第六章：计算机的运算方法

第六章计算机的运算方法

6.1无符号数和有符号数4

6.2数的定点表示和浮点表示■

6.3定点运算

6.4浮点四则运算k

6.5算术逻辑单元

6.1无符号数和有符号数

无符号数

机器字长：寄存器的位余

无符号数：寄存器的每位都用于存放数值

机器字长反映无符号数的表示范围

8位0〜255

16位0-65535

有符号数

1.机器数与真值

真值机器数

带符号的数符号数字化的数

+0.1011

小数点的位置

-0.1011

小数点的位置

+1100

小数点的位置

-1100

小数点的位置

2.原码表示法

(1)定义

整数

ro,x2n>x>0

国原=

I2。0>x>T

x为真值〃为整数的位数

如x=+1110[x]原=0/110

用逗号将符号位

丁和数值部分隔开

II

x=-1110［汨原=24+1110=1,1110

带符号的绝对值表示匚一

小数

rx1>x>0

㈤原=Iii

I1-x0>x>1

X为真值I

如x=+0.1101[x]原=0.1101用小数点将符号

‘t-------------位和数值部分隔开

I

x=-0.1101[x]jM=1-(-0.1101)=1.1101

x=+0.1000000凶原=0.1000000用小数点将付节

t-------------位和数值部分隔开

I

X=-0.1000000区原=1-(-0.1000000)=1.1000000

(2)举例

例6.1已知［x］原=1.0011求x-0.0011

解：由定义得一

x=1-国原=1-1.0011=-0.0011

II

例6.2已知［x］原=1,1100求x-1100

解：由定义得--------------

x=24-凶原=10000-1,1100=-1100

例6.3已知R]原=0.1101求x

解：根据定义*/[x]>=0.1101

•e.x=+0.1101

例6.4求x=0的原码

解：设x=+0.0000[+0.0000]原=0.0000

x=-0.0000[-0.0000]原=1.0000

同理，对于整数.[+0]原=0,0000

[-0]原=1,0000

•••[+0]原#[叫原

原码的特点：简单、直观

但是用原码作加法时,、会出现如下问题：

要求数1数2实际操作结果符号

加法正正加正

加法正负减可正可负

加法负正减可力可负

加法负负力口负』

能否只作加法？

找到一个与负数等价的正数来代替这个负数

就可使减——>加

3.补码表示法

(1)补的概念

•时钟逆时针顺时针

-3±9

T15

可见-3可用+9代替减法一＞加法产

称+9是-3以12为模的补数/3

t己彳乍一3三+9(mod12)时钟以

同理-4=+8(mod12)12为模

一5三+7(mod12)

结论

>一个负数加上“横”、即得该负数的补

蓼一个正数和一个负数互为未遂时，它们绝对值之和

即为模数

•计数器(模16)1011—0000?

10111011

—1011.0101

0000段00

可见-1011可用+0101代替『

,,自然去掉\

t已作-1011=+0101(mod24)

同理-011=+101(mod23)

-0.1001=+1.0111(mod2)

(2)正数的补数即为其本身

两个互为补数的数1-1011=+0101J(mod24)

分别加上模+10000+10000

结果仍互为补数+0101=+

+0101=+0101(mo丢掉

可见+0101-^+0101

I-L-ion

?血0101—10101

?|I],0101--1011

24+1—1011=100000

-1011

1,0101

(3)补码定义

整数

0,x2W>x>0

2.1+x0>x>(mod2w+1)

X为真值〃为整数的位数

如x=+1010x=-1011000

［刈补=04010［刈补=27+1+(-1011000)

=100000000

-1011000

用逗号将符号位

和数值部分隔开「1,0101000

小数

rx1>x>0

闵补=

I2+x0>x>4(mod2)

'为真值

如x=+0.1110x=-0.1100000

[刈补=

0.1110[x]#=2+(-0.1100000)

=10.0000000

-0.1100000

用小数点将符号位1.0100000

________I

和数值部分隔开一

(4)求补码的快捷方式

设*=-1010时

则［划补=24+1-1010=11111+1-1010

=100000=mil+1

-1010-1010_

又［x］原

当真值为负时，补码可用原码除符号位外

每位取反，末位加1求得

⑸举例

例6.5已知[刈补=0.0001

求x

解：由定义得X=+0.00叫'I

例6.6已知国补=1.0001国补一国原

求x国原=1.1111

解：由定义得，Ax=-0.1111

X=[x]#-2

=1.0001-10.0000

=-0.1111

例6.7已知国补=1,1110

求x

o

解：由定义得补工国原I

4+1

X=[X]#-2[XQ=1,0010

=1,1110-100000，X=-0010

=-0010

当真值为负时，原码可用补码除符号位外

每位取反，末位加1求得

练习求下列真值的补码

真值

x=+7010001100,10001100,1000110

x=-70=-10001101,01110101,1000110

x=0.11100.11100.1110

x=-0.11101.00101.1110

x—0・0000][+0]补=[-0]补0.00000.0000

x=卜0.00000.00001.0000

不肯廉示

x=-1.00001.0000

x1>x>0

由小数补码定义国补=

2+x0>x>4(mod2)

[-1]补=2+X=10.0000-1.0000=1.0000

4.反码表示法

⑴定义

整数

f0,x2n>x>0

反一

【（2"1-l)+x0>x>2〃(mod2w+1

X为真值〃为整数的位数

如x=+1101x=-1101

［汨反=0/101［刈反=(24+1-1)-1101

=11111-1101

用逗号将符号位=1,0010

和数值部分隔开______t

小数

rxi>x>o

［刈反=1

L(2-2-n)+x0>X>1(mod2”

X为真值〃为小数的位数P

X=+0.1101x=-0.1010

［汨反=0.1101［划反=(2-24)-0.1010

=1.1111-0.1010

用小数点将符号位=1.0101

和数值部分隔开一___t

(2)举例

例6.8已知［刈反=0,1110求x

解：由定义得x=+1110

例6.9已知［刈反=1,1110求x

4+1

解：由定义得x=国反-(2

=191110-11111

=-0001

例6.10求0的反码

解：设x=+0.0000［+0.0000］反=0.0000

x=-0.0000［-0.0000］反=1.1111

同理，对于整数［+0］反=0,0000［-0］反=1」111

・••［+0］反r［划反

三种机器数的小结

A最高位为符号位，书写上用“丁（整数）

或（小数）将数值部分和符号位隔开

＞对于正数，原码=补码=反码

A对于负数，符号位为1,其数值部分

原码除符号位外每位取反末位加1一补码

原码除符号位外每位取反一反码

例6.11设机器数字长为8位（其中一位为符号位）

对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码和

反码时，对应的真值范围各为多少？

无符号数原码对应补码对应反码对应

二进制代码

对应的真值的真值的真值的真值

00000000±0~+0~

000000011+1+1

000000102+2+2

•

1…•

01111111112+127+127

10000000127-128-127

28-0

10000001-1-127-126

29・

・

.：

2+1

111111012253-125-3

111111102254-126-2-1

11111111255-127-1-0

例6J2已知仅］补求小补

解：设M补

vI>［m补=0・一弘…弘

m补连同符号位在内，每位取反，末位加1

即得川补一

［-何补=1防灭…工+2"

<n>［口］补=1・y1^2・•・丁〃

仅］补连同符号位在内，每位取反，末位加1

即得［寸］补

［一.补=0•卜河・••五+2”

5.移码表不法

补码表示很难直接判断其真值大小

如十进制二进制补码

x=+21+101010,10101错

大

x=-21-101011,01011

x=+31+111110,11111错

x=-31-111111,00001大

x+25

+10101+100000=110101大正确

-10101+100000=001011

+11111+100000=111111大正确

-11111+100000=000001

(1)移码定义

［刈移=2〃+x(2n>x>2")

X为真值，〃为整数的应数、

移码在数轴上的表示

移码

如

区移=25+10100=1,10100

x=-101001--------用逗号将符号位

和数值位隔开

国移=2‘—10100=0,01100

(2)移码和补码的比较

设x=+1100100

国移=27+1100100=14100100

区补=0,1100100

设x=-1100100

区移=27—1100100=0,0011100

［刈补=1,0011100

补码与移码只差一个符号位

⑶真值、补码和移码的对照表

国补M移对应的

真值x(〃=5)移十进制整数

-1000001000000000000

-111111000010000011

-11110100010000010\2

•••

■•■•*

-00001111111011111

±00000000000100000r*

+0000100000110000133

+0001000001010001034

•••

■•*■•6：

+11110011110111110

+1111101111111111163

(4)移码的特点

A当x=0时［+0］移=2§+0=1,00000

［一0］移=25—0=1,00000

，［+0］移=［—0］移

»当〃=5时最小的真值为-25=—100000

[—100000]移=25-100000=000000

可见，最小真值的移码为全0

用移码表示浮点数的阶码1

能方便地判断浮点数的阶码大小

6.2数的定点表示和浮点表示

小数点按约定方式标出

、定点表不

SfS1S2…或SfSS2…

数数

数值部分数值部分

符符

小数点位置小数点'位置

定点机小数定点机整数定点机

原码-(1-2”)〜+(1-2~n)—(2〃—1)〜+(2〃—1)

补码-1^+(1-2~n)_2〃~+(2f)

反码-(1-2-n)〜+(1-2~n)_(2〃一1)〜+(2n-l)

浮点表示

N=Sxri数的一般形式

S尾数j阶码〃基数（即）

计算机中r取2、4、8、茄等、

当r=2N=11.0101二二进制表不

/=0.110101X2回了规格化数

=1.10101X21

=1101.01X210

0.00110101X2100

计算机中s小数、可正可负1

j整数、可正可负）

1.浮点数的表示形式

j阶码S尾数

JfjJiSfS1S2

阶数4

阶码的尾数的数值部分

符数值部分符

小数点位置

Sf代表浮点数的符号

其位数反映浮点数的精度

其位数反映浮点数的表示范围

jf和m共同表示小数点的实际位置

2.浮点数的表示范围

上溢阶码,最大阶叫

下溢阶码v最小阶码按机器零处理

上溢上溢

负数区下溢正数区

0

最小负数最大正数

_2（2WM）X（1-2-«）2（2J）X（1—2一〃）

最小正数

-215X（l-2-10）215X（1-2'10）

2-（2J）X2f

2T5X2-10

最大负数设股=4

-2-（2J）x2fn=10

-2-15XV10

练习

设机器数字长为243献表示±3万的十进制

数，试问在保证数的最大精度M前起下，除阶符、数

符各取1位外，阶码、尾数各取几

解：•••214=16384215=32768

/.15位二进制数可反映±3万之间的十进制数］

20XO.xxx•••xxx

I'~访z.

m=4,5,6,…

满足最大精度可取帆=4,n=lS

3.浮点数的规格化形式

r=2尾数最高位为1、

r=4尾数最高2位不全为0、基数不同，浮点数的

r=8尾数最高3位不全为0产化形式不同

4.浮点数的规格化I

r=2左规尾数左移1位，阶码

右规尾数右移1位，阶码加

r=4左规尾数左移2位，阶码减1

右规尾数右移2位，阶码加1

左规尾数左移3位，阶码减1\

r=8

右规尾数右移3位，阶码加1中

基数r越大，可表示的浮点数的范围越大■

基数r越大，浮点数的精度降低

例如：设股=4,n=10,r=2

尾数规格化后面浮点蓼表示范围

1510

最大正数2+U11X0.1\_11_1_111_1_1_1J=2X(l-2-)

10

最小正数21111X0.1000000000=2-15*2-1=2*

9得

最大负数2-1111X(-0.1000000000)=-2-15X=-2-16

vyz\

9个0

最小负数2+uiiX(-041111111111=-215X(l-2-10)

Y

10个1

三、举例

为;13将+嗡写心进定点数、浮点数及在定点

机和浮点机中的机器数形式。其中数值部分均取10位

数符取1位，浮点数阶码取5位"1位阶符）。

解：设*=+嗡■

二进制形式x=0.0010011

定点表示X=0.0010011000

浮点规格化形式X=0.1001100000X210

定点机中四原=四补=［刈反=0.0010011000

浮点机中田原=1,0010;0.1001100000

［刈补=1,1110;0.1001100000

［刈反=1,1101;0.1001100000

例6.14将-58表示成二进制定点数和浮点数，

并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码

为移码、尾数为补码的形式（其他要求同上例）。

解：设x=-58

二进制形式x=-111010

定点表示x=-0000111010

浮点规格化形式x=-(0.1110100000)x2110

定点机中浮点机中

［汨原=1,0000111010［x］原=0,0110;1.1110100000

［x］补=1,1111000110［x］补=0,0110;1.0001100000

［x］反=1,1111000101区反=0,0110;1.0001011111

[%1阶移、尾补=1,0110;1.0001100000

例6.15写出对应下图所示的浮点数的补码

形式。设〃=10,m=4,阶符、数符各取1位。

上溢上溢

负数区下溢正数区

最小负数0I最大正数

最小正数

—2（2J）X（1—2一"）2（2"T）X（1—2-〃）

2-(2"J)X2~n

最大负数

-2-(2"J)x2T

解：真值补码

最大正数215X(l-2-10)04111；o.iiiiiiiiii

最小正数2"15X2"101,0001;0.0000000001

最大负数—2一15X2-101,0001;1.1111111111

最小负数-215X(l-2-10)0,1111；1.0000000001

机器零

＞当浮点数尾数为0时：还论其阶码为何值

按机器零处理

＞当浮点数阶码等于或小于它说表示的最小

数时，不论尾数为何值，按机寤零处理

如股=4n=10

当阶码和尾数都用补码表示时，机器零为

x,xxxx；0.00・・・0

（阶码=T6）1,0000；x.xx…x

当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零为

0,0000；0.00・・・0

有利于机器中“判0”电路的实现

四、IEEE754标准

s阶码（含阶符）尾数

数符小数点位置

尾数为规格化表示

非“0”的有效位最高位为“1"（隐含）

符号位s阶码尾数总位数

短实数182332

长实数1115264

临时实数1156480

6.3定点运算

1移位运算

1.移位的意义

15•m=1500・cm\

小数点右移2位

机器用语15相对于小数点左移2位

（小数点不动）

左移绝对值扩大W

右移绝对值缩小■

在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除运算

2.算术移位规则

符号位不变

设机器数字长为8位（含1位符号位），写出

/=+26时，三种机器数左、右第一位和两位后的表

示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。

解：A=+26=+11010\

则⑷原=［同补=网反=0,0011010

机器数对应的看值

移位操作

[4]原=[4]补=[4]反

移位前0,0011010+26

左移一位0,0110100+52

左移两位0,1101000+104

右移一位0,0001101+13

右移两位0,0000110+6

设机器数字长为8位;会1位符号位），写出

4=-26时，三种机器数左、石移一位和两位后的表

示形式及对应的真值，并分析结询正确性。|

解：/=—26=—11010k

原码移位操作机器数对应的真值

移位前1,0011010-26

左移一位1,0110100-52

左移两位1,1101000-104

右移一位1,0001101-13

右移两位1,0000110-6

补码移位操作机器数对应的真值

移位前1,1100110-26

左移一位1,1001100-52

左移两位1,0011000X-104

右移一位1,1110011-43

右移两位1,1111001-7

反码移位操作机器数对应的真值

移位前1,1100101-26

左移一位14001011-52

左移两位1,0010111-104

右移一位1,1110010-13

右移两位1,1111001-6

3.算术移位的硬件实现

中-口«中曰5曰中曰

0001

------>一

0

（a）真值为正（b）负数的原码（c）负数的补码（d）负数的反码

丢1出错出错正确正确

丢1影响精度影响精度影响精度正确

4.算术移位和逻辑移位的区别

算术移位有符号数的移位

逻辑移位无符号数的移位

逻辑左移低位添o,高位移丢r^-ho

逻辑右移高位添0,低位移丢

例如0101001110110010

逻辑左移10100110逻辑右移01011001

算术左移00100110算术右移11011001（补码）

高位1移丢

01010011司110100117

二、加减法运算

1.补码加减运算公式

(1)加法X.

整数［对补+回补=m+用补(mod2y-，

小数⑷补+回补=因+5］补(mod2)

(2)减法

A-B=A+(-B)

整数［A-用补=［A+(-B)］补=［Z］补+［-用补(mod2n+1)

小数3叫补=［/+(-')］补=3］补+［一耳补(mod2)

连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉

2.举例

例6.18设N=0.1011,5=-0.0101

求3+£]补验证

解:⑷补=0.1011

0.1011

+出]补=1.1011一0.0101

⑷补+田］补0.0110

mlp.0110=[Z+5]补

：.A+0.0110

例6.19设/=—9,B=-5

求［A+B］补验证

解：⑷补,=1,0111

-1001

+出］补,=1,1011+-0101

［同补+田］补-1110

=)11,0010=3+4]补

：.A+=-1110

例620设机器数字长为8位（含1位符号位）

且4=15,5=24,用补码求N—£

解：A=15=0001111

£=24=0011000

[同补=0,0001111田]补=0,0011000

+[——]补=1,1101000\、

网补+[-孙卜=1,1110111=[A-孙卜

：.A-B=-1001=-9

练习1设工=告y=毛，用补码求x+y

x+y=-0.1100=一一错

练习2设机器数字长为8位（含1位符号位）\

且/=—97,B=+41,用补码求力—£

^-5=+1110110=+118错

3.溢出判断

(1)一位符号位判溢出

参加操作的两个数(减法时即邓减数和“求补”

以后的减数)符号相同，其结果法符号与原操作

数的符号不同，即为溢出

硬件实现

最高有效位的进位㊉符号位的进位=1溢出

如"0=1]

卜有溢出

0㊉1=1.

0㊉0=0]

F无溢出

1㊉1=0.

(2)两位符号位判溢出

x1>x>0

［划补，

4+x0>x>-1(mod4)

团补，+m补，=［%+y］补，(mod4)

比一丁］补，=［刈补，+［-川补，(mod4)

结果的双符号位相同未溢出00,xxxxx

11,xxxxx

结果的双符号位不同溢出10夕xxxxx

01fxxxxx

最高符号位代表其真正的符号

4.补码加减法的硬件配置

A、X均〃+1位

用减法标记Gs控制求补逻辑

三、乘法运算

1.分析笔算乘法

71=-0.1101B=0.1011

^XB=-0.10001111乘积的符号心算求得

0.1101

X0.1011符号位单独处理

1101乘数的某一位决定是否加被乘数

1101

?

00004个位积一起相加

1101乘积的位数扩大一倍

0.10001111

2.笔算乘法改进

0.1011

=0.1A+0.00T4+0.00+0.000L4

=0.1A+0.00/+0.001(/+0.L4)

=0.L4+0.01[0-^+0.1(A+0.L4)]

右移一位一=0*1{/+°」[°・/+0・1(力+0・1力)]}

、2”|{4+2“[0•A+2\A+2/(4+0))]}

第一步被乘数z+o

第二步右移一位，得新的部分积②

第三步部分积+被乘数

第八步右移一位，得结果

3.改进后的笔算乘法过程（竖式）

部分积乘数说明

0.0000Ton州态，部分积=0

+0,1101乘数为1,加被乘数

0.1101

0.01101101一1,形成新的部分积

+0.1101乘数为1,加被乘数、

1.00111

0.10011110一1,形成新的部分积

+0.0000乘数为0,加0

0.100111

0.0100mi一1,形成新的部分积

+0.1101乘数为1,加被乘数

1.0001in

0.1000mib得结果

小结

＞乘法运算可用加和移船吸

〃=4,加4次，移4次

＞由乘数的末位决定被乘数是否与原部分积相加，

然后一1位形成新的部分积，同时乘数一1位

（末位移丢），空出高位存放部分积的低位。

＞被乘数只与部分积的高位相加

硬件3个寄存器，具有移位功能

1个全加器

4.原码乘法

⑴原码一位乘运算规则

以小数为例

设[x]原—*()•%遇2X"

m原yn

比•“原=*0㊉%)・(0・Xxx2…居)(0…")

=(网邮))・x*y*

式中x*=0.xrx2•••xw为x的绝对值

y*=0.JM…典，为y的绝对值

乘积的符号位单独处理与㊉外

数值部分为绝对值相乘X*

⑵原码一位乘递推公式

=X*(0JLF2・・•")

=廿。2】+%2-2+...+稣2-，

AA

=2(y1x*+2(y2x*+…2”(p/*+0)•••))

1

z0=0

Zi=2/e/*+zo)

Z2=2-I(F»IX*+ZI)

z”=Aek+zQ

例6.21已知*=snioj；=0.1101求比・切原

、—

解:立15

口数说明

0.00001101部分积初态Zo=O

+0.1110+x*

.1110

逻辑右移

.01110110一1,得©

+0,0000+0

0.01110

逻辑右移

>0.00111011-1,得向

+0.1110+x*

---------.1.000110

逻辑右移

.10001101一1，得Z3

+0.1110

.0110110

逻辑右移

.10110110一1,得Z4

例621结果

①乘积的符号位/㊉外飞㊉0=1

②数值部分按绝对值相乘

=0.10110110

贝I［比•川原=1.10110110

特点绝对值运算

用移位的次数判断乘法是否结束

逻辑移位

⑶原码一位乘的硬件配置