a−b的值为（

A．1 B．−1 C．−7 D．7【答案】B【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方程组求解即可得到答案．【详解】解：2x+3y−4=4=4∵展开后多项式不含x、y的一次项，∴2b−8=0∴a=3∴a−b=−1，故选B．【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键．【变式1-1】（2022·江西景德镇·七年级期中）小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，【答案】(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【详解】（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．【变式1-2】（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)n(n=1，1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)1

4

6

4

1

(a+b)……

……请依据上述规律，写出(x−2x)2022展开式中含A．2022 B．−4044 C．−2020 D．4042【答案】B【分析】首先确定x2020【详解】解：由题意：，(x−2=x可知，(x−2x)∴(x−2x)故选B．【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．【变式1-3】（2022·全国·八年级专题练习）设a1,a2,a3,⋯a【答案】M＞N．【分析】设a2+a3+…+a2021=m，代入M、N中化简后比较即可．【详解】解：设a2+a3+…+a2021=m，则M=（a1+m）（m+a2022）=a1m+m2+a2022m+a1a2022，N=（a1+m+a2022）m=a1m+m2+a2022m，M-N=a1a2022，∵a1，a2，…，a2022都是正数，∴a1a2022＞0，∴M-N＞0，∴M＞N．【点睛】本题考查了整式乘法的混合运算，规律型：数字的变化类，设a2+a3+…+a2021=m，利用多项式乘多项式的法则计算出M、N是解题的关键．【考点2整式乘法的应用】【例2】（2022·浙江宁波·七年级期中）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b、a的长方形纸片一张，其中a<b．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足S1=8S2，则a，A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a【答案】A【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．【详解】由题意可得：S1=(a+b)2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，∵S1∴2ab=8(ab-a2)，∴2ab=8ab-8a2∴b=4b-4a∴4a=3b，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算，用含a，b的代数式表示出S1，S2是解题关键．【变式2-1】（2022·山东泰安·期中）如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的面积可表示为__________．【答案】a【分析】根据图形表示出新长方形的长与宽，即可确定出面积．【详解】解：根据题意得：新长方形的长为a−b，宽为a−3b，则新长方形面积为a−ba−3b故答案为：a2【点睛】本题考查了列代数式及整式的加减，明确题意，列出相应的代数式是解本题的关键．【变式2-2】（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．(2)若y=3x=30米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．【答案】(1)2(2)34000元【分析】（1）利用大长方形的面积减去两个小正方形的面积可得“T”型图形的面积，再根据整式的乘法与加减法法则进行化简即可得；（2）根据y=3x=30米可得x=10米，代入（1）中的结论可得“T”型图形的面积，再根据草坪每平方米20元即可得．【详解】（1）解：“T”型图形的面积=2x+y=2=2x答：“T”型图形的面积为2x（2）解：由y=3x=30米得：x=10米，则“T”型图形的面积=2x所以草坪的造价为1700×20=34000（元），答：草坪的造价为34000元．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及合并同类项的应用，根据图形正确列出代数式是解题关键．【变式2-3】（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）如图，长为10，宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含y的代数式表示）(2)分别用含x，y的代数式表示阴影部分A，B的面积．(3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差．【答案】(1)10−2y(2)S(3)当y=52时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x【分析】（1）由图形可直接填空；（2）由长方形面积公式结合图形即可解答；（3）计算出S阴影部分A−S阴影部分B=2y2−10y−x4y−10，即得出当4y−10=0时，阴影部分A（1）由图可知每个小长方形较长一边长为10−2y．故答案为：10−2y；（2）S阴影部分S阴影部分（3）S阴影部分A∵2y2∴当4y−10=0时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，解得：y=5∴S阴影部分【点睛】本题主要考查列代数式，整式混合运算的应用．利用数形结合的思想是解题关键．【考点3利用乘法公式求值】【例3】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期中）若x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k值为_____．【答案】7或﹣5【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k﹣1＝±6．【详解】解：∵（x±3）2＝x2±6x+9＝x2+（k﹣1）x+9，∴k﹣1＝±6，解得k＝7或﹣5．故答案为：7或﹣5．【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键．【变式3-1】（2022·湖南株洲·七年级期中）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，则ab值是（）A．﹣8 B．12 C．8 D．9【答案】C【分析】先求出（a-b）2，然后将a2+b2＝20代入即可求得ab．【详解】解：∵（a-b）2=a2+b2-2ab=4，a2+b2＝20∴20-2ab=4，解得：ab=8．故选：C．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式变形求值，灵活应用完全平方公式和整体代入思想成为解答本题的关键．【变式3-2】（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，正方形的边长为m＋5，面积记为S1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋9，面积记为S2（其中m为正整数）．若某个图形的面积S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个，则m＝_______．【答案】7【分析】先根据正方形和长方形的面积公式计算出S1和S2，由此可得S2﹣S1＝2m+2，再根据S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个可得2m+2＝16，由此即可求得答案．【详解】解：∵S1＝（m+5）2＝m2+10m+25，S2＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，∴S2﹣S1＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+25）＝2m+2，∵m为正整数，∴S2与S1都是正整数，∵某个图形的面积S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个，∴2m+2＝16，解得：m＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则以及整式加减等相关知识，能够根据题意得到2m+2＝16是解决本题的关键．【变式3-3】（2022·江苏镇江·七年级期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（【知识理解】(1)若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为（A．4

B．8

C．±8

D．±16(2)若多项式x2+4x+m是一个完全平方式，那么常数(3)配方：x2−6x−10=x−3【知识运用】(4)通过配方发现，代数式x2(5)利用配方法因式分解：a2+2a−3=a(6)已知m2+2mn+2n2−8n+16=0(7)若M=a+1a−3，N=2a−1a−2，则【答案】(1)C(2)4(3)19，(x+1)(4)3(5)1，(a+3)(a−1)(6)−4,4(7)<【分析】（1）直接利用完全平方公式求解即可；（2）直接利用完全平方公式求解即可；（3）利用配方法求解即可得；（4）利用配方法求解即可得；（5）先利用配方法计算，然后利用平方差公式因式分解；（6）先利用配方法计算，然后利用平方的非负性求解即可；（7）利用两个整式作差即可比较大小．【详解】（1）解：x∴k=±2×4=±8，故选：C（2）x2∴m=4，故答案为：4；（3）x2x2故答案为：19；x+12（4）x2∵x−22∴x−22故答案为：3；（5）a====(a+3)(a−1)故答案为：1；(a+3)(a−1)（6）m2m2(m+n)2∴m+n=0且n−4=0，解得：n=4，m=-4，故答案为：-4；4；（7）M-N=(a+1)(a−3)-2(a−1)(a−2)=a=a=−a=−(a−2)∴M<N，故答案为：<．【点睛】题目主要考查完全平方公式的计算及配方法、多项式的大小比较、因式分解等，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．【考点4乘法公式的几何背景】【例4】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到(x−y)2、(x+y)2、利用上面所得的结论解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y（2）已知|a+b−4|+(ab−2)2=0，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+【答案】（x−y【分析】根据正方形的面积两种计算方法，一种是边长的平方，一种是大正方形减去四个长方形的面积，即可得到等式；根据正方体的体积的两种算法得到等式，一种是棱长的立方，一种是小正方体和长方体的和计算；（1）将条件代入等式计算即可；（2）中先从条件中得到a+b＝4，ab＝2，然后将其代入等式计算即可．【详解】解：如图1，方法一：已知边长直接求面积为（x−y方法二：阴影部分面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积，所以面积为(x+y)∴等量关系式为：（x−y故答案为：（x−y如图2，方法一：已知棱长直接求体积为（a+b方法二：正方体的体积是长方体和小正方体的体积和，即a3∴等量关系式为：（a+b故答案为：（a+b（1）将x+y＝3，xy=54代入得（x−y∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵|a+b−4|+（∴a+b＝4，ab＝2，将其代入（a+b即64＝∴a3+b3＝【点睛】本题主要利用图象探究式的等量关系，要结合图象分析，后面是等量关系的应用，先分析适用于等量关系的条件然后代入计算即可．【变式4-1】（2022·河南南阳·八年级期中）探究活动：(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）；(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）；(3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____．(4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2−9y2＝10，4x+6y【答案】(1)a(2)（a+b）（a﹣b）(3)a2−b2＝（a+b）（(4)a(5)2x﹣3y的值为5【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；（2）根据长方形面积公式解答即可；（3）由（1）、（2）即可得到公式；（4）根据平方差公式，得到a+b2（5）将4x2−9y2=10，化为（2x+3y）（2x-3y）=0的形式，再由4x+6y（1）S阴故答案为：a2（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），∴S阴故答案为：a+ba−b（3）由（1）、（2）可得，a2−b2＝（a+b）（故答案为：a2−b2＝（a+b）（（4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝a+b2＝a2（5）4x2−9y2＝（2x+3y∵4x+6y＝4，∴2x+3y＝2，∴2x﹣3y＝10÷2＝5，故2x﹣3y的值为5．【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，用不同方法表示同一个图象的面积是解决问题的关键．【变式4-2】（2022·福建·明溪县教师进修学校七年级期中）阅读理解：若x满足210−xx−200=−204，试求解：设210−x=a，x−200=b，则ab=−204，且a＋b＝(210－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=解决问题(1)若x满足2022−xx−2010=22，则2022−x(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022−xx−2002(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？【答案】(1)100(2)−810(3)96【分析】（1）根据材料解法，设2022−x=a，x−2010=b，则ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，根据（2）根据材料解法，设2022−x=a，x−2002=b，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，根据a+b2（3）由图及题中条件得到正方形CFGH的边长为10−x，正方形CEMN的边长为6−x，由长方形CEPF的面积为40平方单位得到10−x6−x（1）解：设2022−x=a，x−2010=b，则ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=（2）解：设2022−x=a，x−2002=b，则a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=a+b2（3）解：由图及题中条件可知正方形CFGH的边长为10−x，正方形CEMN的边长为6−x，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到10−xx−6∴阴影部分面积为10−x2设10−x=a，x−6=b，则ab=−40，且a＋b＝(10－x)＋(∵a+b2∴10−x2∵a2∴阴影部分面积为96．【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的应用能力，读懂题意，掌握材料中的解法，结合图形进行完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．【变式4-3】（2022·湖南·常德市第二中学七年级期中）（1）①如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）；②将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是______（写成多项式相乘的形式）；（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．（3）利用所得公式计算：2【答案】（1）①a2−b2；②【分析】（1）①根据图1确定出阴影部分面积即可；②根据图2确定出长方形面积即可；（2）根据两图形面积相等得到乘法公式；（3）利用得出的平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：（1）①∵正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b∴阴影部分的面积是a2②由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，∴长方形AHDE的面积是(a+b)(a−b)，故答案为：①a2−b（2）由（1）可得到(a+b)(a−b)=a故答案为：(a+b)(a−b)=a（3）原式=4×=4×(1−=4×(1−1=4−1=4．【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【考点5整式乘除的计算与化简】【例5】（2022·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×−1【答案】−6x+2y−1【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】由题意可得，所捂多项式是：(3=3=−6x+2y−1．故答案为：−6x+2y−1．【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式5-1】（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）若定义表示3xyz3，表示−3adcb，则运算A．−72n B．72n C．mn 【答案】A【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．【详解】解：由题意可得：3mn⋅23÷−3故选A．【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．【变式5-2】（2022·山东淄博·期中）王老师给学生出了一道题：求2x+y2x−y+22x−y2+同学们看了题目后发表不同的看法．小明说：“条件y=−1是多余的．”小亮说：“不给y=−1这个条件，就不能求出结果，所以不多余．”(1)你认为他俩谁说的有道理？为什么？(2)若本题的结果等于M，试求M的值．【答案】(1)小明说的有道理，理由见解析；(2)3【分析】（1）对2x+y2x−y（2）由（1）可计算得的结果为3，即M的值为3．（1）解：小明说的有道理，理由如下：2x+y==4=12x∵化简得结果为12x2，12x∴条件y=−1是多余的，小明说的有道理；（2）当x=12时，∴M=3,即M的值为3．【点睛】此题考查了整式的混合运算，在化简求值时要特别注意去括号法则的运用.【变式5-3】（2022·重庆市万州第二高级中学八年级期中）已知a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能被多项式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的值．【答案】（1）4a+c＝12；（2）a＝2；b＝﹣7；c＝4．【分析】（1）根据整除的定义，得到x2+3x﹣4＝0，然后得到关于a、b、c的方程组，即可得到答案；（2）由于c≥a＞1，又a=3−c4，可知1＜3−c【详解】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一个因式，∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，∴a+b+c=−1①16a−4b+c=64②①×4+②得4a+c＝12③；（2）∵c≥a＞1，又a=3−c∴a＝3−c4＜c，即1＜解得：125又∵a、c是大于1的正整数，∴c＝3、4、5、6、7，但a=3−c∴c＝4，∴a＝2，∴b＝﹣4﹣34【点睛】本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思也就是说，B是A的一个因式，使这个因式B等于0的值，必是A的一个解．【考点6整式混合运算的应用】【例6】（2022·北京·八年级期中）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案：方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；方案2：第一次、二次提价均为x%+y%2其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．【答案】方案2最终价格更高，理由见解析．【分析】先表示出“最方案1最终价格-方案2最终价格”代数式表示，再利用整式的混合运算，化简整式，最后得−100+x【详解】解：方案2最终价格更高．理由如下：最方案1最终价格-方案2最终价格========∵x，y是不相等的正数∴−所以，两种方案后方案2最终价格更高．【点睛】题考查了列代数式、整式混合运算、乘法运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式6-1】（2022·重庆·八年级期中）近年来，重庆成为了众多游客前来旅游的网红城市．某商场根据游客的喜好，推出A、B两种土特产礼盒，A种礼盒内有3袋磁器口麻花，3包火锅底料；B种礼盒里有2袋磁器口麻花，3包火锅底料，2袋合川桃片．两种礼盒每盒成本价分别为盒内所有土特产的成本价之和．已知每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%．今年10月1日卖出A、B【答案】6920【分析】根据A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%可得1袋磁器口麻花，1包火锅底料的成本价是30元，设1袋磁器口麻花成本价是x元，则1包火锅底料的成本价是(30−x)元，每袋合川桃片的成本价30−x2元，设今年10月1日卖出A种礼盒m盒，则卖出B中礼盒(80−m)盒，由工作人员在核算当日卖出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成本少了280元，可得90m+(80−m)(120−2x)+280=90m+(80−m)[2(30−x)+3x+2×30−x【详解】∵A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为20%∴A种礼盒每盒的成本价为108÷(1+20%)=90（元∴1袋磁器口麻花，1包火锅底料的成本价是30元，设1袋磁器口麻花成本价是x元，则1包火锅底料的成本价是(30−x)元，∵每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，∴每袋合川桃片的成本价30−x2∴每盒B种礼盒成本价是2x+3×(30−x)+2×30−x设今年10月1日卖出A种礼盒m盒，则卖出B中礼盒(80−m)盒，根据题意可得：90m+(80−m)(120−2x)+280=90m+(80−m)[2(30−x)+3x+2×30−x化简整理得：mx=80x+15m−1340，∴当日卖出礼盒的实际总成本为：90m+(80−m)(120−2x)=90m+9600−160x−120m+2mx=90m+9600−160x−120m+2(80x+15m−1340)=6920元故答案为：6920．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，整式的运算、代数式的知识，解题的关键熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解．【变式6-2】（2022·重庆南开中学七年级期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的16种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的38，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的【答案】47【分析】设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，根据三种蔬菜面积之比及单位面积种植株数之比可得第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，种植番茄的单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，设余下的面积为z，第二小组在余下的实验田里种植辣椒面积的16z，可列方程16z+4m=38(3m+2m+4m+z)，可得z=3m，设第二小组种植黄瓜面积为a【详解】解：设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，∵单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2，第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，∴第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，种植番茄的单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，设余下的面积为z，∴第二小组在余下的实验田里种植辣椒面积的16∴1解得z=3m，设第二小组种植黄瓜面积为a，第二小组种植番茄面积为3m−a−1黄瓜种植面积：3m+a，番茄种植面积：2m+5辣椒种植面积：4m+1第二小组种植三种蔬菜的总株数为：a×n+(=an+5mn−2an+mn=6mn−an第一小组种植三种蔬菜的总株数为：3mn+2m×2n+4m×2n=15mn∴6mn−an=解得a=m，黄瓜总株数：3mn+an=4mn，番茄总株数：5mn−2an+4mn=7mn4mn最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为47【点睛】本题主要考查了代数式表示数、代数式在生活中的的运用和一元一次方程的实际问题等知识，仔细阅读抓住辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的38，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的1【变式6-3】（2022·重庆巴蜀中学七年级期中）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人民的喜爱；每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为___．【答案】7：15【分析】设A、B、C三种花卉的成本价分别为x元、y元、z元，根据题意求得y=4z，x=z，得到“如沐春风”礼盒的成本价为28z元，“惜懂少女”礼盒的成本价为14z元，“粉色回忆”礼盒的成本价为20z元，以及得到“如沐春风”礼盒的售价为42z，“惜懂少女”礼盒的售价为21z，“粉色回忆”礼盒的售价为30z，再根据题意约分即可求解．【详解】解：设A、B、C三种花卉的成本价分别为x元、y元、z元，则“如沐春风”礼盒的成本价为：(2x+4y+10z)元，“惜懂少女”礼盒的成本价为：(2x+2y+4z)元，“粉色回忆”礼盒的成本价为：(2x+3y+6z)元，∵每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，∴y=4z，∴“如沐春风”礼盒的成本价为：(2x+26z)元，“惜懂少女”礼盒的成本价为：(2x+12z)元，“粉色回忆”礼盒的成本价为：(2x+18z)元，又∵每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，∴2x+26z=2(2x+12z)，∴x=z，∴“如沐春风”礼盒的成本价为：28z元，“惜懂少女”礼盒的成本价为：14z元，“粉色回忆”礼盒的成本价为：20z元，∵该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售，∴“如沐春风”礼盒的售价为：28z•(1+50%)=42z(元)，“惜懂少女”礼盒的售价为：14z•(1+50%)=21z(元)，“粉色回忆”礼盒的售价为：20z•(1+50%)=30z(元)，设“如沐春风”礼盒的销量为a，“粉色回忆”礼盒的销量为b，∵“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒的销量相同，∴“懵懂少女”礼盒的销量为a，∵将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，“粉色回忆”礼盒打九折销售，∴“如沐春风”礼盒的利润为：0.8×42z-28z=5.6z(元)，“惜懂少女”礼盒的利润为：0.8×21z-14z=2.8z(元)，“粉色回忆”礼盒的利润为：0.9×30z-20z=7z(元)，∵三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，∴28z•a+14z•a+20z•b=4(5.6z•a+2.8z•a+7z•b)，整理得：8.4a=8b，“粉色回忆”礼盒的总利润为：7z•b，三种礼盒的总利润为：5.6z•a+2.8z•a+7z•b=8.4z•a+7z•b=15z•b，∴该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为：7z•b：15z•b=7：15．故答案为：7：15．【点睛】本题考查了整式的混合运算，理解“利润率=售价−【考点7因式分解的概念】【例7】（2022·江苏徐州·七年级期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A．ab+ac+d=aa+b+d C．a+ba−b=a【答案】B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C、是整式的乘法，故C错误；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选B．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．【变式7-1】（2022·山东·海川中学八年级期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a+12 D．a2+2ab﹣【答案】B【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：选项A、C、D都不能够用完全平方公式分解，选项B能用完全平方公式分解，即1−2xy+x故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式7-2】（2022·云南省个旧市第二中学八年级期中）下列多项式中，不能进行因式分解的是（

）A．a3－3a2＋2a B．a2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【答案】D【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案即可．【详解】解：A、a3B、a2C、−aD、原式不能分解，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确分解因式是解题关键．【变式7-3】（2022·上海·七年级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（

）①x②x③−2④a⑤(m−n)(2x−5y−7z)+(m−n)(3y−10x+3z)=−(m−n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，分解的结果要分解到不能再分解为止，根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可．【详解】①左边为三项，右边乘开为两项，故错误；②右边(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左边，故错误；③公因数2未提出来，故错误；④a3﹣abc+a2b﹣a2c=(a3+a2b)﹣(abc+a2c)=a2(a+b)﹣ac(a+b)=a(a﹣c)(a+b)④正确；⑤等式右边的(8x+2y+4z)未提取公因数2，故错误．综上，只有④正确．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握分解的基本方法及分解要求，是解答本题的关键．【考点8因式分解（提公因式与公式法综合）】【例8】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)4a(2)a2【答案】(1)4a−2(2)x−y【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为a2（1）解：4=4=4a−2（2）解：a=a=x−y=x−y【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。【变式8-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）已知a+b=12,ab=−【答案】aba+b2【分析】先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式求解即可．【详解】解：a3=ab=ab当a+b=12，原式=−3【点睛】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是提出公共因式．【变式8-2】（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．(1)a(2)x【答案】(1)ab(2)x−4【分析】（1）先提取公因式ab，再根据完全平方公式分解；（2）先提取公因式x−4，再根据完全平方公式分解．（1）解：a=ab=ab（2）解：x=x−4=x−4【点睛】本题考查了用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【变式8-3】（2022·浙江·宁波大学青藤书院七年级期中）因式分解：(1)mx(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【答案】(1)m（x+y）（x﹣y）(2)（a﹣b）（2m+3n）【分析】（1）直接提取公因式m,再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（