四年级奥数讲义教案库

目录编写说明：……………（2）第一讲：速算与巧算…………………（3）第二讲：周期性问题…………………（13）第三讲：行程问题……………………（22）第四讲：流水行船问题………………（30）第五讲：巧求周长和面积……………（38）第六讲：等差数列……………………（46）第七讲：应用问题综合强化…………（56）第八讲：期中考试……………………（65）第九讲：奇偶分析法…………………（68）第十讲：染色与操作问题……………（77）第十一讲：数阵图与数字谜…………（87）第十二讲：排列组合…………………（99）第十三讲：逻辑推理…………………（110）第十四讲：最大与最小………………（123）第十五讲：期末考试…………………（132）第一讲速算与巧算编写说明计算是一个学生学习数学的基石，几乎在每个学期我们都要来学习计算的方法和技巧，在四年级春季第十一讲中，我们按照方法思路进行分类，给学生讲解了以下几种类型：凑整求和、找基准数、分组求解、自然数的分拆、连续自然数求和巧设中间数的方法.在暑假的讲义设置中我们以“复习回忆+在原有知识基础上的提高、新知识的学习”这样的模版进行讲解.作业设置在5道中等题量左右，减少暑假连续学习的压力，帮助孩子们更好的吸收所学的知识.在讲解讲义时，我们提倡教师在条件允许的情况下，尽可能的举一反三、整节课的讲解用一条或几条主线把它串起来，将题目的原由告诉孩子，帮助他踏实的学好每个知识点.在讲义中，我们在现有条件下尽可能的帮助教师突现以上几点，希望我们编写者与讲解者能携手共进，将我们“思而行”的奥数教育推向新的高度！内容概述小朋友们，这节课我们又一同走进了“计算的海洋”，还记得四年级春季第十一讲的速算与巧算中学习到的内容吗？在那节课中我们学到了以下几种方法：凑整求和、找基准数、分组求解、自然数的分拆和几个常用技巧！学习完以后，相信聪明的你会发现自己能快速正确的做出更多的题目了！可有时候，还有许多我们却摸不着头脑！那是因为在速算的方法技巧中还蕴藏了许多我们没有学习到的东西！那么这节课让我们一起来走进去探讨一下吧！你还记得吗【复习1】（我爱数学夏令营）计算：6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78+1.89分析：原式=（6.11+1.89）+（9.22+2.78）+（8.33+3.67）+（7.44+4.56）+5.55=8+12+12+12+5.55=49.55【复习2】（06香港圣公会小学奥林匹克）计算：3.72-2.73+4.6+5.28-0.27+6.4分析：原式=（3.72+5.28）+（4.6+6.4）-（2.73+0.27）=9+11-3=17.【复习3】(华罗庚学校五年级入学考试试题)8×(3.1-2.85)×12.5×(1.62＋2.38)-3.27分析：初看这道题好像不能用简便方法进行计算.但是里面有特殊数8、12.5,所以可以先算一步,再用简便方法进行计算.原式=8×0.25×12.5×4－3.27=(8×12.5)×(0.25×4)-3.27=100-3.27=96.73【复习4】（04陈省身杯数学邀请赛）（56789+67895+78956+89567+95678）÷7分析：原式=（5+6+7+8+9）×11111÷7=5×11111=55555.观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、十、个位各出现过一次.【复习5】计算：l-2+3-4+5-6+…+2005-2006+2007分析：原式=l+3-2+5-4+7-6+…+2005+2007-2006=1+1×1003=1004，分组求和的思路.巧用运算律在速算的过程中，如果加入运算律的应用，会有意想不到的效果！我们一起先来看看常用的一些运算律和结论吧！在计算过程中，最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有：加法交换律：a＋b=b＋a加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b＋c)=ab＋ac（反过来就是提取公因数）减法（括号）的性质：a-b-c=a-(b＋c)除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c(a＋b)÷c=a÷c＋b÷c(a-b)÷c=a÷c-b÷c和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.（04陈省身杯数学邀请赛）计算：3.1415×252-3.1415×152分析：（法1）：题中的三项都有因数34.5，容易想到把34.5作为公因数提取出来(把乘法分配律反过来用)，从而使计算简便.原式=34.5×(8.23＋2.77—1)=34.5×10=345.（法2）：原式=3.1415×（252-152）=3.1415×（25+15）×（25-15）=3.1415×40×10=1256.6应用下面的平方差公式【回忆巩固】ａ、ｂ代表任意数字，（ａ＋ｂ）×（ａ－ｂ）＝ａ×ａ－ｂ×ｂ，这个公式在数学上称为平方差公式。原数平方数原数平方数111211625612144172891316918324141961936115225【回忆巩固】用简便方法求292和822的值．（此为春季所学内容）分析：求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7=49．对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，如右表，而21～99的平方就不大熟悉了．有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢?这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法．所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数．292=29×29=(29+1)×(29—1)+1=30×28+1=840+1=841822=82×82=(82-2)×(82+2)+22=80×84+4=6724由上例看出，因为29比30少l，所以给29“补”l，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”．因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”．本例中，给一个29补1，就要给另一个29减l；给一个82减了2，就要给另一个82加上2．最后，还要加上“移多补少”的数的平方．（06香港圣公会小学奥林匹克）计算：8.88×0.15+265×0.0888+5.2×8.88+0.888×20分析：原式=8.88×0.15+8.88×2.65+8.88×5.2+8.88×2=8.88×（0.15+2.65+5.2+2）=8.88×10=88.8根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，提取公因式，进而凑整求和.【巩固】计算6.25×0.16＋264×0.0625＋5.2×6.25＋0.625×20分析：原式=6.25×0.16＋2.64×6.25＋5.2×6.25＋6.25×2=6.25×(O.16＋2.64＋5.2＋2)=62.5【巩固】（04陈省身杯数学邀请赛）计算：85.42×7903.29-286.5×790.329+79032.9×4.323分析：原式=790329×（0.8542-0.2865+0.4323）=790329×1=790329【拓展】（我爱数学夏令营）计算：6.25×8.27×16+3.75×0.827×8分析:原式=6.25×16×8.27+3.75×0.8×8.27=8.27×（6.25×16+3.75×0.8）=8.27×（100+3）=8.27×100+8.27×3=851.81（希望杯数学邀请赛初赛）计算7.816×1.45＋3.14×2.184＋1.69×7.816分析：不难看出式子是7.816出现过两次，联想提取公因数。原式=7.816×（1.45＋1.69）＋3.14×2.184=7.816×3.14＋3.14×2.184=3.14×10=31.4（05我爱数学夏令营）计算：147.75×8.4+4.792+409×2.1+0.9521×479分析：原式=（147.75×4+409）×2.1+（0.0479+0.9521）×479=1000×2.1+479=2579计算11.8×43—860×0.09分析：观察题中的每一个数，我们发现：860=43×20，可把20与O.09结合.原式=11.8×43—43×20×0.09=11.8×43—43×1.8=43×(11.8—1.8)=430【前铺】计算：20.06×37+200.6×2.3+1.003×800分析：原式=20.06×37+20.06×23+20.06×40=20.06×（37+23+40）=200641.2×8.1+11×8.75+537×0.19分析：原式=41.2×8.1+11×8.75+537×0.19=41.2×8.1+11×8.75+（41.2+12.5）×1.9=41.2×（8.1+1.9）+11×8.75+12.5×1.9=412+11×8.75+12.5×1.9=412+1.1×87.5+12.5×1.9=412+1.1×12.5×7+12.5×1.9=412+12.5×8×1.2=532【巩固】计算31.4×36+64×43.9分析：首先拿31.4×36+64×31.4讲解，要求学生要观察主要要把36和64凑在一起，这样前面有31.4，后面没有，所以思路分析很明显。原式=31.4×36+64×（31.4+12.5）=3140+800=3940（希望杯数学邀请赛决赛）计算8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3分析：原式=8.1×1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3－8÷1.3=(8.1＋1.9)×1.3＋（11.9－8）÷1.3=10×1.3＋3.9÷1.3=16，【前铺】计算：11.1×4÷9×3÷7.4×2.分析：原式=3×3.7×4÷9×3÷3.7÷2×2=（3×3÷9）×（3.7÷3.7）×4÷2×2=4.【前铺】（06香港圣公会小学奥林匹克）计算：1998÷28+802÷28分析：原式=（1998+802）÷28=2800÷28=100.注意除数相同有类似提取公因数的方法.【巩固】计算：2003×2001÷111+2003×73÷37分析：原式=2003×（2001+73×3）÷111=2003×2220÷111=40060下面有两个小数：试求a＋b，a—b，a×b，a÷b.分析：只需记住小数的四则计算法则就能正确算出.a＋b，a的小数点后面有1998位，b的小数点后面有2000位.小数加法要求数位对齐，然后按整数的加法法则计算，所以a—b，方法与a＋b一样，数位对齐，还要注意退位和补零.因为由12500—8=12492，所以a×b，a×b的小数点后面应该有1998＋2000位，但125×8=1000，所以：a÷b，将a、b同时扩大倍，得到：.周期性数字周期性数字就是由相同的数字重复写几遍而来，这些数字可以利用规律来巧妙分解如：123123123=123000000+123000+123=123×1000000+123×1000+123=123×1001001由此我们可以巧妙的发现上面数字其实就是看有几个周期，这样原来的数就可以分解成一个周期数乘以1001001这种类型的数，0的个数就是每个周期内的数字个数减一.也可以这样理解，其实就是在每个周期数最后一位下填1，然后看1的中间隔几个数就填几个0.如：47564756=4756×10001计算2005×20062006-2006×20052005分析：原式=2005×2006×10001-2006×2005×10001=0【巩固】计算：1997×20002000-2000×19971997分析：原式=1997×2000×10001-2000×1997×10001=0.（希望杯数学邀请赛培训题）计算2006×20052006-2005×20062005分析：发现后面周期性数字都多1，这样先转化成周期性数字.原式=2006×（20052005+1）-2005×（20062006-1）=2006×20052005+2006-2005×20062006+2005=4011【巩固】（05我爱数学夏令营）计算：333×332332333–332×333333332分析：原式=333×（332332332+1）-332×（333333333-1）=333×（1001001×332+1）-332×（333×1001001-1）=333+332=665【拓展】（04全国小学奥林匹克）计算：55555×666667+44445×666666–155555分析：原式=55555×666666+55555+44445×666666-155555=（55555+44445）×666666-100000=66666500000从简单情况找规律计算：分析：从简单情况入手找规律.9×9=81；99×99=9801；999×999=998001，……所以：=.【巩固】计算：分析：3×132=396；33×1332=43956；333×13332=4439556，……所以：=.计算：分析：这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从这个思路走出来，，原式可将上式除以3即可得到，，学生平时做题时注意对典型例题的记忆.求的末三位数字.分析：原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300，则2007×3+2006×30+2005×300=6021+60180+601500=667701，原式末三位数字为701.附加题目【附1】（走进美妙数学花园）若A=1921，B=1949，C=1976，D=2004，求：（A+B+C-D）+（A+B+D-C）+（A+C+D-B）+（B+C+D-A）的值.分析：原式=（A+B+C+D）×2=（1921+1949+1976+2004）×2=15700.【附2】（04全国小学奥林匹克）1.23452+0.76552+2.469×0.7655分析：1.23452+0.7655×（0.7655+2.469）=1.23452+0.7655×（1.235+2）=1.2345×（1.2345+0.7655）+0.7655×2=2×2=4【附3】计算：63÷34×51÷72×64÷36分析：原式=63×51×64÷34÷72÷36=（9×7×3×17×2×4×8）÷（17×2×8×9×4×9）=7/3【附4】765×213÷27+765×327÷27分析：原式=765÷27×（213+327）=765÷27×540=765×540÷27=765×20=15300【附5】2828÷28+34965÷35分析：原式=2828÷4÷7+34965÷5÷7=707÷7+6993÷7=7700÷7=1100【附6】计算：（224466-2244.66）÷（112233-1122.33）分析：原式=2×（112233-1122.33）÷（112233-1122.33）=2.【附7】计算：9039030÷43043分析：原式=903×10010÷（43×1001）=903÷43×10010÷1001=210【附8】计算：（747×127+492）÷（746×128-127）分析：原式=（746×127+127+492）÷（746×127+746-127）=（746×127+619）÷（746×127+619）=1练习一1.（希望杯数学邀请赛决赛）计算2.005×390+20.05×41＋200.5×2分析：原式=2.005×390+2.005×410＋2.005×200=2.005×（390＋410＋200）=2.005×1000=20052.（05南京市少年数学智力冬令营）计算：3.142+68.6×1.314分析：原式=3.142+68.6×1.314=3.142+68.6×（1+0.314）=3.14×3.14+68.6+68.6×0.314=68.6+3.14×（3.14+6.86）=100.3.计算4.83×0.59＋0.41×1.59－0.324×5.9分析：原式=4.83×0.59－3.24×0.59＋0.41×1.59=(4.83—3.24)×0.59＋0.41×1.59=1.59×0.59＋0.41×1.59=1.594.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7分析：原式=76.3×（3.42+5.76）+9.18×23.7=76.3×9.18+9.18×23.7=9185.计算：9966×6+6678×18分析：原式=3322×3×6+6678×18=（3322+6678）×18=1800006.计算（2×3×5×7×11×13×17×19）÷（38×51×65×77）分析：原式=17．9×17+91÷17-5×17+45÷17分析：原式=（9-5）×17+（91+45）÷17=68+8=768.（05陈省身杯数学邀请赛）计算：2004×20032002-2002×20032004分析：原式=（2002+2）×20032002-2002×（20032002+2）=2×（20032002-2002）=40060000.9．求的末四位数.分析：原式的末四位有100个1，99个10，98个100，97个1000，100+990+9800+97000=107890，原式的末四位为7890.课外故事成功就是将简单的事情重复做那天，会场座无虚席，人们在热切地、焦急地等待着，那位当代最伟大的推销员，做精彩的演讲。当大幕徐徐拉开，舞台的正中央吊着一个巨大的铁球。为了这个铁球，台上搭起了高大的铁架。一位老者在人们热烈的掌声中，走了出来，站在铁架的一边。他穿着一件红色的运动服，脚下是一双白色胶鞋人们惊奇地望着他，不知道他要做出什么举动。这时两位工作人员，抬着一个大铁锤，放在老者的面前。主持人这时对观众讲：请两位身体强壮的人，到台上来。好多年轻人站起来，转眼间已有两名动作快的跑到台上。老人这时开口和他们讲规则，请他们用这个大铁锤，去敲打那个吊着的铁球，直到把它荡起来。一个年轻人抢着拿起铁锤，拉开架势，抡起大锤，全力向那吊着的铁球砸去，一声震耳的响声，那吊球动也没动。他就用大铁锤接二连三地砸向吊球，很快他就气喘吁吁.另一个人也不示弱，接过大铁锤把吊球打得叮当响，可是铁球仍旧一动不动。台下逐渐没了呐喊声，观众好像认定那是没用的，就等着老人做出什么解释。会场恢复了平静，老人从上衣口袋里掏出一个小锤，然后认真地，面对着那个巨大的铁球。他用小锤对着铁球“咚”敲了一下，然后停顿一下，再一次用小锤“咚”敲了一下。人们奇怪地看着，老人就那样“咚”敲一下，然后停顿一下，就这样持续地做。十分钟过去了，二十分钟过去了，会场早已开始骚动，有的人干脆叫骂起来，人们用各种声音和动作发泄着他们的不满。老人仍然一小锤一停地工作着，他好像根本没有听见人们在喊叫什么。人们开始忿然离去，会场上出现了大块大块的空缺。留下来的人们好像也喊累了，会场渐渐地安静下来大概在老人进行到四十分钟的时候，坐在前面的一个妇女突然尖叫一声：“球动了！”刹时间会场立即鸦雀无声，人们聚精会神地看着那个铁球。那球以很小的摆度动了起来，不仔细看很难察觉。老人仍旧一小锤一小锤地敲着，人们好像都听到了那小锤敲打吊球的声响。吊球在老人一锤一锤的敲打中越荡越高，它拉动着那个铁架子“哐、哐”作响，它的巨大威力强烈地震撼着在场的每一个人。终于场上爆发出一阵阵热烈的掌声，在掌声中，老人转过身来，慢慢地把那把小锤揣进兜里。老人开口讲话了，他只说了一句话：在成功的道路上，你没有耐心去等待成功的到来，那么，你只好用一生的耐心去面对失败。第二讲周期性问题编写说明在春季讲义第十四讲中我们已经对规律性问题进行了研究，规律性问题和周期性问题紧密相连，所以我们在回忆相关内容时主要以规律性问题为主.在您用思而行讲义讲解问题时，我们主张教师在条件允许的范围之内，尽量将题目的缘由讲解给学生，这样有利于学生“举一反三”，逐渐帮助学生拥有研究问题、发现问题的能力.内容概述呵呵!小朋友们你们还记得春季第十四讲的“规律性问题”吗？在那一讲中我们其实已经接触到了周期问题的一些基本概念，规律性问题和周期问题两者相互交融，紧密联系，在解答问题时它们常常同时会来帮助你！下面让我们一起先来回忆一下基本概念和几道有关周期性问题的习题，然后一同研究几种新的知识点！基本概念：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为365天，闰年为366天.在公历纪年中，平年的二月为28天，闰年的二月为29天.闰年的2月29日为闰日.一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年.你还记得吗？【复习1】（华罗庚学校五年级入学考试试题）从算式1998÷8991的除数和被除数中各划去两个数字,使得新算式的结果尽可能小,那么该结果小数点后第1998位数字是多少?分析:除数划去两个数字最小是18,被除数划去两个数字最大是99,18÷99=0.1818……,1998÷2正好整除,所以小数点后面1998位是8.【复习2】（05福建迎春杯）有一串数列，第一个数是8，以后每个数的规律为：如果前一个数是奇数，就将它减去1以后再乘以3；如果前一个数是偶数，就将它除以2以后再加上2，那么这串数列的第102个数是多少？分析：写出这串数的若干项：8、6、5、12、8、6、5、12、……，每四个数一循环：102÷4=25…2，所以第102个数是6.【复习3】有一列数：2、1000、998、2、996、994、…从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中第188个数是几？分析：我们把这个数列延伸一下：2、1000、998、2、996、994、2、992、990、2、988、986、…，3间隔两项出现，大数（非3的数）以2为公差减小，如上下划线所示，每三个一组，每组第二个数字差为4，188÷3=62……2，所以第188个数是第63组的第2个数，为：1000-（63-1）×4=752.数字大排队除0外的全体自然数如右表排列，请问（1）数43在哪个字母下面?（2）数47在哪个字母下面?（3）数56在哪个字母下面?分析：（1）43÷8=5…3，所以它在3的下面，也就是说在C的下面；（2）47÷8=5…7，所以它在7的下面，也就是说在E的下面；（3）56=7×8，所以它在8的下面，也就是说在D的下面。（小数报数学竞赛初赛）右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？分析：根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是：B=891÷(9×9)=11.【巩固】有一个十一位数，已知它的首位数字为9，末尾数字为8，且三个相邻的数字之和是24，则第5个数字是几？这个数是多少？9?8分析：三个相邻的数字之和是24，说明第二、三个数字为24－9=15，即第四个数字为9，以此类推：99?998再从后往前，即可完成9879?8798798可以增加一个格，要不从右边开始数，隔2个数就相等，马上就能数出来！（05希望杯邀请赛）将100个小球放入依次排列的36个盒子中．如果任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14，且第1个盒中有2个小球．求第36个盒子中小球的个数．分析：将36个盒子依次编号为1，2，3，…，36．由于任意相邻的5个盒子中的小球总数相等，所以1到5号盒子中小球总数与2到6号盒子中小球总数相等．又因为它们均含有2号、3号、4号和5号盒子，所以1号盒子与6号盒子中所含小球数相同．同理，由6到10号盒子中小球总数与7到11号盒子中小球总数相等，可推得6号盒子与11号盒子中所含小球数相同．按照此规律可知：1号盒子、6号盒子、11号盒子、16号盒子、21号盒子、26号盒子、31号盒子和36号盒子中小球的个数相同．末尾数字的规律算式的得数的尾数是几？分析：我们只需要看个位就行了,3的个位是3,3×3个位是9,3×3×3个位是7,3×3×3×3个位是1,3×3×3×3×3个位是3,我们发现四次一循环,2006÷4=501……2,所以算式123×123×123×……×123的得数的尾数是9【拓展】an的个位数字的变化规律，如下表：从总体而言，可以总结成：“4个一循环”【巩固】求67999的个位数字.分析：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现.999÷4＝249……3，所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3。求28128－2929的个位数字.分析：由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6。由29÷2＝14……1知，2929的个位数与91的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7.【拓展】算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是几？分析：这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：7：7，9，3，1……，367/4=91…3，个位数是3；2：2，4，8，6……，762/4=190…2，个位数是4；3：3，9，7，1……，123/4=30…3，个位数是7；因此个位数：（3+4）×7=49.圆圈上的数学游戏（希望杯数学邀请赛决赛）如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？分析：到5号位后回到0号位，因此每六个数为一个周期，所以2004号和0号在同一位置，它们的距离是0米.（迎春杯刊赛）如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？分析：这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.【巩固】（华杯赛复赛）电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里.问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？分析：电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置，由于1991=165×12+11，所以红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，跳到了标有数字“1l”的圆圈.同理，由1949=162×12+5，知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按逆时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈.于是所求的乘积是11×7=77.如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？分析：根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置.156÷8=19……4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置.要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置.8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置.（1）时针如果指在5，那么分针旋转转动2008周后，钟表显示的时间是几时？（2）时钟在下午的时候指在5，那么分针旋转转动2008周后，钟表显示的时间是几时？分析：（1）2008÷12=167…4，5+4=9时；（2）2008÷24=83…16，下午5时即17时，所以17+16-24=9，钟表显示的时间是上午9时.我来找找星期几（美国小学数学奥林匹克）一月份有三十一天，如果某年的1月1日星期一，这年的2月22日是星期几?分析：从1月1日到2月22日共经过30+22=52天（我们在计算经过多少天数时，都统一算尾不算头，也就是将明天看作“第一天”），52÷7=7……3，周一往后数三天就是周四，所以2月22日是星期四.【拓展】（美国长岛小学数学竞赛）今天是星期二，从今天算起，第100天是星期几?分析：100÷7=14……2，因为是从“今天”算做第一天，所以第100天是星期三.（国家公务员考试题改编）1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？分析：00、04是闰年，99、01、02、03是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005年的元旦是星期六.【巩固】我国1997年7月1日收回香港的主权，这天正好是星期二.到今年7月1日十周年庆祝时是星期几？分析：98、99、01、02、03、05、06、07年是平年，00、04是闰年，从1997年7月1日到2007年7月1日，一共度过了：365×10＋2=3652（天），7天一个周期，3652÷7=521……5，所以2007年7月1日是星期日.【巩固】1991年2月1日是星期五，那么2000年的2月1日是星期几？分析：在92、93、94、95、96、97、98、99、2000年中92、96、2000是闰年，但2000年中的闰日并不包含在内，所以从1991年2月1日到2000年2月1日共经过了：365×9+2=3287，3287÷7=469……4，所以2000年的2月1日是星期二.（06年华罗庚金杯）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日．”聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期（）.分析：2006年有365天，而365=7×52+1．又已知2006年有53个星期日，只能元旦是星期日，且12月31日也是星期日．所以2007年的元旦是星期一.【巩固】（香港圣公会奥林匹克）一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?分析：1月1日是星期日，全年就有53个星期日。每月至少有4个星期日，53-4×12=5，多出5个星期日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．某年的10月有5个星期六，4个星期日，问这一年的十月一日是星期几？分析：星期六后面必有星期日，所以10月31号是星期六，30÷7=4……2，往前数2天是周四.【巩固】1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期______.分析：由已知，1号是星期五，因此1993年1月4日是星期一.附加题目【附1】实验室里有一个计数器，一圈一共24个格，按照顺时针顺序标了0～23这24个数.每经过8分钟，指针就会顺时针方向跳一次；每跳一次，就要跳过7格.今天晚上十一点的时候，指针正好从3跳到10，那么明天早上9点23分的时候，指针指着的数是几？分析：从晚上11点到早上9点23分的时候，共经过了623分钟，623÷8=77…7，指针跳过：77×7=539（格），539÷24=22…11，所以相当于从10顺时针跳11格，是21格.【附2】（01明心杯数学挑战赛）如右图，电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10．如果电子跳蚤开始时在BC边上的Po点，BPo=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CPo；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为P2001，请计算Po与P2001之间的距离．分析：因为BP0=4，所以CP0=10-4=6．第一步：从P0→P1，CP1=CP0=6，所以AP1=9-6=3；第二步：从P1→P2，AP2=AP1=3，所以BP2=8-3=5；第三步：从P2→P3，BP3=BP2=5，所以CP3=10-5=5；第四步：从P3→P4，CP4=CP3=5，所以AP4=9-5=4；第五步：从P4→P5，AP5=AP4=4，所以BP5=8-4=4；第六步：从P5→P6，BP6=BP5=4．可以看出，P6与P0点重合，而2001=6×333+3，故P2001点与P3点重合.P0与P2001之间的距离就是P0与P3之间的距离，等于：BP3一BP0=5-4=1．【附3】（05香港圣公会奥林匹克）某月有31天，有4个星期一和4个星期四，那么这个月的20日是星期几？分析：4个星期一和4个星期四，意味着有4个周一、二、三、四，31－4×4=15，即星期五、星期六、星期日各有5个，1日、2日、3日是星期五、星期六、星期日，因此20日是星期三.【附4】（迎春杯刊赛）甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶.甲第一次取奶是星期一，那么甲第100次取奶是星期().分析：甲第100次取奶，意味着甲、乙、丙三名学生已经都取过99次，所以甲的第100次，在总的次数中是第99×3+1=298，过了297次，297÷7=42……3，所以是星期四.【附5】(华罗庚学校五年级入学考试试题)甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？分析：甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从星期三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二.丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，他已经去过5次.【附6】（05年华罗庚金杯）从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九．2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问：立春之日是几九的第几天?；分析：从2004年12月21日到2005年2月4日共计有11+31+4=46(天)，46=5×9+1，所以立春之日是六九的第一天．故民间有“春打六九头”之俗语．【附7】（保良局亚洲区城市数学竞赛）每一年至少有一次星期五是某月的13日，但出现的次数不会超过三次.1998年正好有三次，分别在二月、三月和十一月．请问：下一次刚好又有三个月的13日是星期五的是公元哪一年?分析：365=52×7+l，则平年52周多1天，闰年52周多2天．1998～2008年之间有三个闰年，共多14天(即2周)，所以，2009年2月、3月、11月的13日又均在星期五．【附8】如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列.第99行右边第一个数是几？2006出现在第几行，第几列？分析：（1）每7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，相当于49个周期多一行，也就是50个周期第一行。第98行中最大的那个数为：（49×7-1）×2=684或者总共是7×49=343个数，所以342×2=684，所以第99行从左到右的数依次为：686、688、690，第99行右边第一个数是690.（2）2006÷2+1=1004，1004÷7=143……3，所以在第287行，第5列.练习二1．（小学数学奥林匹克初赛）如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几点钟？分析：1990÷24=82……22，18+22-24=16，于是分针旋转1990圈后是16点钟.2．除0外的自然数都按右表排列，问：（1）21排在第几列的下面?（2）32排在第几列的下面?（3）54排在第几列的下面?分析：我们可以把7个看成一组（1）21=3×7，所以21在7的下面，所以在第二列；（2）32÷7=4…4，所以32在4的下面，所以在第七列；（3）54÷7=7…5，所以54在5的下面，所以在第六列。3．2008个数排成一排，其中任意五个相邻数之和都是2008，已知第1个数是1，第9个数是9，第90个数是9，第102个数是3，那么第2008个数是；分析：根据题意可知，5个数一循环，前5个数分别为：1、3、1986、9、9，2008÷5=401…3，所以第2008个数是1986.4．求291+3291的个位数字。分析：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8.类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现：291÷4＝72……3，所以3291与33的个位数相同，等于7.最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5.5．（迎春杯刊赛）元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期_______.分析：平年元旦到国庆节经过273天.由于273÷7=39，故平年的国庆节是周日；闰年元旦到国庆节经过274天，由于274÷7=39…1，故闰年的国庆节是星期一.6．（迎春杯刊赛）阳历1978年1月1日是星期日，那么阳历2000年的1月1日是星期_______.分析：从1978年1月1日到2000年1月1日经过22年.这个期间内1980、1984、1988、1992、1996是闰年，其余年份是平年.于是这22年的总天数：365×22+5=8035.这样，问题转化为求8035被7除所得的余数.8035÷7=1147…6，公元2000年1月1日是星期六.课外故事永远看得起自己有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着.最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，这口井还是得填起来。于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦.农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中。当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得很凄惨。但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了。农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去。很快地，这只驴子便得意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！第三讲行程问题编写说明在四年级春季的学习中，我们已经研究了行程问题中一些最基本的相遇与追击以及火车过桥问题.在暑期的三、四讲中我们将继续研究综合行程问题和流水行船问题.学生对行程问题大都很“晕”，常常不知从何下手，鉴于此，我们尽量按照类别进行介绍，帮助学生一步一步找到解决各个类型的一些思路.在安排行程的题目时，我们选用的题目难度并不大，希望教师能引导孩子们，克服心理恐惧，能部分独立解答相应阶段的行程问题，增加孩子的自信与兴趣！以上观点仅供交流！内容概述行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现．行程问题包括：相遇问题、追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等，思维灵活性大，辐射面广，但万变不离根本，就是距离、速度、时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度×时间.在这三个量中，已知两个，可求出第三个未知量．这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.解决行程问题时，画图分析是一个非常有效的方法，我们一定要养成画图解决问题的好习惯！你还记得吗【复习1】甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地间的距离是多少千米?分析：画图分析.相遇时甲车比乙车多行：32×2=64(千米)，甲车每小时比乙车多行：56-48=8(千米)，甲、乙两车从同时出发到相遇要：64÷8=8(小时)，东、西两地间的距离是：(56+48)×8=832(千米).【复习2】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.分析：从A点出发到第一次相遇，两人共走了0.5圈；从A点出发到第二次相遇，两人共走了1.5圈。因为1.5÷0.5＝3，所以第二相遇时甲走的路程是第一次相遇时的3倍，即弧ACD=AC×3=240（米），则弧AB=240—BD=180（米），圆周长为180×2=360（米）【复习3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑.甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？分析：在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.平均速度汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？分析：假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）.【前铺】汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后立即以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.分析：注意平均速度=总路程÷总时间，我们可以把上山的路程看作“1”，那么就有：（1+1）÷（）=40（千米／时），在这里我们使用的是特殊值代入法，当然可以选择其他方便计算的数值，比如上山路程可以看作60千米，总时间=（60÷30）+（60÷60）=3，总路程=60×2=120，平均速度=120÷3=40（千米/时）.一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？分析：假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×3÷19=（厘米/分钟）.老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？分析：设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）.沿途数车小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行.每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车.问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?分析：假设小明在路上向前行走了63（7、9的最小公倍数）分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地.这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车，所以发车的时间间隔为：63×2÷（9+7）=（分）.公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固定不变的.根据每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到：间隔=9×（车速-步速）；每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔=7×（车速+步速），所以9×（车速-步速）=7×（车速+步速），化简可得：车速=8倍的步速.【巩固】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米／时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车.到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追过的公共汽车数了9辆.如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少?分析：我们可以假设小红放学走到家共用99分钟，那么条件就可以转化为：“每隔9分钟就有辆公共汽车迎面开来，每隔11分钟就有辆公共汽车从后面超过他”.根据汽车间隔一定，可得：间隔=11×（车速-步速）=9×（车速+步速），化简可得：车速=10倍的步速.所以车速为40千米/时.一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟.有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站.他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站.在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出.问他从乙站到甲站用了多少分钟？分析：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出.骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5×8=40（分钟）.猎狗追兔一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？分析：在一个单位时间里，狗跑3×3＝9（米），兔子跑4×2.1＝8.4（米），所以兔子跑的距离为：[20÷（9-8.4）]×8.4=280（米）.猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之.兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?分析：“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔跑8步的时间……”和“兔跑9步的距离……”，8与9的最小公倍数是72，所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑.兔跑72步的时间狗跑45步，兔跑72步的距离等于狗跑32步距离，所以在兔跑72步的时间里，狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程，这个13步是猎狗的13步.由此推知，要追上26(狗)步，兔跑了72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了5×(144÷8)=90(步).【巩固】野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔?分析：“野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.”讲条件转化为：“野兔跑35步的路程猎狗只需跑15步，野兔跑27步的时间猎狗只能跑15步.”在猎狗跑15步的时间内，猎狗比野兔多跑35-27=8（兔步）.猎狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步）.猎狗追赶前方15米处的野兔.猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔?分析：“猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.”将条件转化为：“猎狗跑12步的时间野兔跑20步，猎狗跑12步的距离野兔要跑21步.”我们也就可以这样认为：在一个单位时间内（猎狗跑12步的时间），猎狗跑了野兔的21步，野兔跑了20步，速度差为野兔的1步.追击时间=15÷野兔的1步，所以猎狗追击的距离=（15÷野兔的1步）×野兔的21步=315（米）.狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬.一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑568步.如果狼跑9步的时间狗跑7步，狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步?狼跑了多少步?分析：由题目条件知，狼跑45步的时间狗跑35步，狼跑45步的距离等于狗跑36步的距离，也就是说，在相同的时间里，狼跑狗的36部，狗跑35步.所以相遇时，狼跑了：（步），狗跑了：288÷9×7=224（步）.多人行程东、西两城相距75千米．小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑．这样往返，直到三人在途中相遇为止．问小辉共走了多少米?分析：在这一过程中，小辉始终在小强与小明之间往返．对于确定小辉与小强或小明的每一次相遇时间和地点，是十分繁琐并且不必要的．事实上，小辉一直在以每小时15千米的速度骑行．为求出他所骑的路程，只需要求出从开始到最终相遇的时间．而这个时间只要由小强和小明的速度就可以计算．从开始到相遇的时间为：75÷(6.5+6)=6小时．6小时内小辉一共骑了15×6=90千米．有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．这花圃的周长是多少米?分析：由已知可知，甲先与乙相遇．在甲乙相遇这段时间里，乙丙所行的路程差正是甲丙在3分钟内相向而行的路程之和：(40+36)×3=228(米)．从出发到甲乙相遇所用时间为228÷(38-36)=114(分钟)．所以，花圃的周长为(40+38)×114=8892(米)．【前铺】甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米.甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？分析：线段示意图如右：当乙和丙相遇时，乙和甲相距：(70+50)×2=240(米)，从3人同时出发到乙、丙相遇经过：240÷(60-50)=24(分)，A、B两地相距：（60+70）×24=130×24=3120(米).附加题目【附1】某司机开车从A城到B城.若按原定速度前进，则可准时到达.当路程走了一半时，司机发现前一半行程中，实际平均速度只达到原定速度的，如果司机想准时到达B城，那么在后一半的行程中，实际平均速度是原定速度的多少倍？分析：前一半路程用去原定时间的，后一半路程就用去原定时间的2-=，所以实际平均速度是原定速度的倍.【附2】甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？分析：（法１）全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000÷80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟（法2）设走一半路程时间是x分钟，则80x+70x=6×1000，解方程得：x=40分钟，因为80×40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000÷80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟【附3】一只快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人.现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？分析：（法1）快车6分钟行24×1000×6÷60=2400（米），中车10分钟行20×1000×10÷60=（米），骑车人速度每分钟行（-2400）÷（10-6）=（米）

慢车12分钟行2400-×6+×12=3800（米），每小时行3800÷12×60=19000（米）=19（千米）（法2）6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6×（24-20）÷60=0.4千米，10分钟时，中车又开了4×20÷60=千米，追上骑车人，说明骑车人4分钟骑了-0.4=千米，即骑车人速度==14（千米/小时），因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人6×（24-14）÷60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+14×12÷60=3.8千米，所以，慢车速度=（3.8÷12）×60=19千米/小时.【附4】设有甲、乙、丙3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？分析：（法1）:如图，甲与丙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P点相遇时，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只走了MA。所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到.（法2）：由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短.将整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行2×=份，总步行4-=份；乙步行1+（2-）=，骑行4-=份，所以，丙最先到，甲最后到.【附5】甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和．分析：现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是27+23+16=66米，甲目前比它们的距离之和要多78－66=12米．此后甲每向前游1米，乙、丙、丁3人也都同时向前游了1米，那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少2米．要使这个差为0，甲应向前游了12÷2=6米．练习三1．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度.分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为24米，那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13（秒），过桥的平均速度=24×3÷13=（米/秒）.2．小宇以均匀速度走路上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面而来．如果电车也是匀速行驶的，那么起点站和终点站隔多少分钟发一辆电车？分析：（法1）：[12，4]=12，12×2÷（1+3）=6（分钟）.（法2）：把电车的间隔距离看作1，那么有：车速+人速=，车速-人速=，所以车速=，发车间隔时间=1÷=6（分钟）.3．猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？分析：猎狗跑12步的路程兔子要跑21步，猎狗跑12步的时间兔子要跑16步，在猎狗跑12步这个单位时间内，两者的速度差为兔子的5步，所以猎狗追击距离为：30÷5×21=126（米）.4．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇．那么东、西两村之间的距离是多少米?分析：如右图，甲、乙两人在C地相遇，之后甲、丙在E地相遇，此时乙已经走到D地．CD是乙6分钟的路程，为80×6=480米；EC是甲6分钟的路程，为100×6=600米．所以ED=480+600=1080米．这个长度就是从开始到甲、丙相遇时乙、丙的距离差．从开始到甲、丙相遇所经历的时间为：1080÷(80-75)=216分钟．也就是经过216分钟，甲、丙从东、西两村出发相遇，所以东、西两村相距：(100+75)×216=37800米．课外故事一粒种子里有什么在《平凡世界的卓越人生》一书中，牧师罗伯特·H·舒勒写道：“多年来，我反复向听众宣讲：任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子，然而只有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果。”作者舒勒先生的一名听众，农场主安斯利·米勒对这句话深有体会，他给舒勒先生寄去了一封夹有大豆种子的信。他在信里写道：“舒勒先生，那是1977年，我种的庄稼几乎颗粒无收，那年天气特别糟糕，雨水太多。在10月的收获季节，我走在自家的地里，看着满目的稀稀落落的豆荚，走上去一捏，大多数都是瘪的，我感到心灰意冷。就在那个时候，我猛然看见不远处有一株大豆特别显眼。我走过去，小心翼翼地摘下上面全部的豆荚。一共有202个，一个个看上去都硕大饱满。我把这些豆荚剥开，得到了503颗大豆。我把这些大豆带回家，整个冬天都放在一个平底罐里，让它们风干。“第二年春天，那是对我有特殊意义的一个季节。我拿出那503颗大豆种子，撒在我家屋后的一小块地里。那年10月，那块地让我收获了32磅的大豆！到了冬天，我又把种子全部晾干。“1979年，我把那32磅大豆尽数种在一英亩的田里。那年10月，我总共收获了2409磅大豆。“1980年的春天，我将大豆种在一块69英亩的田里，那是我全部的土地。就在那年10月，那块地大获丰收，足足收获了8万多升大豆，卖了1.5万美元！“舒勒先生，一株大豆，202个豆荚，503粒大豆，4年以后变成了1.5万美元。还不错，不是吗？‘任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子，然而只有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果’。一粒种子里面有多少个苹果？噢，我知道了，我明白了。瞧，我给你寄一粒我收获的种子。”不要小瞧任何微小的可能和机会，那里蕴藏着无限的希望和收获。第四讲流水行船问题编写说明此讲为学生第一次系统接触“流水行船”问题，所以我们更加关注学生对基本问题的解答思路及能力！本讲为新知识的学习，所以就不再进行“你还记得吗？”的复习环节！这样一来例题设置稍稍减小，希望能帮助教师缓解一些压力！基本的流水行船问题在行程问题的基础上，这一讲我们将研究流水行船的问题.船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题.另外一种与流水行船问题相类似的问题是“在风中跑步或行车”的问题，其实处理方法是和流水行船完全一致的.行船问题是一类特殊的行程问题，它的特殊之处就是多了一个水流速度，船速：在静水中行船，单位时间内所走的路程叫船速；逆水速度：逆水上行的速度叫逆水速度；顺水速度：顺水下行的速度叫顺水速度；水速：船在水中不借助其他外力只借助水流力量单位时间所漂流的路程叫水流速度(以下简称水速)，顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速.顺水行程=顺水速度×顺水时间逆水行程=逆水速度×逆水时间船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；水速=（顺水速度-逆水速度）÷2.（可理解为和差问题）甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？分析：从甲到乙顺水速度：234÷9＝26（千米/小时）；从乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小时）；船速是：（26+18）÷2=22（千米/小时）；水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小时）.【前铺】轮船在静水中的速度是每小时21千米，轮船自甲港逆水航行8小时到达相距144千米的乙港，再从乙港返回甲港需要多少小时?分析：要求轮船从乙港返回甲港所需的时间，即轮船顺水航行144千米所需时间，就要求出顺水航行的速度。现在知道轮船在静水中的速度，只需求出水流速度.根据已知，自甲港逆水航行8小时，到达相距144千米的乙港，由此可求出轮船的逆水航行的速度.再根据逆水速度与船速、水速的关系即可求出水速.水流速度：21—144÷8=21—18=3(千米／小时)，顺水速度：2l+3=24(千米／小时)，乙港返回甲港所需时间：144÷24=6(小时).【巩固】甲、乙两港相距208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达．水流速度是多少?分析：顺水速度=208÷8=26（千米／小时），逆水速度=208÷13=16（千米／小时），水速=（顺水速度－逆水速度）÷2=（26－16）÷2=5（千米／小时）．A、B两港相距560千米，甲船往返两港需要105小时，逆流航行比顺流航行多了35小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？分析：先求出甲船往返航行的时间分别是：（105+35）÷2=70小时，（105-35）÷2=35.再求出甲船逆水速度每小时560÷70=8千米，顺水速度每小时560÷35=16千米，那么甲船在静水中的速度是每小时（16+8）÷2=12千米，水流的速度是每小时12-8=4千米，乙船在静水中的速度是每小时12×2=24千米，所以乙船往返一次所需要的时间是560÷（24+4）+560÷（24-4）=20+28=48小时.甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水航行7小时，行了133千米到达乙河，在乙河中还要逆水航行84千米，问：这艘船还要航行几小时?分析：船在甲河中的顺水速度为：133÷7=19(千米／小时)，船速=19-3=16(千米／小时)．船在乙河中的逆水速度=船速一水速=16-2=14(千米/小时)，逆水时间=逆水行程÷逆水速度=84÷14=6(小时)．一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时．求：这两个港口之间的距离．分析：两港口间的距离=顺水速度×顺水时间=(船速+水速)×顺水时间=(船速+6)×4；两港口间的距离=逆水速度×逆水时间=(船速-6)×7；所以可得：(船速+6)×4=(船速-6)×7，解得：船速=22，可得两港口间的距离为：(22+6)×4=(22—6)×7=112(千米)．某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天．问：水从甲地流到乙地用了多少时间?分析：（法1）水流的时间=甲乙两地间的距离÷水速，而此题并未告诉我们“甲乙两地间距离”，且根据已知，顺水时间及逆水时间也无法求出，而它又是解决此题顺水速度、逆水速度和水速的关键．将甲、乙两地距离看成单位“1”，则顺水每天走全程的，逆水每天走全程的．水速=(顺水速度一逆水速度)÷2=，所以水从甲地流到乙地需：（天）.当然，我们还可以把甲乙两地的距离设成其他方便计算的数字，这其实就是特殊值代入法！（法2）用方程思路，5×（船速＋水速）=7×（船速—水速），即船速=6×水速，所以轮船顺流行5天的路程等于水流5＋5×5＝35（天）的路程，即木筏从A城漂到B城需35天.（法3）逆水比顺水多2天到达，即船要多行驶2天，为什么会多2天呢，因为顺水时得到了5天的水速帮助，逆水时又要去克服7天的水速，这一切都是靠2天的船速所实现的，即船速等于6天的水速；所以轮船顺流行5天的路程等于水流5＋5×6＝35（天）的路程，即木筏从A城漂到B城需35天.一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米.这艘小船的静水速度和水流速度是多少？分析：（法1）两次航行顺流的路程差：33-24=9（千米），逆流的路程差：14-11=3（千米），也就是说顺流航行9千米所用的时间和逆流航行3千米所用时间相同，那么顺流航行33千米与逆流航行33÷3=11（千米）时间相同，则逆流速度：（11