湖南省永州市沙田中学高三数学理下学期摸底试题含解析

湖南省永州市沙田中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数满足约束条件，则的最小值为 （

）A. B. C. D.参考答案：C2.下列四个图中，哪个可能是函数的图象

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略3.下列四个结论：①设为向量，若，则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：A【考点】复合命题的真假．【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③．【解答】解：对于①设为向量，若cos＜，＞，从而cos＜，＞=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”而不是逆命题，则②错；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；故选：A．【点评】本题考查了向量问题，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．4.已知正数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．0参考答案：A【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】法一：依题意由基本不等式得x+2y=xy≤，从而可求得x+2y的最小值．法二：化简方程为，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可．【解答】解：法一：∵x＞0，y＞0，∴xy=≤，又x+2y=xy，∴x+2y≤，由x，y＞0．解得：x+2y≥8．∴x+2y的最小值为：8．方法2：由x+2y﹣xy=0得x+2y=xy，即，x+2y=（x+2y）（）=4+≥=8，当且仅当x=2y时取等号．故选：A．【点评】本题考查基本不等式求解表达式的最大值，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+2y的二次不等式是关键，属于中档题．5.下列命题中正确命题的个数是（1）命题“若，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则”；

（2）设回归直线方程=1+2x中,x平均增加1个单位时，平均增加2个单位；

（3）若为假命题，则均为假命题；

（4）对命题:使得，则均有；（5）设随机变量服从正态分布N（0,1）,若，则A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C6.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若的图像关于直线对称，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B7.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若；

③若；

④若m、n是异面直线，.

其中真命题是（

）A．①和②

B．①和③

C．③和④

D．①和④参考答案：答案：D8.已知a=log23，b=，c=log53，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=log23=，c=log53==＜=a，另一方面：a=＜=，b=，∴c＜a＜b．故选：A．9.设，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C,,所以，所以，选C.10.设全集，则集合（CUM）∩N等于

A．

B．（1，2）

C．（—2，1）

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，（1）若，则=

；

（2）所有数对所组成的集合为_____________．参考答案：（1）-4,1；（2）12.命题“x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为参考答案：略13.（4分）（2015?丽水一模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为．参考答案：﹣【考点】：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣【点评】：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.已知圆：，则圆心的坐标为

；若直线与圆相切，且切点在第四象限，则

．参考答案：

圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为1.要使直线与圆相切，且切点在第四象限，所以有。圆心到直线的距离为，即，所以。15.若向量，，且，则

．参考答案：-616.如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为

。参考答案：答案：17.路灯距地平面为8m，一个身高为1．75m的人以m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为

m/s．参考答案：

如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，则∵BE∥CD，∴．∴，∴y=x，x=t，∴y=x=t．∵y′=，∴人影长度的变化速率为m/s．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案：（1）极小值是，没有极大值（2）【分析】（1）对函数求导，让导函数等于零，求出零点，然后列表，求出函数的极值。（2）函数在[1，3]上是减函数，则在[1，3]上恒成立，转化为的不等式，构造新的函数，利用新函数的单调性，求出在[1，3]上的最值，就可求出实数a的取值范围。【详解】（1）

=函数定义域为

解得

列表—0+极小值

由表可知：在单调递减，在单调递增，极小值是=0，无极大值.（2）=.又函数在[1，3]上是减函数在[1，3]上恒成立，所以不等式在[1，3]上恒成立，设，[1，3]

在[1，3]上是减函数。要想不等式在[1，3]上恒成立，只需。【点睛】考查函数的极值，以及不等式的恒成立问题。本题是采用常变量分离的方法，通过构造新函数，利用新函数的单调性求出最值，然后求出参量的取值范围。19.已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：解：（I）设数列的首项为a1，则∵S5=35，且a2，a7，a22成等比数列∴∵d≠0，∴d=2，a1=3∴an=3+（n﹣1）×2=2n+1；（II）Sn=∴∴Tn===﹣略20.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）（1）若经过圆心，求点到的距离；（2）设，.①试用表示的长度；②当为何值时，绿化区域面积之和最大.参考答案：以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为（）,由得.所有，点到的距离为.(2)①由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所有，的长度为，.②区域IV、VI的面积之和为，区域II的面积为，所以（）.设，则，，当且仅当，即时“=”成立.所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.答：当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大.21.已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；指数函数单调性的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】函数y=cx在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c的取值范围．【解答】解：函数y=cx在R上单调递减?0＜c＜1．不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R?函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．∵x+|x﹣2c|=∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R?2c＞1?c＞．如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．如果P不正确，且Q正确，则c＞1．∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．22.一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球，某人一次从中摸出2个球