湖南省益阳市东山乡中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省益阳市东山乡中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B． C．5 D．参考答案：B【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论．【解答】解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S==；故选：B．【点评】本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述．2.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，

故选.3.函数的图象的交点个数为

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C4.若一个球的半径为1，则它的表面积是（）A．4π B．2π C．π D．参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】直接利用球的表面积公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π?12=4π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．5.设奇函数在上是增函数，且，若对所有的都成立，当时，则的取值范围是（

）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C6.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于A.

B.

C.

D.4参考答案：C因为，所以，所以，选C.7.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件可以是A、7B、7C、8D、8参考答案：Dk=0,s=0,设满足的条件为P.圈数条件Pks1满足21/22满足43/43满足611/124满足825/24可以得出：k=2，4，6时满足条件，8时不满足条件,∴k<88.已知，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是(

)A．[2，+∞） B． C． D．[1，2]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，即有实数t的取值范围是[1，2]．故选D．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．10.已知集合，则（

）A．(0,3]

B．[3,π)

C．[－1,π)

D．[－1,0)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，且，则在上的投影为．参考答案：﹣【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、投影的计算公式即可得出．【解答】解：∵，∴=+（﹣5，1）=（﹣4，2）．∴=（﹣2，1）．则在上的投影为．故答案为：．12.已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为

参考答案：13.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48ai=5M，则i=．参考答案：6【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，则，解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M==15，因为48ai=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案为：6．14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(1.5)＝________.参考答案：2.515.若一个棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球的球面上，则此球的表面积为．参考答案：12π【考点】球的体积和表面积．【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可．【解答】解：设正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2，就是球的直径，∴球的表面积为：S2=4π（）2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的体积表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是中档题．16.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数t（天）34567繁殖个数y（千个）2.5m44.56及y关于t的线性回归方程，则实验数据中m的值为

．参考答案：3【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．【解答】解：∵=5，=，∴这组数据的样本中心点是（5，），∵关于y与x的线性回归方程，∴，=0.85×5﹣0.25，解得m=3，∴m的值为3．故答案为3．【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．17.(07年全国卷Ⅱ文)已知数列的通项，则其前项和

．参考答案：答案：解析：已知数列的通项，，则其前项和=．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、“小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．参考答案：(I)由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.则答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.................................4分(Ⅱ)可能取值有2,

2.5，3,

3.5，4；

；；

................................................................................................................9分甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为

....................................................................................11分所以.....................................12分19.

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线经过点P(1,1),倾斜角．（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．参考答案：解：（I）直线的参数方程是．----------------（5分）（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为．圆化为直角坐标系的方程．以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到

①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．所以|PA|·|PB|=|t1t2|＝|－2|＝2．

-----------------（12分）20.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.参考答案：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，的可能值为0，1，2，3.从而，，，.所以的分布列为：故的数学期望.（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.21.若数列的前项和为，对任意正整数都有记．（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，数列的前项和为，证明:对于任意的,都有．参考答案：解：（Ⅰ）由，得，解得．

，得，解得．

（Ⅱ）由

……①，

当时，有……②，

①－②得：，数列是首项，公比的等比数列，．（Ⅲ）证明:由（2）有.. 略22.（14分）已知f（x）=x（x﹣a）．（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，求a的最小值．参考答案：【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点．【专题】计算题；分类讨论；构造法；函数的性质及应用．【分析】（1）分情况讨论f（x）在[0，1]上的单调性，令fmin（x）=﹣3，求出a的值；（2）令g（x）=0解出a=x﹣，求出右边函数的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣．∵当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，∴①当≤0即a≤0时，fmin（x）=f（0）=0，不符合