山西省忻州市原平东同中学高三数学理期末试题含解析

山西省忻州市原平东同中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则数列是

(

）A．递增数列

B．

递减数列

C．

常数列

D．

摆动数列参考答案：A2.已知等差数列的前项和为,如果当时,最小，那么的值

为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：等差数列的前项和的性质及运用.3.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A.6 B.9 C.12 D.18参考答案：C由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体，其体积，应选答案C。4.已知向量，，那么向量与的夹角为A．135° B．120° C．60° D．45°参考答案：A5.若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（） A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤参考答案：D【考点】基本不等式． 【专题】计算题． 【分析】由题设知ab≤，所以，，，==≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项． 【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4， ∴ab≤， ∴，故A不成立； ，故B不成立； ，故C不成立； ∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8， ∴==≤，故D成立． 故选D． 【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用． 6.已知，若在上恒成立，则实数a的取值范围是A．［－1，0］ B．(－∞，－1］ C．［0，1］ D．(－∞，0］∪［1，+∞）参考答案：A略7.已知，，则a,b,c的大小关系是()A．

B．

C．

D．参考答案：B8.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.已知，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A【考点】复数乘除和乘方【试题解析】因为（1+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C．D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，如图所示；则该几何体的体积是V=××（1+2）××2=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

；表面积是

．参考答案：12.定义在上的函数满足，当时，，则函数的图像与函数的图像的所有交点的横坐标之和等于

参考答案：813.已知且与平行，则_________.参考答案：4试题分析：,，由于与平行，，解得，故答案为4.考点：向量平行的应用.14.一个球与一个正方体内切，已知这个球的体积是4，则这个正方体的体积是

.参考答案：答案：

15.计算：_____________．参考答案：16.已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________________.］参考答案：略17.在中，，则的周长的最大值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．参考答案：解：（1）在中，令，得。

由实际意义和题设条件知。

∴，当且仅当时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，

即关于的方程有正根。

由得。

此时，（不考虑另一根）。

∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。19.（本题12分）对于函数，若存在，使，则称是的一个＂不动点＂.已知二次函数（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．参考答案：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和．…………….3分（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，∴，得的取值范围为．

……………..7分（3）由得，由题知，，设中点为，则的横坐标为，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．……..12分20.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an﹣1﹣1）an﹣2an﹣1=0（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和为Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）推出数列{an}是等比数列，然后求解通项公式，利用作差法，然后求解{bn}的通项公式；（Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）变形可得（an﹣2an﹣1）（an+1）=0，即有an=2an﹣1或an=﹣1，又由数列{an}各项都为正数，则有an=2an﹣1，故数列{an}是首项为a1=1，公比为2的等比数列，则…由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，当n≥2时，，和b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）作差得，，整理得：，∴=1，∴bn=n∴；bn=n，n∈N*…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，∴，两式作差得：…．21.（本题满分12分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△，使得平面⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：平面ABD；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值参考答案：证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，即，．

………………2分∵平面⊥平面，平面平面=，平面，∴平面．

………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．

则，，，．∵E是线段AD的中点，∴，．在平面中，，，设平面法向量为，∴，即，令，得，故．………………（6分）设直线与平面所成角为，则．∴直线与平面所成角的正弦值为．

………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，

而平面的法向量为，∴，

………………（10分）