中考数学复习满分突破：投影与视图（解析版）

专题35投影与视图

【考查题型】

判断简单几何体的三视图

投影与视图判断简单组合体的三视图

由三视图还领何体

三视图的相关计算

【知识要点】

知识点一投影

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影

线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。（例如：太阳光）

平行投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图1）,在太阳光下，它们的影子一样长。

2）等长的物体平行于地面放置时（图2）,它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度。

【小技巧】

1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例。

2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便

可求出同一时刻其他物体的影子。（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）

3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：豆=曙洋,利用上面的关系式

乙物体的高乙1物^体4的彭长

可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等。

4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体

影子的指向是：西一西北一北一东北一东，影子长度由长变短再变长。

中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。（例如：手电筒、路灯、台灯等）

中心投影的特征：

1)等高的物体垂直地面放置时(图3),在灯光下离点光源近的物体它的影子短,

离点光源远的物体它的影子长。

2)等长的物体平行于地面放置时(图4),一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短,

但不会比物体本身的长度还短。

【小技巧】

1)点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三

个点的位置。

2)如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并

且中心投影后得到的图形与原图形相似。

正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影。

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；

图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影：

图(2)中，投影线斜着照射投影面，图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，

a收4

(1)(2)(3)

正投影的分类：

1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AIBI，与线段AB的长相等；、

②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,长小于线段AB的长；

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点。

2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图

形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类

似图形但不一定相似。

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线。

3）立体图形的正投影

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的

最大截面全等。

知识点二三视图

三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，

在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；

在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。

主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图。

三视图之间的关系：

1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，

2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，

左视图与俯视图的宽相等的原则

画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体

1）确定主视图的位置，画出主视图；

2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”。

【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线。

由三视图想象几何体的形状：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象

主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形。

利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。

考查题型一理解投影

典例1（2021•江苏南京•统考中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作

一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状

可以是（）

【答案】D

【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到

符合题意的选项

【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，

则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，

故选D

【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例

是解题的关键.

变式1-1（2022•浙江温州•统考中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上

的点M在旋转中心。的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片0408,此时各叶片影子在点M

右侧成线段CD,测得MC=8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒所与影子FG的比为2：3,则点0,M之

间的距离等于米.转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米.

【答案】10（10+V13）

【分析】过点。作AC、8。的平行线，交CD于H,过点。作水平线OJ交8。于点J,过点8作8/_L0J,

FFOM

垂足为/,延长M0,使得0K=08,求出C"的长度，根据笠=盥=23,求出OM的长度，证明

FGMH3

24

得出即=§〃，OI=^IJ,求出/人身、。/的长度，用勾股定理求出。8的长，即可算出所求长度.

（详解】如图,过点0作AC、8£＞的平行线，交8于H,过点0作水平线0J交20于点J,过点B作B1L0J,

垂足为/，延长M0,使得OK=OB,

由题意可知，点。是A8的中点，

*.*OHACBD,

・♦.点〃是CO的中点,

C£>=13m,

・・・CH=HD=-CD=6.5m,

2

：.MH=MC+CH=8.5+6.5=15m,

ei5以「心EFOM2

又.由题忌可知：市=而=葭

]5=§>解得OM=10m.

.•.点O、M之间的距离等于10m,

.•・ZB/O=ZBZ/=90°,

•・,由题意可知：4OBJ=/OBI+/JBI=9Q。,

又:ZBC/+ZOB/=90°,

・•・ABOI=ZJBI,

A.BIO^JIB,

・5/0/2

••==-i

IJBI3

BI=—IJ,OI=—IJ,

39

OJCD,OHDJ,

四边形/"D/是平行四边形，

/.OJ=HD=6.5m,

4

,：OJ=O/+〃=-〃+〃=6.5m,

9

/.IJ=4.5m,8/=3m,01=2m,

•在用△08/中，由勾股定理得：032=0/2+8/2,

•*-OB=JOL+B/2=722+32=Vi3m>

OB=OK=>/}3m,

/.MK=MO+OK=（10+下）m,

.♦・叶片外端离地面的最大高度等于（10+岳）m,

故答案为：10,10+万.

【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是

解答本题的关犍.

变式L2（2022・陕西•统考中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所

示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物。3的影长0C为16米，0A的影长。。为20米，小

明的影长FG为2.4米，其中0、C、D、F、G五点在同一直线上，A、8、O三点在同一直线上，且AO_LOD,

EF1FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.

【答案】旗杆的高A8为3米.

【分析】证明△AODS^EFG,利用相似比计算出40的长，再证明△BOCSAAO/Z然后利用相似比计算

的长，进一步计算即可求解.

【详解】解：••,AO〃EG,

ZADO=ZEGF.

又•:ZAOD=ZEFG=W0,

:.AAODSXEFG.

.AOOP

EF-FG-

.EFOD1.8X20）.

..AO=------------=------------=13.

FG2.4

同理，ABOCs^AOD.

・BOPC

.•.BO=丝型=2=12.

OD20

：.AB=OA-OB=3（米）.

.•.旗杆的高AB为3米.

【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子

就是平行投影.平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的.

变式1-3（2020•四川攀枝花.中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平

地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为10（）cm.王诗娘

观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm：而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已

知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，=1:0.75,在不

计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：

（1）若王诗嬷的身高为150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm?

（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内.请直接回答这

个猜想是否正确？

（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm,则高圆柱的高度为多少cm?

【分析】（I）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题.

（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得：

（3）过点F作FGLCE于点G,设FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和FG,得至UBG,过点F作

FH_LAB于点H,再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.

【详解】解：（1）设王诗嬷的影长为xcm,

由题意可得：空=空，

72x

解得：x=120,

经检验：x=120是分式方程的解，

王诗嬷的的影子长为120cm；

（2）正确，

因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，

则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，

而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，

高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；

（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，ACDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，

过点F作FGLCE于点G,

由题意可得：BC=100,CF=100,

:斜坡坡度i=l：0.75,

.DEFG14

"CE-CG-O/75-3r

.,.设FG=4m,CG=3m,在△CFG中，

(4m)2+(3/n)2=1002,

解得：m=20,

ACG=60,FG=80,

ABG=BC4-CG=160,

过点F作FHJ_AB于点H,

・・•同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm,

FG_LBE,AB1BE,FH±AB,

可知四边形HBGF为矩形，

.90_AHAH

••天一丽一记‘

9090

AH=—xBG=—x160=200,

7272

・・・AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圆柱的高度为280cm.

【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理

解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型.

考查题型二判断简单几何体的三视图

典例2（2022・福建・统考中考真题）如图所示的圆柱，其俯视图是（）

【答案】A

【分析】圆柱体的顶部是一圆，圆柱体的俯视图应为一个圆.

【详解】•.•圆柱体的顶部是一个圆

圆柱体的俯视图应为一个圆

A选项是一个圆，是圆柱体的俯视图

B选项是长方形，不符合题意

C选项是长方形，不符合题意

D选项不是圆，不符合题意

故选：A.

【点睛】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键.

变式2-1（2022.安徽.统考中考真题）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是

【答案】A

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

【详解】解：该几何体的俯视图为:

故选：A

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

变式2-2（2022・广西・中考真题）下列几何体中，主视图为矩形的是（）

【答案】C

【分析】根据常见几何体的主视图，依次判断即可.

【详解】A.该三棱锥的主视图为中间有条线段的三角形，故不符合题意；

B.该圆锥的主视图为三角形，故不符合题意；

C.该圆柱的主视图为矩形，故符合题意；

D.该圆台的主视图为梯形，故不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查常见几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键.

变式2-3（2022・湖北随州・统考中考真题）如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全

相同的是（）

A.主视图和左视图B.主视图和俯视图

C.左视图和俯视图D.三个视图均相同

【答案】A

【分析】根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到

的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线.

【详解】解：从正面和左面看，得到的平面图形均是半圆，而从上面看是一个圆，因此该几何体主视图与

左视图一致，

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是

解决问题的关键.

变式2-4（2022•山东青岛・统考中考真题）如图①.用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国

古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（）

图①图②

【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可.

【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是

故选：C.

【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键.

考查题型三判断简单组合体的三视图

典例3（2022.江西.统考中考真题）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）

【答案】A

【分析】从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两

条垂直的虚线，下方有半个正方形.画出图形即可.

【详解】俯视图如图所示.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形..注意：能看到的

线用实线，看不到而存在的线用虚线.

变式3-1（2022.四川广安.统考中考真题）如图所示，几何体的左视图是（）

【答案】B

【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即

可.

【详解】解：几何体的左视图是

【点睛】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从

上面看到的图形是俯视图.掌握以上知识是解题的关键.

变式3-2（2022•黑龙江牡丹江•统考中考真题）左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图.这

个几何体只能是（）

丑小丑

主视图片视图俯视图

A.OSB.^3C,$D,

【答案】A

【详解】试题分析：根据几何体的主视图可判断C不合题意；根据左视图可得B、D不合题意，因此选项A

正确，故选A.

变式3-3（2021・湖北随州•统考中考真题）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三

视图中完全相同的是（）

/主视方向

A.主视图和左视图B.主视图和俯视图

C.左视图和俯视图D.三个视图均相同

【答案】A

【分析】画出组合体的三视图，即可得到结论.

故选：A.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键.

变式3-4（2021•四川德阳・统考中考真题）图中几何体的三视图是（）

工工工工工工

,HB.RAc.口

【答案】A

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图,

按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线的表示.

【详解】解：该几何体的三视图如下：

ra

故选：A.

【点睛】此题主要考查三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法.

变式3-5（2020.山东荷泽・统考中考真题）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示,

其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）

【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可.

【详解】解：从正面看所得到的图形为A选项中的图形.

故选：A.

【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看

到的图象是俯视图.掌握以上知识是解题的关键.

变式3-6（2022•内蒙古包头•中考真题）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图

所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）

【答案】B

【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方体的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；

【详解】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正

方体，可以画出左视图如图，

所以这个几何体的左视图的面积为4

故选：B

【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左

视图.

考查题型四由三视图还原几何体

典例4（2022•云南・中考真题）下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）,

则这个几何体是（）

□主视图□俯视图左O视图

A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.圆柱

【答案】D

【分析】根据三视图逆向即可得.

【详解】解：此几何体为一个圆柱.

故选：D.

【点睛】此题考查由三视图还原几何体，既要考虑各视图的形状,还要把各视图的情况综合考虑才能得到

几何体的形状.

变式3-7（2022♦辽宁锦州•中考真题）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A主视图A左视图o俯视图

A.B.1[C.„,Q_

【答案】C

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆

锥.

故选：C.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体.

变式3-8（2021・广西来宾・统考中考真题）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

II/XC

【答案】C

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.依题意，由几何体

的主视图即可判断该几何体的形状.

【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是选项C中的图形.

故选：C.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空

间想象能力.

变式3-9（2021・江苏常州•统考中考真题）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.正方体B.圆锥C.圆柱D.球

【答案】D

【分析】首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后根据主视图和左视图将圆锥和圆柱淘汰，即可求解.

【详解】解：•••俯视图是圆，

，排除A,

•.•主视图与左视图均是圆，

二排除B、C,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，

分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

变式3-10（2021・山东日照・统考中考真题）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示,

则这张桌子上共有碟子的个数为（）

el

主视图左视图

俯视图

A.10B.12C.14D.18

【答案】B

【分析】从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解

答该题.

【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子.主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，

而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，

故选：B.

【点睛】本题的难度不大，主要是考查三视图的基本知识以及在现实生活中的应用.

考查题型五三视图的相关计算

典例5（2022•黑龙江牡丹江•统考中考真题）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则

搭成这个儿何体的小立方体的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的

层数和个数，从而算出总的个数.

解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只

有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体.故选B.

变式5-1（2022•黑龙江•统考中考真题）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视

图，则所需的小正方体的个数最多是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最

多个数，再相加即可.

【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，

那么搭成这个几何体所需小正方体最多有5+3=8个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考

查.

变式5-2（2022•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视

图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】C

【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层的个数，从而算出

总的个数.

【详解】解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；

从俯视图可以看出最底层的个数是4

所以图中的小正方体最少2+4=6.

故选：C.

【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考

查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

变式5-3.（2021•四川绵阳•统考中考真题）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是

【答案】D

【分析】如图所示，等边三角形ABC,BC边上的高AZ）即为所求.

【详解】解：如图所示等边三角形48C,4。是8c边上的高，

由题意可知AO的长即为所求，AB=2,ZB=60°,

/.AD=ABsinB=>/3,

故选D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关

知识进行求解.

变式5-4.（2021•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm）,则这个几

何体的侧面积为（）

8

A.48ncm2B.24兀c”/C.12ncm2D.9ncm2

【答案】B

【分析】先