复积分省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

五Cauchy积分公式

和高阶导数公式11/391.问题提出怎样求这个积分呢？

22/39依据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C改变而改变,求这个值.33/3944/392.Cauchy积分公式Cauchy积分公式55/39

Cauchy积分公式可用来计算积分。66/39例1解由Cauchy积分公式77/39例2解由Cauchy积分公式88/39例3计算积分

被积函数在积分路径内部含有两个奇点与作，有计算上式右端两个积分

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故1010/39关于Cauchy积分公式说明:把函数在C内部任一点值用它在边界上值表示.（这是解析函数一个主要特征）(2)公式不但提供了计算一些复变函数沿闭路积分一个方法,而且给出了解析函数一个积分表示式.(这是研究解析函数有力工具)1111/39例5解依据Cauchy积分公式知,1212/394、解析函数高阶导数定理设为有界多连域（单连域），其边界正向曲线为复闭路（简单闭路）在内及边界上解析，则函数在内有任意阶导数，对于给定和自然数有1313/39高阶导数公式作用:

不在于经过积分来求导,而在于经过求导来求积分.1414/39例1计算积分解：由高阶导数公式1515/39例2（1）（2）1616/39例2（1）（2）解（1）函数奇点在圆内部，而其它两个奇点在左半平面，从而在该圆外部。于是函数在闭圆盘上解析，由定理2可得：1717/39（2）同理其中在闭圆盘上解析，所以1818/39例3解1919/392020/39证实：f(z)在D内任意一点z有导数，现证实当n=1时，式（3-3-3）成立。设z+h∈D,h≠0，由导数定义我们仅需要证实：当h→0时，高导定理证实2121/39

现在来预计上式右边积分。设以z为心，以2d为半径圆盘完全包含在D内，而且在这圆盘内取z+h使得0<|h|<d，那么当ξ∈C时，设|f(z)|在C上一个上界是M，而且设C长度为L，于是我们有所以，当h→0，（3-3-4）成立。

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现在用数学归纳法来完成定理证实。假设(3-3-3)当n=k时成立。取z与z+h同上，那么2323/39

由此能够证实：当h→0，(3-3-5)右边趋于零。于是(3-3-3)当n=k+1时成立时。证毕。推论：若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0解析，则存在点z0一个邻域|z-z0|<ρ，使得在该邻域内f(z)有任意阶导数，其各阶导数也解析；而且在该邻域内函数u=u(x,y)和v=v(x,y)各阶偏导数不但存在而且都连续。

证实：由函数f(z)在点z0解析知：可作一圆盘|z-z0|<ρ使得f(z)在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用高导定理。2424/39定理复变函数在区域D内解析充分必要条件是：⑴函数

与

在D内有连续一阶偏导数．⑵与在D内满足方程

解析函数第二等价定理2525/395.课堂练习例6解由Cauchy积分公式2626/39例7解2727/39例7解2828/39由复合闭路定理,得例7解2929/39例8解由Cauchy积分定理得由Cauchy积分公式得3030/393131/39例9解3232/39依据复合闭路原理和高阶导数公式,3333/393434/39例P101--173535/39例8解3636/