工程矩阵理论(2022)(工科硕士)

第第页工程矩阵理论(2022)(工科硕士)矩阵理论东南高校数学系周建华1

工程

教材工程矩阵理论张明淳，东南高校出版社

参考书1.高等代数，北京高校，高等教育出版社

2.Matri*Analysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,2022(中译本，杨奇译，机械工业出版社)

要1.2.

求

3.4.

重点是基本理论，基本方法；结合授课内容，熟识课本；通过例题，理解概念；通过练习题，熟识理论和方法。

本课程大致内容第0章第1章第2章第3章第4章第5章第6章复习与引深线性空间与线性变换内积空间、等距变换矩阵的相像标准形Hermite二次型范数及矩阵函数矩阵的广义逆4

矩阵理论1.计算A.k

2.争论矩阵序列的极限.

3.求线性方程组A*b的近似解.

第0章复习与引深1.2.3.4.

矩阵运算线性方程组向量组的极大无关组和秩矩阵的秩

1.矩阵的乘法中应留意的问题(1)存在非零零因子例10101010

Nnn

(2)不可交换d1d2,例2.假设D其dn中，d1,d2,,dn互异。nn矩阵

A满意什么条件时与D可交换？8

(3)由此导致的一些问题

乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立

当A与B可交换时,相应的二项式定理成立,即12mABmAmCmAm1BCmAm2B2Cm1ABm1Bm

解：

例3计算下述nn矩阵的k次幂：A

11

AIN且I与N可交换，1Ak(IN)k(I)kCk(I)k1NCk2(I)k2N2Ckk1(I)Nk1CkkNk

1AkkICkk1NCk2k2N2Ckk1Nk1CkkNk

1kCkk1Ck2k210kCkk100k000

Ckn1kn1Ck2k21k1Ckk10

(4)分块矩阵设Aaij,BbijsnntA11A21AAp1A12A22Ap2

将这两个矩阵分块：B12B1rB22B2rBq2Bqr

A1qB11A2qB21,BBApqq1

在肯定条件下，CC11C12C21C22CCp1Cp2

AB也可以写成分块矩阵其中，

C1rC2rCpr

CijAi1B1jAi2B2jAiqBqj

条件：上式有意义A的列的分法与B的行的分法全都.

一些常见的分块形

式1.Aaijsn,Bbijsn

A,B均按行进行分块

r(AB)r(A)r(B)

(设Aaij

sn

,Bbij)nt

2.分成4块

假设Aaij

sn

,Bbij

nt

:

A11A12B11B12ABA21A22B21B22A11B11A12B21A11B12A12B22A21B11A22B21A21B12A22B22

例4.假设A,B分别mn阶、nm阶方阵，构造矩阵

EmMB

AEm,GEnO

A。En

1.计算MG和GM;2.证明：EmABEnBA。15

3.A按列分块，B不分块b11b1tAB(1,2,,n)bbntn1nnnbi1i,bi2i,,bitii1i1i1

r(AB)r(A),r(B)16

4.将A视作一块，B按列分块。假设Aaij

sn

,Bbij

nt

:

ABA(1,2,,t)

(A1,A2,,At)假设ABO,那么r(A)r(B)n.17

2.线性方程组A*b,其中，Aaijsn,bb1b2bsT

1.有解r(A)rAb2.假设r(A)rAbr,那么有唯一解rn.

3.假设r(A)rAbrn,那么通解中含有nr个自由未知量.

齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组

A*