2024年中考数学几何模型24专题专题03 旋转的性质含解析

2024年中考数学几何模型24专题专题03旋转的性质一、方法突破旋转，是三大几何变换中考察最多、难度最大的那个，平移、对称从图像观察角度来说直接显然，对应的结论也很容易用到．而旋转，变换得到的图形相对复杂些，有时候解题的突破口隐藏得更深，导致无从下手．本篇将从基本的性质开始，到一些常见的模型，最后说说关于构造旋转能给我们带来什么，全方位了解旋转在中考题中的考察．一、旋转的基本性质如下图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE．性质一：对应边相等结论：AB=AD，AC=AE．补充：当然还可以得到BC=DE，但这并没有什么用，因为BC与DE并没有特殊位置关系．性质二：对应角相等结论：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE．补充：如果不是特殊角，此性质并没有什么用，但由性质二可以推性质三．性质三：旋转角都相等结论：∠BAD=∠CAE=∠BFD．补充：∠BAD=∠CAE易证，∠BAD=∠BFD可用“8字”模型证明：∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D，且∠B=∠D，∴∠BAD=∠BFD．且第三组对应边往往用得最多．二、典例精析【中考真题-关于三角形的旋转】（2019·眉山）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为．（2019·内江）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6

（2019·阜新）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若，，则线段的长度为．（2019·包头）如图，在中，，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的值是．（2018·镇江）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转，点对应点落在的延长线上．若，则．（2019·山西）如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接，交于点，则的长为．【中考真题-关于四边形的旋转】（2017·吉林）如图，在矩形中，，．矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形．若点的对应点落在边上，则的长为．（2019·梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是．（2018·陇南）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为A．5 B． C．7 D．（2019·贺州）如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则的长为．（2019·营口）如图，是等边三角形，点为边上一点，，以点为顶点作正方形，且，连接，．若将正方形绕点旋转一周，当取最小值时，的长为．三、中考真题演练1．如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到△，连接．则线段的长为A．1 B． C． D．2．如图，在边长为2的正方形中，若将绕点逆时针旋转，使点落在点的位置，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为A． B． C． D．3．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为A． B． C． D．4．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，使点落在边上，连结，则的值为A． B． C． D．5．如图，中，，，，将绕原点旋转，则旋转后点的对应点的坐标是A．或 B．，或， C．，或， D．或，6．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合），则的度数为A． B． C． D．7．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到△，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为A．， B．， C．， D．，8．如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点时，△为等腰三角形，则A． B． C． D．9．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是A． B．1 C． D．10．如图，为正方形边上一动点（不与重合），，将绕着点逆时针旋转得到，再将沿直线折叠得到．下列结论：①连接，则；②连接，当、、共线时，；③连接、、，若是等腰三角形，则；④连接，设、交于点，若平分，则是的中点，且，其中正确的个数有个．A．4 B．3 C．2 D．1专题03旋转的性质一、方法突破旋转，是三大几何变换中考察最多、难度最大的那个，平移、对称从图像观察角度来说直接显然，对应的结论也很容易用到．而旋转，变换得到的图形相对复杂些，有时候解题的突破口隐藏得更深，导致无从下手．本篇将从基本的性质开始，到一些常见的模型，最后说说关于构造旋转能给我们带来什么，全方位了解旋转在中考题中的考察．一、旋转的基本性质如下图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE．性质一：对应边相等结论：AB=AD，AC=AE．补充：当然还可以得到BC=DE，但这并没有什么用，因为BC与DE并没有特殊位置关系．性质二：对应角相等结论：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE．补充：如果不是特殊角，此性质并没有什么用，但由性质二可以推性质三．性质三：旋转角都相等结论：∠BAD=∠CAE=∠BFD．补充：∠BAD=∠CAE易证，∠BAD=∠BFD可用“8字”模型证明：∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D，且∠B=∠D，∴∠BAD=∠BFD．且第三组对应边往往用得最多．二、典例精析【中考真题-关于三角形的旋转】（2019·眉山）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为．【分析】对应边相等求线段长，即可得所求角的正切值．由题意得：AD=AB=5，EN=CB=12，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴．（2019·内江）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6【分析】利用对应边相等、对应角相等可得特殊图形．由题意得：△ABC≌△ADE，∴AB=AD，又∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=2，又BC=3.6，∴CD=1.6．故选A．

（2019·阜新）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若，，则线段的长度为．【分析】连接EC，由题意可得△ACE是等边三角形，∴EC=AC=BC=ED，易证△ECD≌△EAD，∴CD=AD=AB=2，故CD的长为2．（2019·包头）如图，在中，，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的值是．【分析】已知角度，必可求出∠DEC的度数，且应该是个特殊角．由题意得：∠EAC=70°，∴∠AEC=∠ACE=55°，又∠EAD=∠CAB=55°，∴∠CAD=15°，∵∠ACE+∠CAD=∠ADE+∠DEC，∴∠DEC=45°，∴tan∠DEC=1．

（2018·镇江）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转，点对应点落在的延长线上．若，则．【分析】题目给出的正切值，故构造包含的直角三角形．过点C作CH⊥交于点H，则，根据，即，可得：．（2019·山西）如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接，交于点，则的长为．【分析】特殊特殊度数必然有特殊图形．∵，∴，∴过点A作AH⊥DE交DE于H点，∵AD=6cm，∴cm，cm，∴cm，cm，故CF的长为cm．【中考真题-关于四边形的旋转】（2017·吉林）如图，在矩形中，，．矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形．若点的对应点落在边上，则的长为．【分析】无论图形是什么，抓住旋转的重点来分析．过点作⊥AB交AB于H点，则AH=4，BH=1，∴．（2019·梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是．【分析】特殊的菱形旋转特殊的角度必然得到其他特殊的图形．连接DE，易证△PDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴，∵，∴，∴，∴．（2018·陇南）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为A．5 B． C．7 D．【分析】旋转可以改变图形位置，或许会形成新的特殊图形．易证△ADE≌△ABF，∴正方形ABCD面积为25，所以边长AD=5，又DE=2，∴．故选D．（2019·贺州）如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则的长为．【分析】方法较多，举一种与旋转相关的做法．设，，则，∴GF=GA=EA=，∴，∴CF的长为．

（2019·营口）如图，是等边三角形，点为边上一点，，以点为顶点作正方形，且，连接，．若将正方形绕点旋转一周，当取最小值时，的长为．【分析】如图，当D、A、E三点共线时，AE最小，过点A作AM⊥BC交BC于M点，∵DM=1，，∴，此时，故AG的长为8．三、中考真题演练1．如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到△，连接．则线段的长为A．1 B． C． D．【解答】解：由旋转性质可知，，，则为等腰直角三角形，．故选：．2．如图，在边长为2的正方形中，若将绕点逆时针旋转，使点落在点的位置，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为A． B． C． D．【解答】解：分别延长和交于点，由题知，，，，，，，，由题知，是等边三角形，，故选：．3．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：将绕点逆时针旋转得，，，，，．故选：．4．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，使点落在边上，连结，则的值为A． B． C． D．【解答】解：，，，，将绕点逆时针旋转得到△，，，，，，，故选：．5．如图，中，，，，将绕原点旋转，则旋转后点的对应点的坐标是A．或 B．，或， C．，或， D．或，【解答】解：如图，过点作于，设，则，，，，，，，若将绕原点顺时针旋转，则旋转后点的对应点，，若将绕原点逆时针旋转，则旋转后点的对应点，，故选：．6．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合），则的度数为A． B． C． D．【解答】解：将绕点顺时针旋转得到△，，，，是等腰直角三角形，，，，．故选：．7．如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到△，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为A．， B．， C．， D．，【解答】解：延长交轴于点，延长，由题意的延长线经过点，如图，，，，．由题意：△，，，，，．则，平分，△为等腰三角形．，．，，．．．．，．故选：．8．如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点时，△为等腰三角形，则A． B． C． D．【解答】解：过作于，则，，设，则，，即，解得：（负值舍去），，，在上取一点，使得，连接，则△，且相似比为，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得△，，，，，△△，，，故选：．9．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是A． B．1 C． D．【解答】解：解法一：如图在的下方作等边，作射线．，，，，在和中，，，，，，点在射线上运动（点是定点，是定值），当时，的值最小，最小值，解法二：如图，的上方，作等边，连接，过点作于．，都是等边三角形，，，，，，的值最小时，的值最小，当时，的最小值，的最小值为1．故选：．10．如图，为正方形边上一动点（不与重合），，将绕着点逆时针旋转得到，再将沿直线折叠得到．下列结论：①连接，则；②连接，当、、共线时，；③连接、、，若是等腰三角形，则；④连接，设、交于点，若平分，则是的中点，且，其中正确的个数有个．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①如图1中，连接，延长交于．四边形是正方形，．，，，，，，，，，由翻折可知：，，垂直平分线段，，故①正确，②如图2中，当、、共线时，易证，在上取一点，使得，连接，，，，设，则，则有，，故②正确，③如图3中，连接，，当时，设，则有：，或（舍弃），，故③正确．④如图4中，，，平分，，，，，，，，，，设，，，，，，，，，或（舍弃），，故④正确．故选：．专题04旋转之从全等到相似一、方法突破在手拉手模型中，我们可以看成是两个相似的等腰三角形作共点旋转，由等腰条件可得一组全等三角形．若△ABC与△ADE非等腰，则可得到旋转型相似，取直角三角形为例．如图，Rt△ABC∽Rt△ADE，连接BD、CE，可得：△ADB∽△AEC，（利用两边对应成比例且夹角相等）且旋转的性质，旋转角都相等依然成立，如下右图，∠BAD=∠EAC=∠EFB．

二、典例精析【旋转全等】1.（2019·枣庄）在中，，，于点．（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．【从全等到相似】2.（2019·鞍山）在中，，是内一点，连接，．在左侧作，使，以和为邻边作，连接，．（1）若，．①如图1，当，，三点共线时，与之间的数量关系为．②如图2，当，，三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若，，，且，，三点共线，求的值．【旋转相似】3.（2019·襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则．【旋转相似】4.（2019·东营）如图1，在中，，，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．（1）问题发现①当时，；②当时，．（2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长．

三、中考真题演练【旋转相似】1.（2019·宿迁）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度．（1）如图②，当时，连接、．求证：；（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．【旋转相似】2.（2019·河南）在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．（1）观察猜想如图1，当时，的值是，直线与直线相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．3.（2018·济南）在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接、、．（1）如图1，当点落在线段的延长线上时，直接写出的度数；（2）如图2，当点落在线段（不含边界）上时，与交于点，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若，求的最大值． 专题04旋转之从全等到相似一、方法突破在手拉手模型中，我们可以看成是两个相似的等腰三角形作共点旋转，由等腰条件可得一组全等三角形．若△ABC与△ADE非等腰，则可得到旋转型相似，取直角三角形为例．如图，Rt△ABC∽Rt△ADE，连接BD、CE，可得：△ADB∽△AEC，（利用两边对应成比例且夹角相等）且旋转的性质，旋转角都相等依然成立，如下右图，∠BAD=∠EAC=∠EFB．

二、典例精析【旋转全等】1.（2019·枣庄）在中，，，于点．（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．【分析】（1）∵∠AMN=30°，∴∠BMD=60°，∵AB=2，∴，∴，∴．故AM的值为．（2）易证△BDE≌△ADF，∴BE=AF．（3）如图，作MQ⊥MA交AB延长线于点Q，易证△MAN≌△MQB，∴AN=BQ，∴，∴．

【从全等到相似】2.（2019·鞍山）在中，，是内一点，连接，．在左侧作，使，以和为邻边作，连接，．（1）若，．①如图1，当，，三点共线时，与之间的数量关系为．②如图2，当，，三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若，，，且，，三点共线，求的值．【分析】（1）．由“8字”模型易证：∠CBD=∠CAF，连接CF，易证△CDB≌△CFA，∴CD=CF，且∠DCF=∠BCA=90°，∴．（2）成立，类似还是证明△CDB≌△CFA，而其中关键性条件∠CBD=∠CAF与B、D、F共线与否比并无关系．BD与DE是垂直关系，又AF∥DE，∴BD⊥AF．如下图，延长BD与AF交于点P，则∠P=90°，由“8字”模型可证：∠CBD=∠CAF．易证△CDB≌△CFA，∴．（3）参考（2），延长BD与AF交于点P，则BD⊥AF，由“8字”模型可得：∠CBD=∠CAF，又BC=2AC，BD=2DE=2AF，∴△CDB∽△CFA，∴CD=2CF．∵，不妨设CD=4k，则AC=5k，∴AD=EF=3k，，∴CE=k，∴，∴．

【旋转相似】3.（2019·襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则．【分析】易证△CBD∽△CAE，且，∴，∠CAE=∠CBD，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠CBD=90°，∴，∴，，又∠CAF=∠CBD=∠CDE=60°，∴△CFD∽△EFA，∴，故的值为．

【旋转相似】4.（2019·东营）如图1，在中，，，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．（1）问题发现①当时，；②当时，．（2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长．

【分析】（1），．（2）不变，易证△CDB∽△CEA，∴．（3）当点E在线段AB上时，如下图所示：易证△CDB∽△CEA，，∵，BC=2，∴BE=1,，∴AE=3，∴．当点E在AB延长线上时，易证四边形BCDE是矩形，∴BD=CE=．综上所述，BD的长为或．

三、中考真题演练【旋转相似】1.（2019·宿迁）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度．（1）如图②，当时，连接、．求证：；（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．【分析】（1）∵D、E分别是BA、BC中点，∴，，将△BDE旋转可得∠DBA=∠EBC=，∴△BDA∽△BEC．（2）不变．由（1）得△BDA∽△BEC，∴∠BAD=∠BCE，由“8字”模型可得：∠G=∠ABC=30°．（旋转任意均有△BED∽△BCA，且旋转角为30°，故CE与AD夹角始终为30°）（3）∠G所对的边AC为定边，定边对定角，故G点轨迹是个圆弧．以AC为边构造等边△AOC，点O即为圆心，又AC=4，故圆O半径为4．通过起点和终点来确定轨迹，如下图：G点从B点出发，当BD⊥BC时，弧BG最长，当旋转180°时，G点返回B点，故点G的轨迹是弧BG长的2倍．易证弧BG所对圆心角为60°，∴，∴G点轨迹长为．【旋转相似】2.（2019·河南）在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线