2024年初中升学考试模拟测试卷湖北省天门市中考数学联考试卷（5月份）

第1页（共1页）2023年湖北省天门市中考数学联考试卷（5月份）一．选择题1．（3分）在实数，，，0.1010010001…，，，中，无理数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．52．（3分）将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（）A． B． C． D．3．（3分）在物联网时代的所有芯片中，0.000000014m芯片已成为需求的焦点．把它用科学记数法表示正确的是（）A．1.4×10﹣8m B．1.4×10﹣9m C．14×10﹣9m D．1.4×10﹣10m4．（3分）如图将一块三角板如图放置，∠ACB＝90°，∠ABC＝65°，点B，C分别在PQ，MN上，若PQ∥MN，∠ACM＝38°，则∠ABP的度数为（）A．7° B．9° C．11° D．13°5．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式 B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3 C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定 D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”6．（3分）若x+2y﹣5＝0，则9y•3x﹣2的值等于（）A．27 B．9 C．﹣9 D．﹣277．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系，当乙车出发2h时，两车相距是（）A．km B．km C．13km D．40km8．（3分）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（）A． B． C． D．9．（3分）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（）A．（﹣6，4） B．（﹣） C．（﹣6，5） D．（﹣）10．（3分）对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题11．（3分）因式分解：2x3﹣8x＝．12．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为a，b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为．13．（3分）一个不透明盒中有6张蓝色卡片和若干张白色卡片，这些卡片除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一张卡片，记下颜色，再放回盒中摇匀．不断重复上述过程，一共取了600次，其中约有200次取到白色卡片，由此估计盒中约有张白色卡片．14．（3分）如图在△ABC中，∠ACB＝60°，D是AB边的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，且DE＝，则AC的长为．15．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝5，BD＝4，动点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，过点B作BP⊥EF于P，当E点从A点运动到D点时，线段CP的长度的取值范围为．三．解答题16．（1）解方程：；（2）．17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．18．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查（A：t＜6，B：6≤t＜7，C：7≤t＜8，D：8≤t＜9，E：t≥9．）将数据整理后得到下列不完整的频数分布直方图和扇形统计图：请根据统计信息回答下列问题：（1）本次调查的学生共有人，a＝，b＝；（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是；（3）请估算该校1200名八年级学生中睡眠不低于8小时的人数．19．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．20．如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．21．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC．如图2，当AB＝2时，求AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积．22．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）求当售价是多少元/件时，周销售利润最大；（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．23．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．（1）特例发现：如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．求证：∠DAC＝∠EBC；（2）类比探究如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用在（2）条件下，当，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，直接写出CG的长．24．抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．

2023年湖北省天门市中考数学联考试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题1．（3分）在实数，，，0.1010010001…，，，中，无理数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．【解答】解：无理数有：，0.101001001…，，共4个．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（3分）将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（）A． B． C． D．【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，左边有一个小长方形．【解答】解：其俯视图为．故选：B．【点评】此题主要考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键．3．（3分）在物联网时代的所有芯片中，0.000000014m芯片已成为需求的焦点．把它用科学记数法表示正确的是（）A．1.4×10﹣8m B．1.4×10﹣9m C．14×10﹣9m D．1.4×10﹣10m【分析】根据科学记数法的定义求解．【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8，故选：A．【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的特征是解题的关键．4．（3分）如图将一块三角板如图放置，∠ACB＝90°，∠ABC＝65°，点B，C分别在PQ，MN上，若PQ∥MN，∠ACM＝38°，则∠ABP的度数为（）A．7° B．9° C．11° D．13°【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠ACM＝38°，进而得出∠ABP的度数．【解答】解：∵PQ∥MN，∴∠1＝∠ACM＝38°，∵∠ACB＝90°，∴∠2＝52°，∴∠ABP＝65°﹣52°＝13°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确应用平行线的性质是解题关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式 B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3 C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定 D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”【分析】选项A根据抽样调查和全面调查的意义判断即可；选项B根据众数和平均数的定义判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据随机事件的定义判断即可．【解答】解：A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查的方式，故本选项不合题意；B．数据1，2，5，5，5，3，3的众数是5．平均数为，故本选项不合题意；C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，说法正确，故本选项符合题意；D．抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面向上”，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了方差，众数，平均数以及全面调查与抽样调查，掌握相关定义是解答本题的关键．6．（3分）若x+2y﹣5＝0，则9y•3x﹣2的值等于（）A．27 B．9 C．﹣9 D．﹣27【分析】由x+2y﹣5＝0得出x+2y＝5，利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．【解答】解：∵x+2y﹣5＝0，∴x+2y＝5，∴9y•3x﹣2＝32y•3x﹣2＝32y+x﹣2＝35﹣2＝33＝27，故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．7．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系，当乙车出发2h时，两车相距是（）A．km B．km C．13km D．40km【分析】根据题意和函数图象中的数据，求出甲的速度和乙的速度，然后再求乙车出发2h时两车的距离．【解答】解：由图象可知，甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），乙的速度是km/h，∴当乙车出发2小时时，两车相距：20+（2﹣1.5）×40﹣×2＝（km），故选：A．【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．8．（3分）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（）A． B． C． D．【分析】设正六边形ABCDEF的边长为a，圆锥的底面半径为r，由于∠BAF＝120°，则利用弧长公式得到2πr＝，然后求出的值即可．【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为a，圆锥的底面半径为r，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BAF＝120°，根据题意得2πr＝，所以＝，即该圆锥的底面半径与母线长之比为．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正六边形的性质．9．（3分）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（）A．（﹣6，4） B．（﹣） C．（﹣6，5） D．（﹣）【分析】本题结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：长方形的两个宽+一长＝|yA|；从水平方向看，两个长方形的长﹣一个长方形的长﹣一个长方形的宽＝|xA|，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，|xB|＝两个长方形的长，|yB|＝一个长方形的长+一个长方形的宽，从而求出点B的坐标．【解答】解：设长方形的长为x，宽为y，则，解得，则|xB|＝2x＝，|yB|＝x+y＝；∵点B在第二象限，∴B（﹣，），故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，体现了数形结合思想，方程建模思想，并考查了学生的计算能力，观察能力．而解出长方形的长与宽之后，学生容易忘记从代数问题回归到几何问题，考虑第二象限坐标的正负性问题，是本题的易错点．10．（3分）对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由抛物线的对称轴x＝﹣2及其与x轴的交点A（﹣1，0），利用对称性可得另一交点即可判断①；根据抛物线的对称性及对称轴x＝﹣2可得CD的长，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点及二次函数的增减性，结合开口方向可判断③；根据关于x轴的对称的图形横坐标相等、纵坐标为相反数可判断④．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+4ax﹣m的对称轴为x＝﹣＝﹣2，∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），由抛物线的对称轴为x＝﹣2知（0+n）＝﹣2，得n＝﹣4，∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；③由题意知，函数的对称轴为x＝﹣2，点（﹣4，0）比（1，0）离x轴近，∴当抛物线开口向上时，y2＜y1，而当抛物线开口向下时，y2＞y1，故③错误，不符合题意；④抛物线y＝ax2+4ax﹣m关于x轴对称的抛物线为﹣y＝ax2+4ax﹣m，即y＝﹣ax2﹣4ax+m，故④正确，符合题意；综上，正确的是①②④，故选：B．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．二．填空题11．（3分）因式分解：2x3﹣8x＝2x（x+2）（x﹣2）．【分析】先提公因式2x，分解成2x（x2﹣4），而x2﹣4可利用平方差公式分解．【解答】解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．12．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为a，b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为﹣2．【分析】根据一元二次方程解的定义，根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：根据一元二次方程的解，根与系数的关系可知：a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1，ab＝1，∴原式＝﹣1+1﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．13．（3分）一个不透明盒中有6张蓝色卡片和若干张白色卡片，这些卡片除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一张卡片，记下颜色，再放回盒中摇匀．不断重复上述过程，一共取了600次，其中约有200次取到白色卡片，由此估计盒中约有3张白色卡片．【分析】首先根据重复试验确定取到白色卡片的频率，然后估计白色卡片的个数即可．【解答】解：∵共取了600次，其中有200次取到白色卡片，∴摸到白色卡片的概率约为＝，设有x个白色卡片，则＝，解得：x＝3，故答案为：3．【点评】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到白色卡片的概率，难度不大．14．（3分）如图在△ABC中，∠ACB＝60°，D是AB边的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，且DE＝，则AC的长为2．【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，设AC＝x，DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN＝x，∴AM＝2DE＝2AN＝2，∴AC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．15．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝5，BD＝4，动点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，过点B作BP⊥EF于P，当E点从A点运动到D点时，线段CP的长度的取值范围为﹣≤CP＜5．【分析】如图1，∵四边形ABCD是菱形，证明△BOF≌△DOE（AAS），可得OB＝OD，则点P在以OB为直径的半圆上运动，如图2，连接OC，取OB的中点为Q，当C，P，Q共线时，CP的值最小，P与B重合时，CP的值最大，且最大值是5，从而可以解答．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（AAS），∴OB＝OD，∵BP⊥EF，∴∠BPO＝90°，∴点P在以OB为直径的半圆上运动，如图2，连接OC，取OB的中点为Q，当C，P，Q共线时，CP的值最小，P与B重合时，CP的值最大，且最大值是5，Rt△OBP中，∵Q是OB的中点，∴PQ＝OB＝×BD＝×4＝，∵四边形ABCD是菱形，∴OC⊥BD，由勾股定理得：OC＝＝，∴OQ＝OC，∴CQ＝OC＝，∴CP的最小值是﹣，∴线段CP的长度的取值范围为﹣≤CP＜5．故答案为：﹣≤CP＜5．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，圆的有关性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．三．解答题16．（1）解方程：；（2）．【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤求解即可；（2）先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：（1），方程两边同时乘2（x﹣1），得2x＝3﹣6x+6，解这个方程，得x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴原方程的解为x＝．（2），解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x≤1，故原不等式组的解集为：﹣1≤x≤1．【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，掌握解分式方程的步骤以及解一元一次不等式的方法是解答本题的关键，不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝．（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝．（3）取△ABC外心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．【解答】解：如图，【点评】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．18．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查（A：t＜6，B：6≤t＜7，C：7≤t＜8，D：8≤t＜9，E：t≥9．）将数据整理后得到下列不完整的频数分布直方图和扇形统计图：请根据统计信息回答下列问题：（1）本次调查的学生共有50人，a＝7，b＝42；（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是72°；（3）请估算该校1200名八年级学生中睡眠不低于8小时的人数．【分析】（1）根据A组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出a、b的值；（2）根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；（3）根据每天睡眠时长低于8小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于8小时的人数．【解答】解：（1）本次调查的同学共有：4÷8%＝50（人），∴a＝50×14%＝7，b%＝×100%＝42%，故答案为：50，7，42；（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°×＝72°，故答案为：72°；（3）1200×＝672（人），答：估算该校1200名八年级学生中睡眠不低于8小时的人数有672人．【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD＝AB，即可求解；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的长，再解Rt△BCF，得出CF的长，可求PC＝AF+CF﹣AP，从而求解．【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝3千米．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝3千米，PA＝6千米．∴AB＝BD+AD＝3+3（千米）；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC＝105°，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝千米，AF＝AB＝千米．在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴CF＝BF＝千米，∴PC＝AF+CF﹣AP＝3千米．故小船沿途考察的时间为：3÷＝3（小时）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．20．如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．【分析】（1）由题意得：△＝25﹣4k≥0，即可求解；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），即可求解．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．21．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC．如图2，当AB＝2时，求AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积．【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是菱形，求出AC，BC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）解：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为：S△AOC+S扇形COD＝××2×2+＝+．【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的判定、扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．22．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）求当售价是多少元/件时，周销售利润最大；（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【分析】（1）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：解方程组即可得到结论；（2）依题意设f＝ke+b，解方程组求出函数解析式，再根据题意得出w＝（e﹣40﹣m）（﹣2e+200）＝﹣2e2+（280+2m）e﹣800﹣200m，把e＝65，w＝1400代入函数解析式，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：则有，解得：，∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；答：当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；（2）∵该商品的周销售量f（件）是售价e（元/件）的一次函数，∴设f＝ke+g，则有，解得：，所以f关于e的函数解析式为f＝﹣2e+200，根据题意得，w＝（e﹣40﹣m）（﹣2e+200）＝﹣2e2+（280+2m）e﹣8000﹣200m＝﹣2（e﹣）2+m2﹣60m+1800，∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴直线x＝＝70+＞70∴当x＜70+时，w随e的增大而增大，∵e≤65，∴当e＝65时，w最大＝1400，即1400＝﹣2×652+（280+2m）×65﹣8000﹣200m，解得：m＝5．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，关键是掌握二次函数求最值的问题．23．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．（1）特例发现：如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．求证：∠DAC＝∠EBC；（2）类比探究如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用在（2）条件下，当，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，直接写出CG的长．【分析】（1）由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，再由等角的余角相等，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）先判断出DF是△BCE的中位线，得出DF∥CE，进而得出∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，再判断出AG＝CE，设CG＝x，则AG＝x，BE＝2x，得出AG＝CE进而用AAS判断出△AGH≌△ECH，得出GH＝x，再用勾股定理求出AH＝x，即可得出结论．【解答】解（1）如图1，延长AD交BE于F，由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，∵∠ADC＝∠BDF，∴∠DAC＝∠EBC；（2）如图2，延长AD交BE于F，由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，∵∠ACG＝∠BCE，∴△ACG∽△BCE，∴＝m；（3）