2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 函数模型的应用 (二)

'I^,rrnrrli>11

It

第二章函数IWKX^

§2.12函数模型的应用

【考试要求】L了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异2理解“指数爆炸”“对

数增长”“直线上升”等术语的含义3能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了

解函数模型在社会生活中的广泛应用.

■落实主干知识

抑识梳理】

1.三种函数模型的性质

函数

尸研〃>1)y=k)g«x(〃>l)y=x,\n>0)

性丿

在(0,+°°)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现为随〃值的变化而各有

图象的变化

为与丫轴平行与送1平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型/(x)=ax+b(a,b为常数,“W0)

二次函数模型J[x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，Q#0)

反比例函数模型fix)=~+b(k,b为常数,ArWO)

指数函数模型x

j(x)=ba+c(a9b,c为常数，Q>0且a2l,6#0)

对数函数模型fix)=blogax+c(a,b,。为常数,。>0且bWO)

幕函数模型a

J(x)=ax+b(a1b,a为常数，a#0,aWO)

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）函数y=2*的函数值比y=x2的函数值大.（X）

（2）某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每

件还能获利.（X）

（3）在（0,+°°）±,随着x的增大，夕=优仙〉］）的增长速度会超过并远远大于卜=片<。>0）和y=

logoX（a>l）的增长速度.（V）

（4）在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（X）

【教材改编题】

I.当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（）

A.y=5xB.y=log?x

C.y—x5D.y=5*

答案D

解析结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快.

2.在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.99-0.010.982.00

则对x,y最适合的函数模型是（）

A.y—2xB.y—x2—I

C.y—2x~2D.y=log2X

答案D

解析根据x=0.50,y=-0.99,代入计算，可以排除A；根据x=2.01,>=0.98,代入计算，

可以排除B,C；将各数据代入函数y=log琪，可知满足题意，故选D.

3.某超市的某种商品的日利润共单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为y

=一芷+12x—210,那么该商品的日利润最大时，当日售价为元.

25------------

答案150

解析因为y=一卷+12x—210=一女（x—150）2+690,所以当x=150时，y取最大值，即该

商品的利润最大时，当日售价为150元.

■探究核心题型

题型一用函数图象刻画变化过程

例1（1）（多选）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,

该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药

物后，体内血药浓度及相关信息如图所示:

，血药浓度(mg/mL)

--------------------------最低中毒浓度(MTC)

一了17c—-一解浓度

f\安全范围

------最低有效浓度(MEC)

O;112345;678~9101112///[^

21f续期一►：残留期

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()

A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用

B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒

C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

答案ABC

解析从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；

根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当

两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等

于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一

次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低

中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.

(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示.

y

4

3•

2

1•

0112345678^

现有如下5个函数模型：①y=0.6x—0.12；②y=2'—2.02；③歹=2*—5.4x+6；④y=log2X；

⑨=0+1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选

.(填序号)

答案④

解析由图可知上述点大体分布在函数y=logM的图象上，

故选择y=log2X可以近似地反映这些数据的规律.

思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数

图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否

吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

跟踪训练1如图，点尸在边长为1的正方形N8CZ）的边上运动，M是CD的中点，则当尸

沿Z—3—C—M运动时，点尸经过的路程x与的面积y的函数y=/（x）的图象大致是

下图中的（）

答案A

解析当点尸在48上时，y=：XxXl=$,OWxWl;

[3

当点?在3C上时，y=S正方彩N8C。一&/。必—SA/^尸一S"CM=一二才+二，1<XW2；

44

当点P在CM上时，y=-Xb-X）X1=--x+-,2Vx

2242

由函数可知，有三段直线，又当点尸在8c上时是减函数，故选A.

题型二已知函数模型的实际问题

例2（1）（2021•全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通

常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录法的数据/满

足丄=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约

为I跖bM.259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D,0.6

答案C

11

解析4.9=5+lg忆=lg『=一0.1=厂=10一历会-0.8,所以该同学视力的小数记

麻

录法的数据约为0.8.

（2）（2022・莆田质检）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量尸（单

位：mg/L）与时间/（单位：h）间的关系为尸=尸0e力，其中Po,左是正的常数.如果2h后还剩

下90%的污染物，5h后还剩下30%的污染物，那么8h后还剩下%的污染物.

答案10

解析设初始污染物数量为产‘，

Po-e2k=—P',

10

则_3

Poe映=—p'

I10

两式相除得e3*=3.

Iai

所以8h后P=Po.3k=b3k.p°.b5k=-----p，=一P,

31010

即还剩下丄X100%=10%的污染物.

10

思维升华已知函数模型解决实际问题的关键

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检脸.

跟踪训练2(1)(多选)(2023•德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传

染的人数.假设某种传染病的基本传染数为Ro,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人,

这N个人中有厂个人接种过疫苗E称为接种率)那么1个感染者传染人数为%(N—F).己

N

知某种传染病在某地的基本传染数Ro=4,为了使1个感染者传染人数不超过1,则该地疫苗

的接种率不可能为()

A.45%B.55%C.65%D.75%

答案ABC

解析为了使1个感染者传染人数不超过1,只吸H，即

因为Ro=4,故1一可得

(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型6=仇+(仇一为)「气f为时间，单位：分钟，

%为环境温度，仇为物体初始温度，。为冷却后温度)，假设一杯开水温度仇=100℃,环境温

度%=20℃,常数k=Q.2,大约经过分钟水温降为40℃(参考数据：In2^0.7)()

A.10B.9C.8D.7

答案D

2,

解析依题意知，40=20+(100-20)-e­°,则丄，

4

-0.2r=ln-=-21n2,所以，=生遂=2弋7(分钟).

40.2

题型三构造函数模型的实际问题

例3智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍

物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危

险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间fo与人的反应时间八，系

统反应时间介，制动时间打，相应的距离分别为do,di，d2,ch，如图所示.当车速为伏米/

秒)，且0＜々33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数4随地面湿滑程度

等路面情况而变化，且1WAW2).

；报警距离

危险距离」

阶段准备人的反应系统反应制动

时间toZi=0.8秒/2=0.2秒13

距离do=10米小di出=二米

20k

(1)请写出报警距离4(米)与车速"米/秒)之间的函数关系式，并求当k=2时，当汽车达到报

警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障

碍物的最短时间；

(2)若要求汽车在k=l的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多

少以下(单位：米/秒)？

解(1)由题意知，d(0=&)+&+必+必=10+0.8/+0.2/+,即d(k)=10+/+,

20k20k

j/2t/(k)10[/i

当々=2时，d(力=10+4+—,《力=--■=1—+—+1N2X丄+1=2,当且仅当仁20时等号

40(/1/402

成立，0＜々33.3,

即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒.

荘

(2)当％=1时，d(力＜50,即10+/+—＜50,

20

即d+20"800＜0,—40＜£20,又0＜々33.3,

故0＜片20,

所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下.

思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤

（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；

（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解：

（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际

问题中去，得到实际问题的解.

跟踪训练3（1）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预

定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳

式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）.现将

石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s,这是第一次“打水漂”，然后石

片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低

于60m/s,则至少需要“打水漂”的次数为（参考数据：取In0.62一0.511,In0.9^-0.105）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析设石片第“次“打水漂”时的速率为％,

则%=100X0.9"r.

由100X0.9"r<60,得0.9"Y0.6,

则（"一l）ln0.9<ln0.6,

一0.511

即〃一七4.87,则n>5.87,

In0.9-0.105

故至少需要“打水漂”的次数为6.

⑵网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方

向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的

销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x（单位：万件）与投入实体店体验安装的费用

«单位：万元）之间满足函数关系式x=3——2一•已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，

t+\

产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每

件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是万元.

答案37.5

解析由题意，产品的月销量以单位：万件）与投入实体店体验安装的费用，（单位：万元）之

间满足工=3一十

t+\

2

即t=——-l(l<x<3),

3—x

所以月利润为y="2X"+2)—32%—3—7=16x—丄-3=16x------------

23—x2

16（3—x）+」一「

=45.5—L.3-xJ<45.5-2V16=37.5,

当且仅当16（3-x）=丄，即x=U■时取等号，

3—x4

则最大月利润为37.5万元.

课时精练

立基础保分练

I.有一组实验数据如下表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

则最能体现这组数据关系的函数模型是（）

A.y—2x，l—lB.y—x3

C.y=21og2XD.y—x2—l

答案D

解析将各点（x,历分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y=x2-l.

2.某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里

出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的

速度赶往学校，令x（单位：分钟）表示离开家的时间，兴单位：千米）表示离开家的距离，其中

等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（）

答案c

解析中途回家取证件，因此中间有零点，排除A,B,第二次离开家速度更大，直线的斜

率更大，故只有C满足题意.

3.农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案

演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%,最初有M只，则能达到最初的1200倍大约经过（参

考数据：In1.06^0.0583,In1200七7.0901）（）

A.122天B.124天C.130天D.136天

答案A

解析由题意可知，蝗虫最初有M）只且日增长率为6%.

设经过“天后蝗虫数量达到原来的1200倍，

则^^=12。。，

No

A1.06"=1200,

.•.〃=logLool200=垣」独七121.614,

In1.06

・・・〃WN*,・,•大约经过122天能达到最初的1200倍.

4.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内

的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉

约为1。一12单忖・出］

水越高.已知听到的声强m与标准声调°'m?J之比的常用对数称作声

强的声强级，记作厶贝尔），即A=lg—,取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已

mo

知某处“喊泉”的声音响度火分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y=2x,现知/同学大

喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若4同学大喝一声的声强大约相当于100个8同学同

时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）

A.0.7米B.7米C.50米D.60米

答案D

解析设8同学的声强为“，喷出的泉水高度为x,

则Z同学的声强为100m,喷出的泉水高度为70,

101g—=2x^lg/n-lgmo=O.2x,101g项丄=2X70=>2+lg机-1gwo=14,

相减得2=14—0.2x=>0.2x=12=>x=60.

5.大气压强p=一„/,它的单位是“帕斯卡”（Pa,lPa=lN/m2）,大气压强MPa）随海拔

受力面积

高度6（m）的变化规律是「=加-批/=0.000126m「i）,“）是海平面大气压强.已知在某高山A\,

出两处测得的大气压强分别为6,P2,包=1,那么4,上两处的海拔高度的差约为（）

P23

（参考数据：In3Pl.099）

A.660mB.2340m

C.6600mD.8722m

答案D

解析设小，从两处的海拔高度分别为加，hi,

.n--0.000126A,

则包=1=__________=p0000l26（A2-A,）

0000126

Pr?）~^e-^一，

二0.000126s2-/h）=ln|=-ln3=«-1.099,

Inog

得协一厶i=——〜-8722（m）.

0.000126

：.Ax,在两处的海拔高度的差约为8722m.

6.（多选）目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在

逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：

年份X2018201920202021

包装垃圾生产量六万吨）46913.5

；

有下列函数模型：①夕=/加-2。18@^sin^-2018）+/）

2018

（参考数据：lg2比0.3010,1g3«0.4771）

则以下说法正确的是（）

A.选择模型①，函数模型解析式为y=4xt）「20i8,近似反映该城市近几年包装垃圾生产量

兴万吨）与年份X的函数关系

B.选择模型②，函数模型解析式为y=sin蛆謊四+4,近似反映该城市近几年包装垃圾

生产量兴万吨）与年份x的函数关系

C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过

40万吨

D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过

40万吨

答案AD

解析若选y=4xQ「20i8,计算可得对应数据近似值为4,6,9,13.5,

若选y=sin迎二2幽+4,计算可得对应数据近似值不会大于5,

2018

显然A正确，B错误；

按照选择函数模型），=4X82018

令j>40,即4XQL2OI8>4OJ

...0v2018>[0,

Ax-2018>log310,

2

Igio1

.".x-2018>a=——!——和5.6786,

lg31g3Tg2

2

：.x>2023.6786,

即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确.

7.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限

度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人

满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主

任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过

时间100）（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：八。=1------,—,k

l+lg（r+l）

为增分转化系数，尸为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且<60）=".现有某学生在高考

6

前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约

为.（保留到个位）（lg61^1.79）

答案462

解析由题意得，

人60)=kP=kP=%

l+lg612.796'

279

幺丄2=0.465,

6

0.465X400186

/,/(100)=

1+lg1011+lg100+lg1.01

年62,

...该学生在高考中可能取得的总分约为400+62=462.

8.里氏震级/的计算公式为：V=lg/—lg/o,其中N是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,

为是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标

准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级：9级地震的最大振幅是5级地震最

大振幅的倍.

答案610000

解析A/=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6.

设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为Zi,42,则9=lg/i—lg/o=lg4",则为

AoAo

=109,

5=lg42-lg4）=lg?,则?=1。5,所以勺=1。4.

AoAoA2

即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.

9.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养

鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度”单位：千克/年）是养殖密度X（单位：

尾/立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，”的值为2千克/年；当4<xW20时、”是x

的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，/的值为0千克/年.

（1）当0<xW20时，求/关于x的函数解析式；

（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.

解（1）由题意得当，0<xW4时，片=2；

当4<xW20时，设，=依+63#0）,

显然l^=ax+b在（4,20］内单调递减,

20a+b=0,

由已知得

4a+b—2,

所以

2,0<xW4,xGN",

故函数I1十号-X”

⑵设年生长量为丸X）千克/立方米，依题意并由⑴可得/（X）=

'2x,0<xW4,xGN,,

--x2+-x,4<xW20,xGN*,

82

当0<xW4时，/(x)单调递增，

故」(x)mx=/(4)=4x2=8；

当4<xW20时，")=一¥+}=一紂-20X)=—/X—10)2+T，個max=/(10)=12.5.

所以当0<xW20时，人x)的最大值为12.5.

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.

10.(2023・保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为火),这些凤眼

莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2,三月底测得凤眼莲

的覆盖面积为36m2,凤眼莲的覆盖面积六单位：1峭)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模

丄

型y=hr，(A>0,a>l)与y=+%(p>0,%>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2比0.3010,

1g3=0.4771)

丄

解(1)由题设可知，两个函数a>l),y—px^+k(p>0,左>0)在(0,+8)上均为

增函数，

随着x的增大，函数》=桁'纸>0,Q1)的值增加得越来越快，而函数y=pjd+A(/?>0,k>0)

的值增加得越来越慢，

由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y=3">0,A1)满足要求.

贻=24,

由题意可得,，

紹=36,

解得太="，。=3,故该函数模型的解析式为

32

y昔日(XGN).

⑵当x=0时,尸苗日号，

故元旦放入凤眼莲的面积为以m2,

3

,即日'>10,

33

1g10[

故x>log?10=R

lg3—lg2'

182

由于一!一«=--------------七5.7,又xGN,故x>6.

lg3—lg20.4771-0.3010

因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.

cr综合提升练

11.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死

t

ny

亡年数f之间的函数关系式为P=-（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的

（2丿

一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量

的75%,则可推断该文物属于（）

参考数据：log20.75和一0.4

参考时间轴：

-475-221-20202206189079601279公元2021年

H——I-----1~I~I-------1~~H~I-------------------►

战国汉唐宋

A.宋B.唐C.汉D.战国

答案D

解析依题意，当f=5730时，而尸与死亡年数f之间的函数关系式为尸=（（）",

5730t/

1（1（1、5730（1、5730

则有产1万丿，解得〃=5730,于是得尸=（万丿）/>0,当尸=0.75时，1-1=0.75,

所以不为=log,0.75=-Iog20.75«=0.4,

解得宀5730X0.4=2292,

由2021—2292=-271得，对应时期为战国，