2021-2022学年湖南省衡阳九中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省衡阳九中九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.下列运算正确的是（）

A.V2W3=V5B.3V3-V3=3C,V24-?V6=4D.73xV5=V15

2.用配方法解一元二次方程N-6x+l=0时，下列变形正确的是（）

A.（%-3）2=1B.（%-3）2=10C.（x+3）2=8D.（x-3）2=8

3.如图，在△ABC中，DE//BC,AD=6,BD=3,AE=4,则AC的长为（）

4.如图，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到AE的位置，已知AO的长为

5米.若栏杆的旋转角/AOA=a,则栏杆A端升高的高度为（）

\

A.........aXNO，B

A.米B.—1米C.5sina米D.5cosa米

sinO-cosQ-

5.如图，中，A80C是圆内接四边形,ZBOC=110°,则N5OC的度数是（）

A.110°B.70°C.55°D.125°

6.如图，在Rt^ABC内画有边长为9,6,x的三个正方形，则x的值为（）

B

A.3B.4C.375D.5

7.将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移

后所得抛物线的解析式为()

A.y=2x2+]B.y=2x2-3

C.y=2(x-8)2+lD.y=2(x-8)2-3

8.将一副三角尺(在Rt^ABC中，ZACB=90°,NB=60°,在中，ZEDF=

90°,ZE=45°)如图摆放，点。为AB的中点，DE交AC于点P,。尸经过点C,将

△EOF绕点。顺时针方向旋转a(0°<a<60°),DE'交AC于点M,DF'交BC于

9.如图，在平面直角坐标系中，圆A经过原点O,交x轴于点C(8,0),交y轴于点。

(0,6),点B为x轴下方圆弧上的一点，连接2。，BD,则sin/OBD的值为()

10.如图将矩形纸片ABC。沿AE折叠，使点8落在直角梯形AECQ的中位线FG上，若

48=百，则AE的长为()

A.273B.3C.2D.

11.如图，矩形0ABe的边。4在x轴上，0c在少轴上，点B（10,6），把矩形0A2C绕

点。逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的么处，则点C的对应点Ci的坐标为（）

B

>

A.（霍,f）B.（誉f）2224、门,2422

0□DD55，、55

12.已知抛物线>=以2+析+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（）

②抉>4〃。；

③。-Z?+c<0；

@a>~

⑤a+c<1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.J菽有意义，x的取值范围是.

14.已知关于x的一元二次方程N+mx+3=0的一个根是1,则方程的另一个根为

15.如图，圆。直径为10,弦为8,尸是弦上一点，则线段。尸长度的最小值为

16.抛物线y=2^-+x+a与直线y=-x+3没有交点，则a的取值范围是

17.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5,将△ABC折叠，使点8落在AC边

9

上的点。处，所为折痕，若sin/CED的值为泉则BE

O

18.如图，已知RtZ\A3C,5是斜边AB的中点，过。作。归，AC于连结交CDi,

于。2过功作功E2,AC于瓦，连结BE2交cn于2,过£>3作£>3昂，4。于53,如此

继续，可以依次得到点o4,D5,…D”,分别记△BD1E1,△BD2&,△8。3生，八BD,晶

的面积为S1,$2,$3,…S".若SAABC=1,则S2022.

三、解答题(本题共8小题，19-20题每题6分，21-24每题8分>25题10分，26题12分)

19.4sin600-|-3|WI2+("T)?+(_］严

20.关于元的一元二次方程2%-m+2=0有两个不相等的实数根为，X2.

(1)求实数机的取值范围；

(2)若方程两实数根无1,尤2满足x：+x：=10,求根的值.

21.如图，在AABC和△DEC中，ZA=Z£>,ZBCE=ZACD.

(1)求证：AABCs^DEC；

(2)若S^ABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的长.

D

22.某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当

天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=25时，尸550；当x=30时y

=500.物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件.

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

（3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润.

23.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1,2分别是她上网

时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE,箱长BC,

拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB,B,歹在AC上，C在OE上，支杆。尸=30。"，

CE,CD=\,3,ZDCF=45°,ZCDF=3Q°,请根据以上信息，解决下列问题.

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆即的距离（结果保留根号）.

图1图2

24.如图，在△ABC中，NACB=90。，NABC的角平分线交AC于点E,过点E作BE的

垂线交A3于点E△?£尸的外接圆圆。与CB交于点£）.

（1）求证：AC是圆。的切线；

（2）若BC=9,EH=3,求圆。的半径长.

25.如图，在矩形ABCD中，A2=4j§,AD=4,点P为对角线AC上的一个动点，连接

PD,过点尸作PELPD,交直线AB于点£.

(1)如图①，当点E在线段AB上时，ZPDA和NPE8的数量关系为,PE与

DP的数量关系为；

(2)如图②，当点E在BA的延长线上时，连接。E若尸E=2,求。E的长；

(3)如图③，当点£在上时，过点尸作PMLAD于点以线段尸£>,PE为邻边

作矩形PEFD.设。M的长为x矩形尸EFD的面积为y.请求出y与x之间的函数关系式

及y的最小值.

26.如图.在平面直角坐标系中.抛物线与x轴交于A、8两点，与y轴交于

点C.点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-2).已知点E(m,0)是线

段上的动点(点E不与点A,8重合).过点E作PELx轴交抛物线于点P,交BC

于点F.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若EF：PF=1：2,请求出机的值；

(3)是否存在这样的根，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时机的值：若不

存在，请说明理由；

(4)当点E运动到抛物线对称轴上时，点M是x轴上一动点，点N是抛物线上的动点，

在运动过程中，是否存在以C、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请

说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共36分)

1.下列运算正确的是()

A.V2+Vs=V5B.373-73=3C•标+巫=4D.73xV5=V15

【分析】根据二次根式的加减法对A、2进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行

判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断.

解：A.&与愿不能合并，所以A选项不符合题意；

B.原式=2百，所以B选项不符合题意；

C.原式={24+6=V^=2,所以C选项不符合题意；

D.原式=>/我万=4元，所以。选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

和除法法则是解决问题的关键.

2.用配方法解一元二次方程N-6x+l=0时，下列变形正确的是()

A.(x-3)2=1B.(%-3)2=10C.(x+3)2=8D.(x-3)2=8

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式

后即可得.

解：*.,x2-6x+l=0,

.*.x2-6x=-1,

.*.x2-6x+9=-1+9,即(x-3)2=8,

故选：D.

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、

因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

3.如图，在△A3C中，DE//BC,AD=6fBD=3,AE=4,则AC的长为()

A

£

B‘

A.9B.7C.6D.5

【分析】由DE//BC,利用平行线分线段成比例的推论，可得出需=祭代入

A0+8O=6+3,AD=6,AE=4,即可求出AC的长.

解：-：DE//BC,

,AB=AC

••瓦—IT

即旦且=些

64

解得：AC=6,

・・・AC的长为6.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边

（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.”是解题的关键.

4.如图，某停车场入口的栏杆A8,从水平位置绕点。旋转到A8的位置，已知AO的长为

5米.若栏杆的旋转角NA04=a,则栏杆A端升高的高度为（

A.B.―-—米C.5sina米D.5cosa米

cosa

【分析】作于“，根据三角函数求出A”的长度即可.

•・・OA=5机，ZAOA,=a,

A'H=0A•sina=5sina（米），

故选：C.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键.

5.如图，。。中，ABDC是圆内接四边形，ZBOC=110°,则/BDC的度数是（)

C.55°D.125

【分析】首先通过同弧所对的圆心角与圆周角的关系求出角A,再利用圆内接四边形的

对角互补，可以求出NBZJC.

解：VZBOC=110°

：.ZA=—ZBOC=—XllO°=55°

22

又•••A8DC是圆内接四边形

ZA+Z£>=180°

ZD=180°-55°=125°

故选：D.

【点评】熟练掌握圆周角定理.理解圆内接四边形的性质.

6.如图，在Rt^ABC内画有边长为9,6,x的三个正方形，则x的值为（）

C.375D.5

【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断.

解：•.•这三个正方形的边都互相平行.

:.ADEFsAFGH,

"EF-DE,

・x—6r

解得：x=4.

故选：B.

【点评】本题考查相似多边形的性质，如果两个多边形都和第三个多边形相似，那么这

两个多边形也相似.

7.将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移

后所得抛物线的解析式为()

A.y=2x1+\B.y=2x1-3

C.y=2(x-8)2+lD.y=2(x-8)2-3

【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式.

解：抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2(x

-4+4)2-1,即>=2炉-1,再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2%2-

1+2,即>=2/+1；

故选：A.

【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上

加下减.并用规律求函数解析式是解题的关键.

8.将一副三角尺(在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZB=60°,在Rt/XEDF中，ZEDF=

90°,/E=45。)如图摆放，点。为AB的中点，DE交AC于点P,OE经过点C,将

△瓦加绕点。顺时针方向旋转a(0°<a<60°),DE'交AC于点M,DF,交2C于

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得则/ACD=/A=30°,

/BCD=/B=60°,由于/£»尸=90°,可利用互余得/CPO=60°,再根据旋转的性

质得NPDM=/CDN=cc,于是可判断得到理=段,然后在Rt^PCD

CNCD

中利用正切的定义得至【JtanNPCD=tan30。=胃，于是可得瞿=孚.

LULNO

解：：点。为斜边的中点，

:.CD=AD=DB,

：.ZACD=ZA=30°,ZBCD=ZB=6Q°,

VZ££)F=90°,

：.ZCPD^60°,

ZMPD=ZNCD,

•.•△ED/绕点。顺时针方向旋转a(00<a<60°),

ZPDM=ZCDN=a,

.MPDMs^CDN,

.PM=PD

,,CN-CD，

pn

在RtzXPCD中，：tan/PCr>=tan30。=—,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所

连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了相似三角形的判定与性质.

9.如图，在平面直角坐标系中，圆A经过原点。，交x轴于点C（8,0）,交y轴于点。

（0,6）,点B为x轴下方圆弧上的一点，连接BO,BD,贝I]sin/OB。的值为（）

【分析】连接CZ）,根据圆周角定理可知/0BD=/0CD,再由勾股定理求出CD的长,

利用锐角三角函数的定义即可得出结论.

解：连接CD,

VZOBD与/OCD是同弧所对的圆周角,

：.ZOBD=ZOCD.

VC(8,0),D(0,6),

【点评】本题考查的是圆周角定理和三角函数的定义，熟知在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等是解答此题的关键.

10.如图将矩形纸片ABC。沿AE折叠，使点8落在直角梯形AECD的中位线PG上，若

AB=V3-则短的长为（）

B£C

（r------»-\

*/\

；］.二二归---------G

»，

,/」

ILL__________________

AD

A.273B.3C.2D.1V3

【分析】利用折叠易证AAEB是含30°的直角三角形，利用相应的三角函数即可求得AE

的长.

解：延长仍交AD于点根据折叠的性质易证明是一个等边三角形，则NE4B

=30°,

在直角三角形ABE中，根据30。所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求得AE=2.

D

【点评】此题中的折叠方法也是折叠等边三角形的一种常用方法，那么AAEB是含30°

的直角三角形.

11.如图，矩形。42c的边0A在x轴上，0c在少轴上，点3（10,6）,把矩形。4BC绕

点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的么处，则点C的对应点Ci的坐标为（）

g'；C

A7,卷）B.（誉f）C.（卷卷）D.（誉f）

bb33bbbb

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONG三边关系，再利用勾股定理得出

答案.

解：如图，过点G作轴于点N,过点Ai作AiMLx轴于点

・・・GN〃y轴，

：.Zl+ZCOAi=Z2+ZCOA!,

・・・N1=N2,

・・・N1=N2=N3,

则△AIOMS/^OGN,

•・•点5(10,6),

：.OA=10,OC=6,

(?Ai=10,4M=6,

：.OM=8,

•・・Nl=NOCiN,NAMO=NONG=90°,

・・・MiMOsAONCi,

A1MOM

・F=5'

.ONA,M63

.0N一为「丁了

・,•设N0=3x,NCi=4x,贝UOG=5x,

・・・OG=6,

贝！J5x=6,x=一,

5

则N0=3x=W,NG=4x=空，

55

故点C的对应点Ci的坐标为：（-.

55

故选：A.

【点评】此题主要考查了矩形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，正确得出△AiOM

s/XOGN是解题关键.

12.已知抛物线y=ox2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（）

①〃儿>0；

②岳>4。。；

③〃-Z?+c<0；

@a>~

⑤〃+cV1.

解：①如图所示，图像开口向上,

.\a>0f

•・•图像与y轴的交点在x轴下方

.*.c<0,

・・•图像的对称轴在y轴的左边，且〃>0,

~早<0，

Na

：.b>0,

Aabc<0,故①错误；

②根据图像可知，抛物线与％轴有两个交点，

b2-4〃c>0,即b2>4ac,故②正确；

③由图可得，当x=-l时，y<0,

：.a-Z?+c<0,故③正确；

④当x=l时，a+b+c—2,

a+c=2-b,

a-Z?+c<0,

：.2-b-b<0f解得：b>\,

由图可得，萼>-1

2a

2a>b

1,解得：故④正确；

⑤当x=l时，a+b+c=2,

C,a+c—2-b,且Z?>1,

：.2-Z?<1,

a+c<1,故⑤正确；

综上所述，共有4个是正确的；

故答案为：D.

【点评】本题考查的是二次函数图像与各系数之间的关系，解题关键：掌握二次函数的

图像与基本性质.

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.我三有意义，x的取值范围是.

【分析】依据二次根式被开方数大于等于零求解即可.

解：：愿彳有意义，

，3-x20.

解得：龙W3.

故答案为：xW3.

【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题

的关键.

14.已知关于x的一元二次方程炉+妙+3=0的一个根是1,则方程的另一个根为3.

【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的

关系进行计算.

解：设方程的另一根为为，

根据根与系数的关系可得：xi-l=3,

解得xi=3.

故答案为3.

【点评】本题考查了一元二次方程办2+法+°=0(°W0)的根与系数的关系：若方程两根

为Xl,XI,贝！J尤1+X2=-上1尤1.无2=£-.

aa

15.如图，圆O直径为10,弦AB为8,尸是弦AB上一点，则线段。尸长度的最小值为3.

【分析】过。点作0CLA2于C点，连接04根据垂径定理得到AC=BC=4,再利用

勾股定理得到OC=3,根据垂线段最短得到OP的最小值为3.

解：过。点作0ULA3于C点，连接。4,则AC=8C=/A8=4,

在RtZ\OAC中，OC=4OA，-AC2=V52-42=3，

尸为垂线段最短，

.•.OP最小=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平

分弦所对的两条弧是解题的关键.

16.抛物线y=2x2+x+a与直线y=-x+3没有交点，则a的取值范围是—.

【分析】根据两个函数的图象没有交点，则两个函数关系式组成方程组无解，从而得出

答案.

解：’.•抛物线y=2x2+x+a与直线y=-x+3没有交点，

一元二次方程2/+x+a=-x+3没有实数根，

即2/+2]+。-3=0无实数根，

A=4-8(a-3)<0,

解得tz>3-^-,

故答案为：a>3-^.

【点评】本题考查二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，理解两个函数图象没有公

共点的意义是解决问题的关键.

17.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AS=AC=5,将△ABC折叠，使点B落在AC边

9

上的点。处，所为折痕，若sin/CFD的值为q，则-=3.

【分析】由题意得：△BEFQADEF,故NEDF=/B=/C；由三角形的外角性质可得

NADE=NCFD,利用解直角三角形即可解决.

解：•・・在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5,

：./B=NC,

•：BE=3,AB—5,

J.AE—2,

・・•将△ABC折叠，使点5落在AC边上的点。处，

ABEF^ADEF,

:・BE=DE,NB=NEDF=NC,

•：NADE+NEDF=/C+/CFD,

：.ZADE=ZCFD,

,2

sin/ADE=sinNCFD=—,

3

•AE2即AE2

"DE3,BE3,

'：AE+BE=5,

:・BE=3,

故答案为：3.

【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形

的性质、三角形外角性质等知识来解决问题.

18.如图，已知Rt^ABC,A是斜边AB的中点，过A作AELAC于0，连结8昂交CA,

于功过功作r>2£2，AC于E2,连结BE2交CD1于。3,过。3作。3昂，43于星，如此

继续，可以依次得到点。，O5,分别记△瓦△8功&,ABM,/\BDnEn

【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质.再利用在△ACB中，功为其重

心可得£>2昂=冬昂，然后从中找出规律即可解答.

解：VRtAABC,Di是斜边AB的中点，过5作。1ELAC于昂，

:.DiEM/BC,Ei是AC的中点，

.♦.△ADiEs△ABC,AADiE与△CGEi面积相等，

.•.△BAEi与△CDiEi同底同高，面积相等，以此类推；

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：DiE^^BC,C£i=^AC,N=

—D[E\*C£i=--X--BCX—AC=--X—X--AC*BC=~S/\ABC^

222222222

在△ACB中，正为其重心,

DT.E\=-^BEi,

__L_

：.DE2=—BC,CE1=—AC,S?=9"SAABC,

23332

*：D2E2：DiEi=2：3,D\E\：BC=1：2,

2

:・BC：D2E2—2D1E1：—DiEi=3,

3

CDs：CD2—D3E3：D2E2—CE31CE2—3：4,

QQ11Q?111

D3E3=-D2E2=—X-LBC^—BC,CE=—CE=—x—AC=—AC,S3=FSAABC……；

443443423442

.1

••Sn~,、9S/^ABCf

(n+l)2

5AABC—1,

]

•*•52022—

20232

]

故答案为:

20232

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是据直角三角形的性质

以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律.也考查了重

心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍.

三、解答题（本题共8小题，19-20题每题6分，21-24每题8分＞25题10分，26题12分）

19.4sin60°-|-3|Wl^+4）2+（-1）2013.

【分析】先把特殊角三角函数值代入，并进行乘方、开方运算，化简绝对值，再进行乘

法运算，然后进行加减计算即可.

解：原式=4X*_-3-2«+9-1

=2^3-3-273+9-1

=5.

【点评】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幕运算法则，二次根式化简，熟

记特殊角三角函数值是解题的关键.

20.关于x的一元二次方程（-2%-m+2=0有两个不相等的实数根为，检.

（1）求实数力？的取值范围；

（2）若方程两实数根XI,尤2满足x；+x：=10,求机的值.

【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式A=6-4℃，建立关于加

的不等式，求出机的取值范围；

⑵根据题意x；+xg=10,即可得至I](X1+X2)2-2乂产2=10,根据根与系数的关系

得到尤1+无2=2,X1X2=-m+2,代入即得到关于机的方程，解方程即可.

解：(1).•・关于x的一元二次方程？-2x-帆+2=0有两个不相等的实数根XI,尤2,

:.\=(-2)2-4(-m+2)=4根-4>0,

⑵・・・XJ+X2=1Q,

(X[+X2)2-2X]乂2=10,

又•."I+X2=2,X\XI=-m+2,

：.22-2(-m+2)=10,

解得：〃z=5.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(。#0)的根的判别式A=抉-4ac,正

确记忆当△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当

△<0,方程没有实数根是解题关键.

21.如图，在△ABC和△£>£(?中，ZA=ZD,ZBCE=ZACD.

(1)求证：△ABCs△DEC；

(2)若SAABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的长.

【分析】(1)由两角相等的两个三角形相似可判断△ABCs△DEC；

(2)由相似三角形的性质可得二区=(*)即可求解.

SADEC比9

【解答】证明：(1)・・・N3CE=NACD

・・・NBCE+/ACE=ZACD+ZACE,

：.ZDCE=ZACBf

又＜ZA=ZD,

AABC^ADEC；

(2)•:△ABCSADEC：

,SAABC_zCBx_4

••\2~~,，

^ADECCE9

又・；BC=6,

：.CE=9.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABCs△£>£（；是本题的关键.

22.某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当

天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当尤=25时，>=550；当x=30时y

=500.物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件.

（1）求出y与％的函数关系式；

（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

（3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润.

【分析】（1）利用待定系数法求解可得；

（2）根据“总利润=单件利润X销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得；

（3）利润w=（x-20）（-lOx+800）=-10（x-80）（尤-20）,即可求解.

解：（1）设了=履+匕,

25k+b=550

根据题意可得

30k+b=500,

fk=-10

解得

lb=800

则3=-lOx+800(0<xW52)；

(2)根据题意，得(x-20)(-lOx+800)=8000,

整理，得/-100x+2400=0,

解得xi=40,无2=60,

,/销售单价最高不能超过52元/件,

.*.x=40,

答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元;

(3)利润w=(x-20)(-lOx+800)=-10(x-50)2+9000

V-10<0,

.,.当尤=50时，w取最大值为：9000,

故当销售单价定为50元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为9000

元.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选

择最优方案.

23.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1,2分别是她上网

时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆。区箱长BC,

拉杆AB的长度都相等，即。E=BC=AB,B,F在AC上，C在OE上，支杆。尸=30°〃，

CE：CD=1：3,ZDCF=45°,ZCDF=3Q°,请根据以上信息，解决下列问题.

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆即的距离（结果保留根号）.

图1图2

【分析】（1）过尸作尸于X,解直角三角形即可得到结论；

（2）过A作交即的延长线于G,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

解：（1）过厂作于X,

AZFHC=ZFHD=90°,

VZFDC=3Q°,DF=30,

；.FH=^DF=15,DH=^-DF=15M(cm),

2

ZFCH=45

CH=FH=15(cm),

，CD=CH+DH=15+15%(所)，

,:CE：CD=1：3,

：.DE^^CD=(20+20我)(cm),

•：AB=BC=DE,

：.AC=(40+40我)cm；

(2)过4作交ED的延长线于G,

VZACG=45°,

；.AG^J^-AC=(20&+20&)(cm),

答：拉杆端点A到水平滑杆即的距离为(20&+20&)cm.

图2

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是

用数学知识解决实际问题.

24.如图，在AABC中，NACB=90。，NABC的角平分线交AC于点E,过点E作BE的

垂线交AB于点F,AB£P的外接圆圆O与CB交于点D.

(1)求证：AC是圆。的切线；

(2)若BC=9,EH=3,求圆。的半径长.

【分析】(1)先证明NOEB=/CBE,得OE〃BC,则/OE4=NACB=90°,所以AC

±OE,即可证明AC是圆。的切线；

(2)作OGL8。于点G,可证明四边形OECG是矩形，得CG=OE=OB,由角平分线

的性质得OG=EC=EH=3,在RtABOG中根据勾股定理得32+(9-OB)2=OB2,求

出08的值即可.

【解答】(1)证明：

ZABE=ZOEB,

「BE平分/ABC,

ZABE=ZCGE,

：.ZOEB=ZCBE,

：.OE//BC,

：.ZOEA=ZACB=90°,

VAC经过圆0的半径OE的外端，且ACLOE,

；.AC是圆。的切线.

(2)解：如图，作。于点G,则/OGB=NOGC=90。，

：.ZC=ZOEC=90°,

四边形OECG是矩形，CG=OE=OB,

：BE平分/ABC,ECLBC,EH±BA,

：.0G=EC=EH=3,

•：BC=9,

：.BG=9-CG=9-OB,

O&+B(?=O^,

A32+(9-OB)2=OB2,

：.0B=5,

.•.圆。的半径长为5.

【点评】此题重点考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩

形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

25.如图，在矩形ABCO中，AB=4y，AD=4,点P为对角线AC上的一个动点，连接

PD,过点尸作尸尸。，交直线AB于点E.

（1）如图①,当点E在线段A3上时，ZPDA和的数量关系为/PEB=/ADP,

PE与DP的数量关系为DP=\QPE；

(2)如图②，当点£在的延长线上时，连接DE若P£=2,求DE的长；

(3)如图③，当点E在AB上时，过点P作PMLAD于点M,以线段PD,PE为邻边

作矩形PEED.设DM的长为x矩形PEED的面积为y.请求出y与尤之间的函数关系式

及y的最小值.

【分析】(1)通过证明点D,点A,点、E,点尸四点共圆，可得/PAE=/PDE,ZADP+

ZA£P=180°,通过证明△ABCs/iOPE,可得瞿T，即可求解；

PEBC

(2)通过证明△£＞「£/△口”,可得理理，即可求解；

PEAD

(3)通过证明可得黑=瞿=%，分别求出。尸，尸£的长，由矩形

PEPN

的面积公式可求解.

解：(1)如图①，连接

9：PE_LPD,

；・NDPE=90°=ZDAE,

・,•点。，点A,点E,点尸四点共圆，

・・・NPAE=/PDE,ZA£>P+ZAEP=180°,

VZAEP+ZPEB=180°,

・・・ZPEB=ZADP,

・：NPAE=NPDE,NDPE=NABC=90°,

AABCSADPE,

..•DPAB.

PEBC

•；AB=4愿，AD=BC=4,

.DP^

••pE53,

:.DP=MPE；

故答案为：ZPEB=ZADP,DP=^PE；

(2)VAB=4-73-AD=BC=4,

AC=AB2+BC2=V16+48=8，

'：PE±PD,

：.ZDPE=9Q°=ZDAE,

；.点D,点4点E,点尸四点共圆，

NDEP=/DAC,

VZDPE=ZADC=90°,

△DPEs^CDA,

.DE_AC

*'pf'AD'

.DE_8

••—,

24

：.DE=4；

(3)如图③，过点P作尸于N,

9：PMLAD,PN_LAB,AB_LAD,

・•・四边形AMPN是矩形，

:.AM=PN,/MPN=90°=ZDPE,

:・AM=PN=4-0M=4-x,/DPM=/EPN,

又•：NDMP=/PNE=90°,

：.LDPMSAEPN,

•DP=PM-

"PEPN=7;$

:.PM=MPN=M(4-x),

np=VDM2+MP2=VX2+3(4-X)2=2VX2-6X+12'

二.PE=争—第x3一6X+12,

：.y=PD-PE=^^~(x2-6x+12)=-^Zl_x2-8V3X+16-73(无＞0),

•；y=4我/_8愿尤+16愿=4,(x-3)2+4正，

33

.•.当x=3时，y有最小值为4%.

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判

定和性质，二次函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二

次函数解决最值问题，属于中考压轴题.

26.如图.在平面直角坐标系中.抛物线yn4N+bx+c与x轴交于A、8两点，与y轴交于

点C.点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-2).已知点E(m,0)是线

段上的动点(点£不与点A,8重合).过点E作PELx轴交抛物线于点尸，交BC

于点F.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若ERPF=1：2,请求出机的值；

(3