云南省楚雄彝族自治州楚雄市楚雄天人初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题含答案

－2024学年云南省楚雄州楚雄市天人中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.1、3、6 B.1、3、－6 C.1、－3、6 D.1、－3、－62.将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得新抛物线的解析式为（

）A. B. C. D.3.下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A.B. C. D.4.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

A． B. C. D.5.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到，交AC于点D，若，则的度数是（）A.35° B.50° C.55° D.60°6.如图，⊙O的直径AB＝8，，则CD等于（）A.1 B.2 C.3 D.47.如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是（）A.80 B.40 C.20 D.108.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A. B.3 C. D.10.如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为BC中点，过点E作EF⊥AE交CD于F，则CF的长为（）A. B. C.1 D.211.函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.12.如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①ab＜0，②b2－4ac＞0，③a－b＋c＜0，④c＝1，⑤当x＞－1时，y＞0其中正确结论的个数是（）

A．2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．13.已知一个扇形的半径为30cm，面积为，则此扇形的弧长为_____cm．14.已知，则______．15.如图，AB、AC是⊙O切线，切点为B、C，连接BC，若△ABC是等边三角形，弦BC所对的圆周角为______°．

16.已知抛物线为与关于原点对称，我们称为与互为“和谐抛物线”，请写出抛物线的“和谐抛物线”______．17.如图，直角三角形ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是______．18.如图，在ABCD中，，BD与MC相交于点O，则______．19.如图，矩形ABCD的顶点C，D分别在反比例函数、的图象上，顶点A，B在x轴上，则矩形ABCD的面积是______．20.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝______°．

三、解答题：本题共9小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21.（本小题6分）计算，解方程：（1）计算：；（2）解下列一元二次方程：22.（本小题6分）先化简，再求代数式的值，其中．23.（本小题5分）已知，求的值．24.（本小题7分）某课外研究小组为了解学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名同学的兴趣爱好每人只能选其中一项，并将调查结果绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次考察中一共调查了______名学生，请补全条形统计图；（2）被调查同学中恰好有4名学来自初一2班，其中有2名同学选择了篮球，有2名同学选择了乒乓球，曹老师打算从这4名同学中选择两同学了解他们对体育社团的看法，请用列表法或画树状图法，求选出的两人恰好都选择同一种球的概率．25.（本小题6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，2），B（3，0），将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到．（1）在网格中画出；（2）点的坐标为______；（3）线段OB在旋转过程中扫过的面积为______（结果保留）．26.（本小题7分）瀛湖——安康水电站建成后形成的陕西最大的人工湖，金螺岛是瀛湖风景区重要景点之一，坐落在金螺岛顶的螺峰塔，气势宏伟，巍巍壮观．某天莉莉想测量该塔的高度，但是由于景区限制，塔底B处无法直接到达，于是她在地面上的点C处，测得塔顶A的仰角为45°，并从C处沿BC继续向前走27米，到达点D处，此时测得塔顶A的仰角为26.6°，已知点B、C、D在同一水平直线上，AB⊥BD，请你计算该塔的高度AB．（参考数据：，，）27.（本小题7分）2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量；商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？28.（本小题7分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．29.（本小题9分）如图，已知抛物线的顶点C的坐标为（－3，2），此抛物线交x轴于点A，B两点，交y轴于点D，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴垂足为E，交直线AD于点N，连接AP，PD．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）求线段PN的最大值；（3）当△APD的面积是△ABC的面积的时，求点P的坐标．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：方程整理得：x2－3x＋6＝0，则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，－3，6，故选：C．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数、一次项系数、常数项即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0），②找项的系数带着前面的符号．2.【答案】D

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2＋1先向右平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x－3）2＋1；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x＋3）2＋1向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：．选：D．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．3.【答案】A

【解析】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】C

【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题的关键．【解答】

解：它的俯视图是：

故选：C．5.【答案】C

【解析】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转35°后，得到，

，

而，

．

故选C．

由于把△ABC绕点C顺时针旋转35°后，得到，那么根据旋转的旋转知道，而，然后根据三角形的内角和定理即可求解．

此题主要考查了旋转的定义和性质，同时也利用三角形的内角和定理，解题的关键是利用旋转得到．6.【答案】D

【解析】解：连接OC、OD，如图，

，，

，

，

∴△COD是等边三角形，

，

又∵直径，

，

故选：D．

连接OC、OD，由，，得到，得到△COD是等边三角形，所以有，再由直径，即可求出DC．

本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．7.【答案】C

【解析】解：设，，则，，

所以

故选：C．

设，，由拼图可知，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行因式分解即可．

本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．8.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查随机事件和确定性事件，理解随机事件的概念是解题的关键．

分别分析闭合一个、二个、三个或四个开关，判断灯泡发光情况，即可得出结论．

【解答】

解：只闭合1个开关，灯泡一定不发光，是确定性事件；

只闭合两个开关，灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件；

只闭合3个开关，灯泡一定发光，是确定性事件；

闭合4个开光，灯泡一定发光，是确定性事件；

故选B．9.【答案】D

【解析】【分析】

设，则，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB．

本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．

【解答】

解：设，则，

由勾股定理得，，

，

故选：D．10.【答案】B

【解析】解：四边形ABCD是正方形，

，，

，

，

，，

，

∽，

，

，

，

，

故选：B．

证明△ABE∽△ECF，利用相似三角形的性质解决问题即可．

本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．11.【答案】B

【解析】解：A、双曲线经过第二、四象限，则．则直线应该经过第二、四象限，故本选项错误．

B、双曲线经过第一、三象限，则所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项正确．

C、双曲线经过第二、四象限，则所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误．

D、双曲线经过第一、三象限，则所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误．

故选：

根据反比例函数图象所在的象限可以判定a的符号，根据a的符号来确定直线所经过的象限．

此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系，难度不大，属于基础题．12.【答案】B

【解析】解：有图象可知，

，，则，故①正确；

图象与x轴两个交点，则，故②正确；

图象过点，则，故③错误；

图象过点（0，1），则c＝1，故④正确；

由图象可知，当时，一部分函数值大于0，有一个函数值等于0，还有一分部小于0，故⑤错误；

由上可得，正确的结论是①②④，有3个；

故选：B．

根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．

本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算．

根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系，把对应的数值代入即可求得弧长．

【解答】

解：，

，

，

故答案为：．14.【答案】

【解析】解：，得，

故答案为：．

根据等比性质，可得答案．

本题考查了比例的性质，利用等比性质：是解题关键．15.【答案】60或120

【解析】解：在弦BC所对优弧和劣弧上取点M和N，连接CM，BM，BN，CN，OB，OC，∵AB，AC分别与圆相切于B和C，

∴半径，半径，

，∵△ABC是等边三角形，

，

，

，，

弦BC所对的圆周角为60°或120°．

故答案为：60或120

在弦BC所对优弧和劣弧上取点M和N，连接CM，BM，BN，CN，OB，OC，由切线的性质推出，由等边三角形的性质得到，求出，由圆周角定理得到，，于是得到弦BC所对的圆周角为60°或120°．

本题考查切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质得到，从而求出的度数，由圆周角定理即可求解．16.【答案】

【解析】解：抛物线的“和谐抛物线”是，

化简，得，

故答案为：

根据关于原点对称的点的坐标规律：纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数，可得答案．

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了关于原点对称的点的坐标规律．17.【答案】

【解析】解：如图，第一次转动是以B为圆心，圆心角120°，AB为半径的圆弧，

第二次转动是以为圆心，圆心角为90°，为半径的圆弧，

所以点A所经过的路线长为，

故答案为：

根据题意可知：第一次转动是以B为圆心，圆心角120°，AB为半径的圆弧，第二次转动是以为圆心，圆心角为90°，为半径的圆弧，代入弧长公式即可．

本题主要考查了扇形的弧长计算等知识，准确找出点A转动两次的运动路线是解题的关键．18.【答案】4∶9

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

，，

，

，∵，

∴△DOM∽△BOC，

，

故答案为：4∶9

根据平行四边形的性质得出，，求出，△DOM∽△BOC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能求出两三角形相似及其相似比是解此题的关键．19.【答案】3

【解析】解：延长CD交y轴于点E，∵点C在反比例函数的图象上，∴矩形CBOE的面积为6，

∵点D分别在反比例函数的图象上，

∴矩形ADEO的面积为3，

∴矩形ABCD的面积为：，

故答案为：3

根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数k的几何意义，可以求出结果．

考查反比例函数k的几何意义，即过反比例函数图象上一点，分别向x轴、y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于．20.【答案】105

【解析】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，

∵点O是正六边形ABCDEF的中心，

，，

为等边三角形，，

∴D，O，A在一条直线上，，

∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，

，，

，，

，

故答案为：105

连接OA，OB，OE，OF，利用正六边形的性质得到，，则△OAB为等边三角形，D，O，A在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON的度数，则结论可得．

本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，连接正六边形的半径，证得D，O，A在一条直线上是解题的关键．21.【答案】解：（1）

；

（2），

整理得：，

，

或，

，

【解析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）利用解一元二次方程－因式分解法进行计算，即可解答．

本题考查了解一元二次方程－因式分解法，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．22.【答案】解：原式

，

∴原式

【解析】分别化简代数式和x的值，代入计算．

本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．同时还考查了特殊三角函数的值．23.【答案】解：，

，

，

，

，

解得：，

【解析】根据，可得：，所以，，据此求出x、y的值，进而求出的值即可．

此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，解答此题的关键是求出x、y的值．24.【答案】

把2名选择了篮球和2名选择了乒乓球的叙述分别标记为A，B和a，b，

根据题意列表如下：ABabA（A，B）（A，a）（A，b）B（B，A）（B，a）（B，b）a（a，A）（a，B）（a，b）b（b，A）（b，B）（b，a）由可知总有12种等可能性结果，其中两人恰好都选择同一种球的情况有4种，所以两人恰好都选择同一种球的概率

【解析】解：（1）由题意可知这次考察中一共调查了（名）

∴该校喜欢足球的学生有：名，

补全统计图如图：

故答案为：60；

（2）见答案

【分析】

（1）根据其他项目的人数和其所占的百分比即可求总数；由此可求出兴趣爱好为足球的人数，进而可补全条形统计图；

（2）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出两人恰好都选择同一种球的概率．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是（1）解决问题的关键，（2）解题的关键是必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．25.【答案】

【解析】解：（1）如图1所示，为所画；

（2）如图2所示，过A作AC⊥x轴于C，

则，，

将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°，

，，

；

故答案为：；

（3），，∴线段OB在旋转过程中扫过的图形的面积为，

故答案为：．

（1）根据旋转的性质，找出对应点即可画出；

（2）根据图形直接写出答案即可；

（3）根据扇形的面积公式求解即可．

此题考查了旋转变换的作图与性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握旋转变换的性质是解答此题的关键．26.【答案】解：由题意可知，，，米，

在RtABC中，

，

，

，

设米，则米，

在Rt△ABD中，

，

，

解得米，

答：该塔的高度AB约为27米．

【解析】在RtABC中，根据，得到，在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义，设未知数列方程求解求出AB，进而求出答案．

本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解两个直角三角形的边角之间的关系是正确解答的关键．27.【答案】解：设商家应将“雪容融”类纪念品每个降价x元，则“雪容融”类纪念品每个的销售利润为元，每天可以售出元，

依题意得：，

整理得：，

解得：，

答：当商家将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．

【解析】设商家应将“雪容融”类纪念品每个降价x元，则“雪容融”类纪念品每个的销售利润