2024年届河北省张家口市普通高中学业水平选择性模拟考试数学试题(含答案)

年普通高中学业水平选择性模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题：对任意的等比数列也是等比数列，则命题的否定为（）A.对任意的非等比数列是等比数列B.对任意的等比数列不是等比数列C.存在一个等比数列，使是等比数列D.存在一个等比数列，使不是等比数列2.已知（是虚数单位），则复数的共轭复数（）A.B.C.D.3.已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则（）A.B.C.D.4.若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（）A.6B.12C.16D.185.记的内角的对边分别为，设向量，若，则（）A.B.C.D.6.已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（）A.B.C.D.7.已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（）A.0B.1C.2D.38.已知分别为双曲线的左､右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列对函数的判断中，正确的有（）A.函数为奇函数B.函数的最大值为C.函数的最小正周期为D.直线是函数图象的一条对称轴10.甲､乙两名同学分别从四门不同的选修课中随机选修两门.设事件“两门选修课中，甲同学至少选修一门”，事件“乙同学一定不选修”，事件“甲､乙两人所选选修课至多有一门相同”，事件“甲､乙两人均选修”，则（）A.B.C.与相互独立D.与相互独立11.如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（）A.四边形是矩形B.平面平面C.平面平面D.直线所成的角与直线所成的角相等三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线在点处的切线过原点，则__________.13.已知圆台的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为的两部分，则该圆台的母线长为__________.14.已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：单位：人市民春节旅游意愿愿意不愿意青年人8020老年人4060（1）根据小概率值的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.（2）从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人作某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为，试求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）已知函数.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）求在区间上的最大值.17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.（1）试判断是否为正三角形，并给出证明；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程.（2）若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；（ii）当的面积等于时，试把表示成的函数.19.（17分）如果项数相同的数列满足，且为奇数时，为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和.（1）若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对".（2）当为“互补交叉数列”时，（i）证明：取最大值时，存在；（ii）当为偶数时，求的最大值.数学参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以存在一个等比数列，使不是等比数列.故选D.2.B【解析】由题意得，所以.故选B.3.A【解析】由题易得，所以.故选A.另：角为第二象限角，，不妨令，则.故选A.4.C【解析】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，，当且仅当时等号成立.故选C.5.C【解析】由得，由正弦定理得.因为中，所以.又，所以，即.故选C.6.A【解析】内层函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增.故选A.7.D【解析】由题意知的最大值等于12，则圆与圆相内切，所以.又，所以.故选D.8.B【解析】由题意可得，且，所以在中，由余弦定理得，.因为，所以，平方化简整理得，.又，所以，即，所以，得，则.故选B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD【解析】因为，所以为偶函数，故选项不正确.因为，所以的最大值为，最小正周期为，函数图象的对称轴为，故选项B，C，D正确.故选BCD.10.AC【解析】因为，故选项正确，错误；因为，所以与相互独立，与不相互独立，故选项C正确，错误.故选AC.11.ACD【解析】在平行六面体中，由得，四边形为矩形，选项正确；假设平面平面，因为平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，与四边形为正方形矛盾，故选项错误；由四边形是正方形，得，因为，所以.又因为，所以平面，又平面，所以平面平面，选项C正确；因为四边形为矩形，所以，又正方形中，是公共边，所以，所以，又，所以分别为直线所成的角与直线，所成的角（或其补角），由，知选项正确.故选ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解析】因为，所以，所以在点处的切线方程为.又切线过原点，则，所以.13.5【解析】设圆台的上､下底面圆的半径分别为，因为中截面的半径为3，所以.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为的两部分，所以，解得，所以.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为.14.【解析】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，得，两式相减得，所以.因为当时，由，得，当时，由，得.又，所以成首项为0､公差为1的等差数列，所以，所以的中位数为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）零假设：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关.依题意，得单位：人市民春节旅游意愿合计愿意不愿意青年人8020100老年人4060100合计12080200所以.根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.（2）从样本中按比例分配选取10人，则青年人愿意出游､青年人不愿意出游､老年人愿意出游､老年人不愿意出游的人数分别为，再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数的所有可能取值为.且，即的分布列为01234所求数学期望为.16.解：（1）当时，，则，解可得（舍去）或.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，函数的极大值为，没有极小值.（2）由题意得.若，当时，在区间上单调递增，此时的最大值为若，当时，单调递增，时，单调递减，此时的最大值为；若，则，当时，单调递增，时，单调递减，此时的最大值为；若，则，当时，在区间上单调递增，此时的最大值为.综上，17.解：（1）为正三角形.证明如下：如图，设，连接.因为为的中点，所以四边形均为菱形，所以，所以.因为平面平面，所以.因为，所以平面，所以平面.又平面，所以.又易知为的中点，所以.因为平面平面，所以，所以，所以为正三角形.（2）由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角，所以，所以，所以.因为均为正三角形，所以，所以，所以.又，所以平面.又，所以以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.令，则，所以.设平面的法向量为，则，得令，则，所以平面的一个法向量.由平面，得是平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.（1）解：由题意得，.设，则，化简整理得，所以动点的轨迹的方程为.（2）（i）证明：设，联立整理得，则，得，且，同理.设的中点分别为，则，由题意可知存在实数，使，所以三点共线，即点在定直线上.（ii）解：由（i）得，，同理，设的底边上的高为，梯形的高为，则由相似比得，解得.所以的面积.又，所以.整理得，所以，即.19.（1）解：，且时，满足条件的“互补交叉数列对”分别为.（2）（i）证明：若取最大值时，存在，使.由题意知为奇数，不妨设.①若存在为偶数），使得，则让的值变为初始的值，让的值变为，这样所得到的新数列也是“互补交叉数列”