2022-2023学年陕西省西安市莲湖区高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省西安市莲湖区2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据向量运算公式可知，．故选：B.2.已知复数，则的虚部为（）A.1 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗，所以的虚部为1.故选：A.3.已知向量，.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗向量，，，则，解得.故选：B.4.下列说法正确的是（）A.等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥B.球体的截面都是圆面C.正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形D.正三棱锥的四个面都是等边三角形〖答案〗B〖解析〗对选项A：等边三角形绕其一条边旋转一周所得几何体是两个圆锥的组合体，错误；对选项B：球体的截面都是圆面，正确；对选项C：正四棱台的侧面是一个等腰梯形，侧面展开图不是，错误；对选项D：正三棱锥的侧面可能不是等边三角形，错误.故选：B.5.若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，又因为且，可得，作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.故选：D.6.已知分别为三个内角的对边，且，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为钝角三角形.故选：D.7.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，则，即，.故选：B.8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：则，故，球的半径，故体积为.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.平行向量不一定是共线向量B.向量的长度与向量的长度相等C.是与非零向量共线的单位向量D.若四边形满足，则四边形是矩形〖答案〗BC〖解析〗对于A中，根据共线向量的概念，可得平行向量一定是共线向量，所以A不正确；对于B中，向量与向量是相反向量，可得，所以B正确；对于C中，根据单位向量概念，向量是与非零向量同向的单位向量，也是与向量共线的单位向量，所以C正确；对于D中，四边形满足，则四边形是平行四边形，不一定是矩形，所以D正确.故选：BC.10.如图，在直角梯形中，，与交于点，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，，，，，即，A正确；对于BC，由A知：，B正确，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.11.若是关于的方程的一个复数根，则（）A.B.C.的共轭复数为D.关于的方程的另一个复数根为〖答案〗AB〖解析〗是方程的一个复数根，则，整理得到，故，解得，对选项A：，正确；对选项B：，正确；对选项C：，共轭复数为，错误；对选项D：，解得或，错误.故选：AB.12.软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．杯垫透气、无毒、无异味、防水防潮、耐油耐酸、弹性环保，具有耐冲击、不变形、耐用等特点．正、反面可加置印刷公司LOGO、图片、产品、广告、联系方式等，更接近人们的生活，较强的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保护桌面不被烫坏．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（）A.向量与向量是相等向量 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等，所以向量与向量相等向量，A正确；对于B，由图易得向量与向量的夹角为，则，B错误；如图，因为，，，则，C正确；因为为正三角形，所以根据平行四边形法则得，与共线且同方向，又均为含角的直角三角形，所以，，所以，，D正确．故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13.在边长为6的正方形中，_________.〖答案〗〖解析〗由题意，．故〖答案〗为：．14.在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：_______________________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，则，即，，，或，验证满足，故有两个解，满足.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．〖答案〗〖解析〗设正六边形边长为1，则与的夹角为，故在向量上的投影向量为，所以.故〖答案〗为：.16.广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为______米.〖答案〗435〖解析〗如图是塔底，显然与垂直，，，，设，则，，，由余弦定理得，，因为，，即，所以，即，解得．故〖答案〗为：435.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，.（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求的值.解：（1）由向量，，可得，且，所以与夹角的余弦值.（2）由，可得，即，解得.18.已知复数.（1）若为实数，求的值；（2）若为纯虚数，求的值；（3）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围.解：（1）若为实数，则虚部为0，所以，解得或.（2）若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，所以解得.（3）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，所以解得.19.如图，在平面四边形中，，，.（1）求的大小；（2）求边的长度.解：（1）因为，所以，即，因为，所以，在中，由正弦定理得，即，所以或，因为，所以，所以.（2）由（1）知，，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以.20.六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：cm）如图所示.（1）求该六角螺帽的体积；（2）求该六角螺帽的表面积.解：（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，.（2）六角螺帽的表面积：.21.记的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，且，求外接圆面积的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，即，即，又因为，所以，所以.（2）由，可得，即，因为为锐角三角形，所以且，解得，所以，设的外接圆的半径为，因为，由正弦定理得，可得，所以外接圆的面积，所以外接圆的面积的取值范围为.22.在中，，且．（1）求A；（2）已知E为BC的中点，点D为AC上一点，且，BD与AE相交于点P，求．解：（1）依题意，由，即．所以，又，所以．（2）如图所示：因为，，所以，易知．因为E为BC中点，所以，，因为，所以，所以，则，所以．陕西省西安市莲湖区2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据向量运算公式可知，．故选：B.2.已知复数，则的虚部为（）A.1 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗，所以的虚部为1.故选：A.3.已知向量，.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗向量，，，则，解得.故选：B.4.下列说法正确的是（）A.等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥B.球体的截面都是圆面C.正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形D.正三棱锥的四个面都是等边三角形〖答案〗B〖解析〗对选项A：等边三角形绕其一条边旋转一周所得几何体是两个圆锥的组合体，错误；对选项B：球体的截面都是圆面，正确；对选项C：正四棱台的侧面是一个等腰梯形，侧面展开图不是，错误；对选项D：正三棱锥的侧面可能不是等边三角形，错误.故选：B.5.若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，又因为且，可得，作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.故选：D.6.已知分别为三个内角的对边，且，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为钝角三角形.故选：D.7.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，则，即，.故选：B.8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：则，故，球的半径，故体积为.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.平行向量不一定是共线向量B.向量的长度与向量的长度相等C.是与非零向量共线的单位向量D.若四边形满足，则四边形是矩形〖答案〗BC〖解析〗对于A中，根据共线向量的概念，可得平行向量一定是共线向量，所以A不正确；对于B中，向量与向量是相反向量，可得，所以B正确；对于C中，根据单位向量概念，向量是与非零向量同向的单位向量，也是与向量共线的单位向量，所以C正确；对于D中，四边形满足，则四边形是平行四边形，不一定是矩形，所以D正确.故选：BC.10.如图，在直角梯形中，，与交于点，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，，，，，即，A正确；对于BC，由A知：，B正确，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.11.若是关于的方程的一个复数根，则（）A.B.C.的共轭复数为D.关于的方程的另一个复数根为〖答案〗AB〖解析〗是方程的一个复数根，则，整理得到，故，解得，对选项A：，正确；对选项B：，正确；对选项C：，共轭复数为，错误；对选项D：，解得或，错误.故选：AB.12.软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．杯垫透气、无毒、无异味、防水防潮、耐油耐酸、弹性环保，具有耐冲击、不变形、耐用等特点．正、反面可加置印刷公司LOGO、图片、产品、广告、联系方式等，更接近人们的生活，较强的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保护桌面不被烫坏．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（）A.向量与向量是相等向量 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等，所以向量与向量相等向量，A正确；对于B，由图易得向量与向量的夹角为，则，B错误；如图，因为，，，则，C正确；因为为正三角形，所以根据平行四边形法则得，与共线且同方向，又均为含角的直角三角形，所以，，所以，，D正确．故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13.在边长为6的正方形中，_________.〖答案〗〖解析〗由题意，．故〖答案〗为：．14.在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：_______________________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，则，即，，，或，验证满足，故有两个解，满足.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．〖答案〗〖解析〗设正六边形边长为1，则与的夹角为，故在向量上的投影向量为，所以.故〖答案〗为：.16.广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为______米.〖答案〗435〖解析〗如图是塔底，显然与垂直，，，，设，则，，，由余弦定理得，，因为，，即，所以，即，解得．故〖答案〗为：435.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，.（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求的值.解：（1）由向量，，可得，且，所以与夹角的余弦值.（2）由，可得，即，解得.18.已知复数.（1）若为实数，求的值；（2）若为纯虚数，求的值；（3）若复数在复平面内所对应的点