28.2.2.1 解直角三角形的简单应用课件 2023-2024学年人教版数学九年级

28.2.2.1解直角三角形的简单应用人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:tanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)ＡＣＢabc别忽略我哦！问题1

如图,当棋棋乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°,你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?ABABD30°200mBD=ABsin30°=100mABC问题2当棋棋要乘缆车继续从点B到达比点B高200m的点C,如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°,缆车行进速度为1m/s,棋棋需要多长时间才能到达目的地？ABDCE60°200m棋棋需要231s才能到达目的地

OFPQFQ是☉O的切线，∠FQO为直角.最远点求的长，要先求∠POQ的度数OFPQ解：设∠POQ=，∵FQ是☉O的切线，∴△FOQ是直角三角形.的长为利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1.将实际问题抽象为数学问题；2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.例2如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m60°0.5m3mABCDE60°分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.已知：DE=0.5m,AD=AB=3m,∠DAB=60°，△ACB为直角三角形.建立数学模型解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m,3mABDE60°C∴AC=ABcos∠CAB=1.5m,∴CD=AD-AC=1.5m,∴CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.FEA30°15m小华去实验楼做实验,两幢实验楼的高度AB=CD=20m,两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？北ABDC20m15mEF南解：过点E作EF∥BC，∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度为小华想:若设计时要求北楼的采光,不受南楼的影响,请问楼间距BC长至少应为多少米?AB20m?m北DC南BC至少为1.星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯上楼，已知电梯AB段的长度8m，倾斜角为300，则二楼的高度（相对于底楼）是__________m.ABC30042.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于_____________米．mtanα图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）.图1图2解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，

∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°.

∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°.

在Rt△ACF中，∵，

∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，

∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．图2EF1、我校准备在田径场旁建①②两幢学生公寓，已知每幢公寓的高为15米，太阳光线AC的入射角∠ACD=550，为使②公寓的从第一层起照到阳光，现请你设计一下，两幢公寓间距BC至少是()米.A.15sin55°B.15cos55°C.15tan55°D.15cot55°C2.一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是__________米.ACB3.如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为（）（结果精确到0.1m，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．6.7mB．7.2mC．8.1mD．9.0mC4.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）A．0组B.1组C．2组.3组D知识点1解直角三角形的概念

AB

C一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？（1）三边之间的关系

a2+b2=c2（勾股定理）；（2）两锐角之间的关系∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系

sinA=，cosA=，tanA=

.

知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？必须已知除直角外的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知数.知识点2已知两边解直角三角形ABC

在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）c=30，b=20；

知识点3已知一边及一锐角解直角三角形例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).ABCb20ca35°解：

知识点4已知一锐角三角函数值及一边解直角三角形

ACB解：设∴AB的长为

在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的长.

解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如右图，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7.当△ABC为锐角三角形时，如右图，BC=BD+CD=12+5=17.∴BC的长为7或17.练习1已知在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=，b=，则c=

；（2）若a=10，c=，则∠B=

；（3）若b=35，∠A=45°，则a=

；（4）若c=20，∠A=60°，则a=

.

45°

35