几何体中的“切”与“接”_第1页
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精品文档-下载后可编辑几何体中的“切”与“接”几何体和旋转体之间的“切”与“接”的问题，是学习立体几何的一个难点，也是高考中常考的一类问题。究其原因主要是图形较复杂，不好画，画出来了也不好看，分析起来必然会碰到困难，另一方面是切与接的两个几何体之间的线元素不知哪里发生关系，也增加了问题的难度。

针对这种情况，解决“切”与“接”的问题，首先要明确切与接的位置在哪里，准确定位而毫不含糊，其次要找出这两个几何体的线元素的关系，为此可以采用两种转化的方法：一是转化为包含其主要的一个剖面图即平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方法进行转化，使运算和推理变得更简单，体现数学中的转化化归思想是立体几何中非常重要的思想方法。

例1.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，EF分别是AA1、DD1的中点，求直线EF被球O截得的线段长。（如图1）

解析：正方体与球相接于8个顶点，设EF与球面交于M、N，则直线EF被球截得的线段长为弦长MN。经过M、N、O作一个平面，与球面相交得大圆，产生如2图所示的剖面图。要求MN只要求出它的一半即可，易知球心到弦长的距离OK=，正方体外接球的直经为正方体的体对角线长。

例2.若正方体的棱长为，求以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积。

解析：正方体与凸多面体的顶点相接于正方体的中心，由正方体的对称性可知，任意两个面的中心的连线长度相等，所以所得凸多面体为共底的两个特殊正四棱锥，且其棱长均为1，如图3，在正四棱锥P-O1O2O3O4中，底面O1O2O3O4为正方形，易得面积是1，在三角形PO1O3中，可求得高OK=。

VP-O1O2O3O4=

从而多面体的体积是

例3.如图4球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，AC=15，BC=12，AB=9，且球心到该截面的距离为球半经的一半，那么球的体积为。A、C两点间的球面距离为。

解析：球面上两点间的距离，就是这两点和球心构成的球心角所对的大圆的劣弧长。设球O的半径为R，球面上两点A、C的球心角，则A、C两点间的球面距离为（其中为弧度数），所以只要求出的大小和球的半经R即可。设过A、B、C三点的球截面为O1。由已知易得为ABC直角三角形，且∠B为直角，所以AC为截面圆O1的直经，从而球半经，在AOC中，由余弦定理求得，

体积

AC两点的球面距离为

例4.一个球与一个正三棱的三个侧面和两底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）。

ABCD

解析：如图5一个球与一个正三棱的三个侧面和两底面都相切，那么正三棱柱ABC-A1B1C1的内切球的球心在两底面中心连线O1O上且为它的中点。所以球直径是正三棱柱的高，设球的半径为R，则O1O=2R，由已知得R=2，球心到侧面的距离是底面正三角形ABC的高AD的，AD=6

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