河北省小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

河北省小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

姓名：班级：成绩:

一小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！

一、（共35题；共160分）

1.（10分）某校六年级有367名学生，有没有两名学生的生日是同一天？为什么？

2.（5分）两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，

但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球

不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？

3.（5分）有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里.一次摸出小球8个，其中至少有几

个小球的颜色是相同的？

4.（5分）一副扑克有4种花色，每种花色13张，从中任意抽牌，最少要抽多少张才能保证有4张牌是同一

花色？为什么？

5.（5分）用数字1,2,3,4,5,6填满一个6-6的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字,

将每个2正方格内的四个数字的和称为这个2“2正方格的“标示数”.问：能否给出一种填法，使得任意两

个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由.

6.（5分）把黑、白、蓝、灰四种颜色的袜子各12只混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几只才能

保证一定有一双同色的袜子?如果要保证有两双同色的袜子呢？

7.（5分）六⑴班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说：

“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。王老师说的对吗?为什么？

8.（5分）在8,8的方格纸中，每个方格纸内可以填上1〜4四个自然数中的任意一个，填满后对每个2.2

“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

9.（5分）要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个

盒子中的乒乓球数目相同？

10.（5分）边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.

11.（5分）一个口袋里有红球、黄球、白球和花球四种颜色的球，小阳闭着眼睛，每次摸出一个球，他想摸

出两个颜色相同的球，至少要摸多少次才能一定达到要求？

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12.（5分）如图，分别标有数字12.S的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的

数字都不相同.当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对.

13.（5分）6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子.对吗？

14.（1分）“华罗庚”杯数学竞赛获奖的87名学生分别来自12所小学。试说明至少有8名学生来自同一所

学校。

15.（5分）平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上.证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中,

一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边.

16.（5分）20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题.证明：小明一定在连续的若干天内恰好

做了7道题目.

17.（5分）任意给定一个正整数n,一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.

18.（5分）在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘

米？

19.（5分）一个袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球若干，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次

取5个或7个，最后剩2个.这个袋中至少有多少个小球？一次至少取几个小球可以保证有两个是同色的？

20.（5分）某次数学竞赛有6个同学参加，总分是547分，则至少有一个同学的得分不低于92分.为什么？

21.（5分）在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.

22.（5分）证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识.

23.（5分）从1至30中至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数?

24.（5分）一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?

25.（5分）在100张卡片上不重复地编写上I~100,请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡

片上的数相乘后之乘积可被4整除?

26.（5分）叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是42环.张叔叔至少有一镖不低于9环.为什么？

27.（5分）图书馆有A,B,C,D四种图书若干本，每人借一本书，至少要有多少个人借书，才能保证一定

有3人借的书相同？

28.（5分）把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书，为什么？

29.（5分）有红、黄、黑、白四色小球各10个，混合放入一个盒子，每次至少摸出几个，才能保证有2个

小球同色？为什么？

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30.（5分）在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的

面积不超过1平方米.

31.（1分）7个小朋友乘6只小船游玩，至少要有个小朋友坐在同一只小船里，为什么？

32.（5分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做

和）.

33.（1分）121只鸽子飞回20个鸽舍，至少有只鸽子要飞进同一个鸽舍里.

34.（1分）7只鸽子飞回6个鸽舍，至少有只鸽子要飞进同一个鸽舍里.

35.（1分）将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了个苹果，将25个苹果放到8个

抽屉里，总有一个抽屉至少放进了个苹果.

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参考答案

一、（共35题；共160分）

1-1、

解：把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元素.把367个元表放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即

至少有两名学生的生日是同一天.

2-1、

解：第一次,只^BSS一袋中有孙雌的球不足3个即可（取了多沙球,怎的09W以不考虑）.第:欠取后,

要保证第一装中每种颜色的球不少于3个，最不利的情况是两种颜色的球各有8个，另一种颜色的球律3个.所以，第一袋中有球

8+8+3=19（个），第3中有球4x3x2-19=5（个）.

3-1、

解：从最不利的情况考否,摸出的8个小球中有4个小球的颜色各不相同，到弦余下的4个小球无论各是什么颜色，都必与之前的

仆小球中的某一个颜色相同.即这部小球中至少有2个小球的颜色是相同的.

4-1、

解：4x3+2+1=15（张）

答：至少要抽15张才能保证有4张牌是同一花色.因为如果4张花色各抽出3张，再抽出大王和小王，共抽出14张，那么再揄出

是什么花色都能保证有4张牌是同一花色.

5-1、

解:先计算出每个2x2正方格内的四个数字的和最小为4,最大为24,从4到24#有21个不同的值，即有21个“油屉"；再找

出在6x6的方格表最多有：5x5=25（个）2*2正方格的“标示数"，即有25个“苹果”.25-21=1-4，根据抽卮

原理,必有两个“标示数-相同.

解：4+1=5®;4x3+1=13®

61、答：至少拿B5只才能保证一定有一双同色的袜子,如果要保证有两双同色的袜子,至少要取出13只.

7-1、解：王««^得对,因为86娉10（»地15个加，（49-3）+15=3.j,3+l=4（A）,所以本有40雌同.

8-1、

解：先计算出在8x8的方格中，扶有2、2"田"字形：7x7=49（个），在1~4中任取4个数（可以重复）的和可以是

4~16中之一，共13种可能，根据抽股原理：49—13=3-10，至少有3+1=4个"田"字形内的数字和是相同的.

9-1、

癣：每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2,3、4、5这5种各不相同的个数,共有:

1+2+3+4+5=15，61-15=4---1，最不利的分法S：装L2、3、4、5个球的各4个，还剜1个球，要使每个盒子不超

过5个球，无论放入个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同.

10-1、

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解：5个点的分布是任意的.如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有沁点，月眩这5个点中f有距离不大于

的两点.,则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个至尊的边长为的小等边三角形，则

5个点中心有2点位于同一个“写边三角形中（包括边界），其距离便不大于0.5.可以继续拓展：边长为1的等边三角形内，S

有东+1个点，则至少存在2点距离小于1.

11-1、

一共有瓯中颜色的球，当国也出的球颜色都互不相同时，摸到第5个时，一定会和前面摸出的四个球其中的f颠色相同，&

样就可以保证一定有两个颜色相同的球了.

答：我要摸5次才能一定IS到要求.

12-1、

解：内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一旃转动，一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠

相对的局面出现,那么这种局面共要出现8次•将这8次局面看成S个苹果，注JS到一环每算动45,角就有一次漆珠相对的局面

出现，转动一周共有s次滚珠相对的局面，而最初相对演珠所云5字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现

在以后的7次转动中,将7次转动看做7个抽屉,根据抽屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有臬一时

刻，内外两环中至少有两对数字相同的流珠相对.

13-1、

6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1R,这样还剩下1只第子.这只鸽子可以任意飞进其中的一ME子,这样至少有

f«子里有2只鸽子.所以这句话是正确的.

解:87+12=7……3,7+l=8（g）

14-1、答：假如每个学校都有7人获奖，那么余下的3人无论的前幅保证至少有8s学生来自同一所学校.

15-1、

解：我们硒塞目婚释一下.一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有会大边和最小边.在等膝三角形（或

等边三角形中），会出现两条边,甚至三条边都是最大边（或最小边）.

我们用失色的办法来解决这个问题.分两步姿色:

第f:先桁号T三角形中的最大边涂上同一种颜色,比如红色；第二步，将其它的未涂色的线段都涂上另千种颜色，比

如蓝色.

这样,我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好.根据上至题的结论可知，这些三角形中至少有一乐色三角形.由于这

个同色三角形有目己的最大边，而最大边涂成红色,所以这个同色三角形必然是红色三角形.由于这个同色三角形有自己的最

小边，而这条最小边也是红色的,说明这条最小边必定是某个三角形的最大边.结论得证.

16-1、

解：设小明第1天做了的道题,前2天共做了a2道邕,前3天共做了ay道邕.....前14天共做了小道题.显然o14=20,

而~flu都小于20.考博勺，④，的.....r的4及。［+7,o,+7,Oj+7,—,0M+7这28个数，它们都不超过

27.

福据抽卮原理,这28^N改中必有两个数相等.由于的，色，6,.,的4互不相等,q+7,fl-,+7,为+7••••….

014+7也互不相等,因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有：可=a,+7,所以%-q=7.这

表明从第7+1天到第J天，小明恰好包了7道理.

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17-1

解：考虑如下〃+1个数：7,77,777........ZZr.?,2112.这〃+1个数除以〃的余数只能为0,1,2，.…i

力位irlCz

中之一，共"种情况，根据抽屉原理,其中必有两个数除以n的余数相同，不妨设为工22和ZZ二？(p>g),那么

P(Sjz©

ZI?-12^2=是n的倍数,所以〃乘以适当的包，可以得到形式为^二9的数,即由用］7组成

血q<UqfiZ(p-fl)®弛？

的数.

18-1、

解：把长度10厘米的线段10等分，目以每段浅段的长度是1厘米(见下图).

格每段找段看成是一个“抽屉",一共有10个抽屉.现在将这11个点放到这10个抽屉中去.根据抽屉原理,至少有一个抽

卮里有两个或两个以上的点(包括这些线段的im点).由于这两个点在同一个抽卮里,它们之间的距湾当然不会大于］厘米.

所以,在长度是io厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点,它们之间的距离不大于1层米.

19-1、

解:5和7的最小公倍数是35,35+2=37(4-),符合每次取3个最后剩1个的条件,所以这个袋中至少有37个小球至少取4+1=5

个球

答：至少有37个小球，一次至少取5个球可以保证有两个是同色的.

婚:547+6=91......1,

20-1、如果9个同学得91分,走分,不增加1分,就会有分不任于92分.

21-1、

解:5个点最多把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法.把1米长的直尺平均划分成四段，

每一段25®*-把这四段看成四个抽卮.当把五个点随意放入四个抽屉时,根据抽扈原理,一定育一个抽屉里面有两个或两

个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离一定不大于25摩米，所以结论成立.

22-1、

解：把这6个人看作6个点,每两点之间连一球段,两人相互认识的话将送段涂红色,两人不认识的话将线段涂上堇色，那么

只震证明其中有一个同色三角形即可.从这6个点中随意选取一点j，从总引出的5条线段，根据抽屉原理,必有3条的颜色

相同，不妨设有3条线段为红色，它们另外f端点分别为B、C-D.那么这三点中只要有两点比如说B-C之间的线段

是红色，那么.八B、C3点组成红色三角形；如果8、C、£>三点之间的税段都不是红色，目心都是蓝色，这样3、C

.Q3点组成套色三角形，也符合条件.所L国论成立.

解：在1至30中，3的fffi»1?30+3=10(个),不是3的^JTS30-10=20(个),砂则出20+1=21个不同的数.

231、答：至少取出21个不同的K,才量保证箕中T有T«是3的*

24-1、

解：点数为、、、、、、、、的牌各取张，再取大王、小王各张，一

1(A)234.56789.10.11(J)X12(Q)13(K)11

共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同.这样,如果任忠再取1张的话，它的点数必为1~13中的一个,于是有2张点数相

同.

25-1

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解:当抽出50个奇数的时候，耐还是奇数,最多再抽出2张偶数，乘积即可被4台■也就是抽出52个数可以保证乘积

能被4整除.

解:因为42+5=8...2,

8+1=9（环）,

26-1、所以至少有一卷不低于9环.

解:4x2+l=9（A）

27-1、答：至少要有9人借书.

28-1、

解:把5本书一平四成2份”,5+2=2......1,如果每本，瓯1本，fflftTKSl本书,