山东省济宁市任城第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省济宁市任城第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知双曲线的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，最后由离心率公式即可得到所求值．【详解】解：双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为，将直线代入圆的方程，可得（负的舍去），，即有，又，，由于，轴，则，即有，则离心率故选：B．3.设全集，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：,故选A.考点：集合的运算.4.定义在R上的函数满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若正数a，b满足f（2a+b）<1，则的取值范围是

A．（）

B．（

C．

D．（参考答案：C5.函数的零点所在的一个区间是（）（A）（-2，-1）（B）（-1，0）

（C）（0，1）（D）（1，2）参考答案：B6.设为全集，对集合，定义运算“”，满足，则对于任意集合，

A．

B．

C．

D．参考答案：

D7.如图（1），把棱长为1的正方体沿平面和平面截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（

）A． B． C． D．参考答案：B8.定义在上的奇函数对任意都有，当时，，则的值为（

）A.-

B.

C.2

D.-2参考答案：A9.已知，则复数是虚数的充分必要条件是

（

）A.

B.

C.

D.且参考答案：C【知识点】复数的意义；充要条件.

L4

A2解析：根据虚数的定义：复数（），当时，是虚数.故选C.【思路点拨】根据虚数的定义得结论.10.三个数a=（）﹣1，b=2，c=log3的大小顺序为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，1=20＜b=2＜2，c=log3，c=log3＜=0，∴c＜b＜a．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列{an}中，已知a1+a2=1，a3+a4=2，则a9+a10=

．参考答案：16．【分析】由{an}是等比数列，可得a1+a2，a3+a4，…，a9+a10构成等比数列，再由等比数列的通项公式求解．【解答】解：在等比数列{an}中，由a1+a2=1，a3+a4=2，可得a9+a10=（a1+a2）×24=1×24=16．故答案为：16．12.已知向量满足，，，则向量夹角的余弦值为

．参考答案：设向量的夹角为θ，由题意结合数量积的定义有：，据此可得：.故答案为：．

13.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，现给出以下命题：①若，则可以取3个不同的值

②若，则数列是周期为的数列③且，存在，是周期为的数列④且，数列是周期数列。其中所有真命题的序号是参考答案：（1）（2）（3）

.略14.（5分）（2015?安徽三模）已知锐角α，β满足3tanα=tan（α+β），则tanβ的最大值为．参考答案：考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正切公式化简可得tanβ==，再利用基本不等式求得它的最大值．解答：解：∵已知锐角A，B满足tan（α+β）=3tanA，∴tanα＞0，tanβ＞0，且，化简可得tanβ==≤=当且仅当时，取等号，故tanβ的最大值为．故答案为：点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，利用基本不等式求式子的最大值，属于中档题．15.在三棱锥P—ABC中，△ABC是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=，则点P到平面ABC的距离为

；若P，A，B，C四点在某个球面上，则球的半径为

.参考答案：6；416.已知函数，若函数恰有3零点，分别为，则的值为

参考答案：17.已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是，当曲线表示双曲线时k的取值范围是

．参考答案：﹣1或2；k＜﹣1或k＞2；0＜k＜1．【考点】曲线与方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用曲线表示圆、焦点在y轴上的椭圆、双曲线建立k的不等式，即可求得k的取值范围．【解答】解：当曲线表示圆时，2=k2﹣k，∴k=﹣1或2；当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2﹣k＞2，∴k＜﹣1或k＞2；当曲线表示双曲线时，k2﹣k＜0，∴0＜k＜1．故答案为：﹣1或2；k＜﹣1或k＞2；0＜k＜1．【点评】本题考查曲线表示圆、焦点在y轴上的椭圆、双曲线的条件，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）在正三棱柱中，底面三角形ABC的边长为,侧棱的长为，D为棱的中点。①求证：∥平面②求二面角的大小③求点到平面的距离。参考答案：向量解法1）略

2）

3）19.以抛物线Γ的顶点为圆心，为半径的圆交Γ于A、B两点，且AB=2（1）建立适当的坐标系，求Γ的方程；（2）若过点A且与Γ只有一个公共点的直线交Γ的对称轴于点C，点D在线段AB上，直线CD与Γ交于P、Q两点，求证：PC?QD=PD?QC．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】方法一：（1）由点到直线的距离公式，即可求得O到直线AB的距离，建立直角坐标系，求得A点坐标，代入即可求得Γ的方程；（2）求导，求得切线方程，代入求得C点坐标，设直线CD的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，及==，则==，作差即可求得=，即可证明PC?QD=PD?QC；方法二：由点到直线的距离公式，即可求得O到直线AB的距离，建立直角坐标系，求得A点坐标，代入即可求得Γ的方程；（2）设切线AC的方程，求得C点坐标，设直线CD方程，求得D点坐标，丨PC丨?丨QD丨=丨PD丨?丨QC丨，只需证y1?（y2﹣2k）=（2k﹣y1）?y2，将直线方程代入抛物线方程即可利用韦达定理即可证明等式成立；方法三：（1）同方法一，（2）求导，求得切线方程及C点坐标，设D（x0，1）及直线CD的方程，分别表示出，，利用韦达定理即可求得﹣=0，证明PC?QD=PD?QC；方法四：（1）同方法一，（2）求导，求得切线方程及C点坐标，设D（，1）及直线CD的方程，分别表示出，，利用韦达定理即可求得﹣=0，证明PC?QD=PD?QC；【解答】解：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由AB=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与x轴，Γ的对称轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的左侧，则A（﹣1，1），B（1，1），设抛物线Γ的方程为x2=2py，（p＞0）由A在抛物线上，代入（﹣1）2=2p，p=，∴抛物线方程x2=y；（2）证明：由（1）可知：抛物线方程为y=x2，则y′=2x，由直线l与抛物线只有一个交点，且与y轴交于C，则直线l为抛物线的切线，则切线的斜率k=y′丨x=﹣1=﹣2，则直线l的方程y﹣1=﹣2（x+1），令x=0，解得：y=﹣1，故C（0，﹣1），设直线CD的方程：y=kx﹣1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则，整理得：x2﹣kx+1=0，由△=k2﹣4＞0，解得k＜﹣2或k＞2，x1+x2=k，x1x2=1，将y=1代入y=kx﹣1，解得：x=，即D（，1），不妨设C，P，D，Q自上而下顺序排列，由题意可知，x2≠0，且x2﹣≠0，则==，则==，由x1（x2﹣）﹣x2（﹣x1+）=2x1x2﹣（x1+x2）=2﹣×k=0，则=，即=，∴PC?QD=PD?QC．方法二：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由丨AB丨=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与y轴，Γ的对称轴所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的上方，则A（1，1），B（1，﹣1），设抛物线Γ的方程为y2=2px，（p＞0）由A在抛物线上，代入12=2p，p=，∴抛物线方程y2=x；（2）证明：由直线l与抛物线只有一个交点，且与x轴交于C，则直线l的抛物线的切线，设l的方程x﹣1=m（y﹣1），则，整理得：y2﹣my+m﹣1=0，则△=（﹣m）2﹣4（m﹣1）=0，解得：m=2，则直线l方程x﹣2y+1=0，令y=0，x=﹣1，则C（﹣1，0），由直线CD与抛物线有两个交点，则设CD方程为：y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由直线AB的方程为x=1，则D（1，2k），丨PC丨?丨QD丨=（1+）丨y1丨丨y2﹣2k丨=（1+）?y1?（y2﹣2k），丨PD丨?丨QC丨=（1+）丨2k﹣y1丨丨y2丨=（1+）?（2k﹣y1）?y2，由证：丨PC丨?丨QD丨=丨PD丨?丨QC丨，只需证y1?（y2﹣2k）=（2k﹣y1）?y2，即证y1y2﹣k（y1+y2）=0，将x=y﹣1，代入y2=x，整理得：y2﹣+1=0，由△=﹣4＞0，解得：﹣＜k＜0或0＜k＜，y1+y2=，y1y2=1，∴y1y2﹣k（y1+y2）=1﹣k×=0，∴PC?QD=PD?QC；方法三：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由AB=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与x轴，Γ的对称轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的左侧，则A（﹣1，1），B（1，1），设抛物线Γ的方程为x2=2py，（p＞0）由A在抛物线上，代入（﹣1）2=2p，p=，∴抛物线方程x2=y；（2）证明：由（1）可知：抛物线方程为y=x2，则y′=2x，由直线l与抛物线只有一个交点，且与y轴交于C，则直线l为抛物线的切线，则切线的斜率k=y′丨x=﹣1=﹣2，则直线l的方程y﹣1=﹣2（x+1），令x=0，解得：y=﹣1，故C（0，﹣1），设D（x0，1），﹣1＜x0＜1，且x0≠0，则直线CD的方程y=x﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），不妨设C，P，D，Q自上而下顺序排列，由直线CD的方程为y=x﹣1，则==，则==，，整理得：x0x2=2x+x0=0，则△=4﹣4x02＞0，x1+x2=，x1x2=1，﹣===0，∴PC?QD=PD?QC．解法四：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由AB=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与x轴，Γ的对称轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的左侧，则A（﹣1，1），B（1，1），设抛物线Γ的方程为x2=2py，（p＞0）由A在抛物线上，代入（﹣1）2=2p，p=，∴抛物线方程x2=y；（2）证明：由（1）可知：抛物线方程为y=x2，则y′=2x，由直线l与抛物线只有一个交点，且与y轴交于C，则直线l为抛物线的切线，则切线的斜率k=y′丨x=﹣1=﹣2，则直线l的方程y﹣1=﹣2（x+1），令x=0，解得：y=﹣1，故C（0，﹣1），设直线CD的方程：y=kx﹣1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），D（，1），不妨设C，P，D，Q自上而下顺序排列，由题意可知，x2≠0，且x2﹣≠0，则==，则==，则，整理得：x2﹣kx+1=0，由△=k2﹣4＞0，解得k＜﹣2或k＞2，x1+x2=k，x1x2=1，=丨丨=丨丨=，∴=．∴PC?QD=PD?QC．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，导数的几何意义，本题方法很多，选择合适的坐标系及适当的解法，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．20.已知函数，。（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值；（III）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围。参考答案：【知识点】导数的应用B12（I）单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+∞)；（II）；（III）b＜-e.（I）因为，所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+∞)；（II）若函数在区间上是减函数，则在区间(1,+∞)上恒成立，令，所以；（III）若函数恰有两个零点，则有两个不同的实数根，令，所以函数h(x)在(0,+∞)上有最小值，即，当x大于零趋近于零时，h(x)趋近于零，当x趋向于+∞时h(x)趋向于+∞，所以b＜-e.【思路点拨】一般遇到由函数的单调性求参数范围问题，通常转化为不等式恒成立求函数的最值问题进行解答.21.（本题满分15分）如图，在四面休ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，(Ⅰ)求证：AC⊥BD；(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C－AD－B的余弦值。

参考答案：（I）证明（方法一）：∵，，．∴．

∴．………2分取的中点，连结，则，．………………3分又∵，……4分平面，平面，∴平面，……5分∴………………6分（方法二）：过作⊥于点．连接．…1分∵，，．∴．∴⊥．…3分又∵，……4分平面，平面，