初中数学华东师大八年级上册第11章 数的开方华东师大版八年级数学上教案

第12章数的开方

12.1平方根与立方根（1）

知识技能目标

1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学

生辩证唯物主义观点；

2.从求二次幕的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；

3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；

4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识.

教学重点与难点

通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平

方根。

教学过程

一、创设情境

问题1要剪出一块面积为25cm?的正方形纸片，纸片的边长应是多少？

问题2已知圆的面积是16"cm2,求圆的半径长.

（学生探索，回答问题）

二、探究归纳

问题1解设正方形纸片的边长为xcm,依题意有：『=25,

求出满足『=25的x值，就可得正方形纸片的边长.

因52=25,（-5）2=25,故满足理=25的x的值可以是5,也可以是一5,但正方形边长只能取正值.所以x=5.

答正方形纸片的边长为5cm.

这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25.

问题2解设圆的半径为〃cm,依题意有：

〃届16万,即#=16,

求出满足心=16的公的值即可求出圆的半径.

因42=16,（—4）2=16,故满足用=16的分的值为4或一4,但圆的半径只能取正值.所以数々=4.

答圆的半径为4cm.

这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16.

刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：己知某数的平方，要求这个数.用式子来

表示就是如果/=a,求x的值.

概括如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根（square加。力（也叫a的二次方根）.

三、实践应用

例1求100的平方根.

解因为1()2=100,(-10)2=100,除了10和一10以外，任何数的平方都不等于100,所以100的平方根是

10和-10,也可以说，100的平方根是±10.

学生试一试：

(1)144的平方根是什么？(2)0的平方根是什么？

(3)上的平方根是什么？(4)—4有没有平方根？为什么？

25

请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答.与同学交流，你发现了什么？

1.平方根的性质：

问(1)正数的平方根是什么？.

问(2)0的平方根是什么？

问(3)负数有平方根吗？为什么？

请同学概括数的平方根的性质.

2.一个非负数a的平方根的表示法.

3.开平方.

求一个数a(a20)的平方根的运算，叫做开平方.

例2将下列各数开平方：(1)49,(2)1.69.

分析开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决.

例3下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由.

(1)-64；(2)0；(3)(-4)2.

四、作业P41

教学反思：

12.1平方根与立方根(2)

知识技能目标

1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨

论算术平方根的概念及其表示方法；

2.对于表示的算术平方根中的a的条件和标的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a>0)的

正方形的边长为笈，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；

3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生

尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中.

教学重点与难点

1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法：

2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；

3.用计算器求一个非负数的算术平方根.

教学过程

一、创设情境

1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？

2.0.49的平方根记作__=____；

3.的正的平方根记作=；

36

4.说出平方根的概念和性质.

二、探究归纳

1.算术平方根：

9的平方根是,9的正的平方根是,、何=3表示的意义是什么？

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.记作、石，读作“a的算术平方根”.

这里应强调两点：

(1)这里的石不仅表示开平方运算，而且表示正值的根.

(2)这里右中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的.

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0.即、历=0.从以上可知，当a是正数或是0时，

6表示a的算术平方根.

例1求100的算术平方根.

解因为102=100,

所以100的算术平方根是10.即J面=10.

例2求下列各数的平方根和算术平方根：

7

(1)36；(2)2.89；(3)1-.

9

(3)因为土旧=土椁所以旧=(.

例3求下列各式的值:

⑶±,4一2||

(1)7625;

(4)V252-242-J32+42；(5).20---V036--V900.

V435

2.用计算器求一个非负数的算术平方根.

例4用计算器求下列各数的算术平方根：

(1)529；(2)1225；(3)44.81.

三、实践应用

1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？

-；正0.3；[(-0.3)2.(0.3)2.

2.求下列各数的平方根和算术平方根：

121；0.25；400；0.01；,1；1—44；0.

256169

3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：

4.用计算器计算：

(1)7676；⑵J27.8784:⑶,4.225(精确到0.01).

四、作业P43P74

教学反思:

12.1平方根与立方根(3)

知识技能目标

1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及

立方根的求法；

2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区

别；

3.渗透特殊——一般—特殊的思想方法.通过特例研究等式/工=>0),运用归纳的思想方法，

让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根.

教学重点与难点

L掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；

2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；

3.会用计算器求数的立方根.

教学过程

一、创设情境

计算下列各题：

23,(—2)3,03,0.43,(-0.4)3.

强调指出上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a3=x.其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可

为负数，也可是零；x叫做a的三次基，同样可为正数，可为负数，也可是零.这种运算是乘方运算，是已知底

数、指数，求累的运算.

问题现有一只体积为216co?的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？

解设正方体纸盒的棱长为xcm,则

V=216,

因为6：'=216,所以x=6.

答正方体的棱长应为6cm.

二、探究归纳

问这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？

答已知乘方指数和3次累，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”.即/=a,a是已知数，求x.

1.立方根的概念：

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).

试一试

(1)27的立方根是什么？(2)—27的立方根是什么？

(3)0的立方根是什么？

请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答.

2.立方根的表示方法：

3.开立方：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立

方运算来求.

三、实践应用

例1求下列各数的立方根：

Q

(1)——；(2)-125；(3)-0.008；(4)0.

27

根据上述练习提问：

(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？。的立方根是什么？

启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较.

方戒、正数零负数

有两个互为相反数

平方根零的平方根是零没有平方根

的平方根

立方根有一个正的立方根零的立方根零有一个负的立方根

(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？

例2用计算器求下列各数的立方根：

(1)1331；(2)-343；(3)9.263.

分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键.若被开方数为负数，“一”号的输入可以

按［O,也可以按E1

四、作业P71.2.5

教学反思：

12.2实数与数轴(1)

知识技能目标

1.了解实数的意义，能对实数进行分类；

2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；

3.会比较两个实数的大小.

教学重点与难点

1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点，从而认识到实数和数轴上的

点---对应；

2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小.

教学过程

一、创设情境

1.做一做：(1)用计算器求血；(2)利用平方关系验算所得结果.

这里，我们用计算器求得收=1.414213562,再用计算器计算1.414213562的平方,结果是1.999999999,并不

是2,只是接近2.这就是说，我们求得的行的值，只是一个近似值.

2.如果用计算机计算血，结果如何呢？

阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2,也就是说，V2不是有理数.那

么，、历是怎样的数呢？

二、探究归纳

1.回顾有理数的概念.

(1)有理数包括整数和分数；

(2)任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数.

2.无理数的概念.

与有理数比较，、历计算结果是无限不循环小数，所以及不是有理数.类似地，追、圆周率"等也都不是有

理数，它们都是无限不循环小数.

无限不循环小数叫做无理数

有理数和无理数统称为实数

三、实践应用

1.试一试：你能在数轴上找到表示血的点吗？

如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容

易知道，这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长为血.

这就是说，边长为1的正方形的对角线长是拉，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示右的点，如图

所示：

0172X

例1试估计有+及与〃的大小关系.

提问：若将本题改为“试估计一(百+&)与一〃的大小关系”，如何解答？

例2如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么

数轴被填满了吗？

四、作业P111.2.3

教学反思:

12.2实数与数轴(2)

知识技能目标

1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用；

2.能利用运算法则进行简单运算.

教学重点与难点

有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种

知识的迁移.

教学过程

一、创设情境

1.复习提问：

(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律.

(3)平方差公式？完全平方公式？

(4)有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？

二、探究归纳

在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用.

三、实践应用

例1计算：^-|2V3-3A/2|(结果精确到0.01).

解用计算器求得2/5—3&七-0.778539072,

于是2行一3后|七0.778539072,

所以^一上若一37勺比1.570796327-0.778539072

=0.792257255

四作业

1.借助计算器计算下列各题：

(1)V11-2；(2)71111-22；

⑶7111111-222；(4)Vil111111-2222.

仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法.并用所发

现的规律直接写出下面的结果：

1…1-22…2=.

2002个1001个

小结与复习

教学目标

1、进一步巩固实数的开方的有关概念。

2、进一步巩固实数的运算法则和运算定律。

3.进一步巩固用估算方法来比较两数的大小，利用结算方法求无理数的范围。

教学过程

一、复习数的开方的有关概念和开方运算

让学生阅读数的开方的相关内容并回答以下问题：

1.什么叫平方根、算术平方根、立方根？

2.开方运算和乘方运算有什么联系?举例说明.

练习：P21页复习题1

2.用计算器求下列各式的值：

一.56169y]0.00067054839.418.9

3.一个圆柱的体积是10m：',且底面圆的直径与圆柱的高相等，求这个圆柱的底面半径(II取3.14,结果保

留2个有效数字)。

二、复习估算法

问题1：你在生活中使用过估算的方法吗?举例说明。

问题2：你能比较下列各组里两个实数的大小吗？

(1)-R,-3.1415926(2)4，54

问题3：你能计算：n+Vio-1-273(结果精确到o.oi)吗？

三、复习实数的有关概念

问题1:什么叫做无理数?什么叫做实数？

（无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数）

问题2：实数可以怎样分类？

1.按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、0；

2.按有理数、无理数分类。

问题3：你能在数轴上找到表示镜的点吗？

问题4：无理数与数轴上的点一一对应吗？

问题5：有理数与数轴上的点一一对应吗？

问题6：实数与数轴上的点一一对应吗？

练习：P22页复习题5、6。

五、知识结构图

让学生表述自己对本章学习内容的理解，通过对本章内容归纳总结，引导学生建立知识结构图:

六、作业

P15页复习题3,4,5

教学后记

教学反思:

第十三章整式的乘除

13.1.1同底数幕的乘法

教学目标：

知识与技能目标：

1、巩固同底数嘉的乘法法则，学生能灵活地运用法则进行计算；

2、了解同底数幕乘法运算性质，并能解决一些实际问题；

3、能根据同底数基的乘法性质进行运算(指数指数字)

过程与分析目标：

1、经历探索同底数嘉的乘法运算的过程，进一步体会哥的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；

2、在了解同底数幕的乘法运算的意义的基础上，“发现”同底数幕的乘法性质，培养学生观察、概括和抽

象的能力；

3、能用字母式子和文字语言表达这一性质，知道它适用于三个和三个以上的同底数幕相乘。

情感与态度目标：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力。

教学重点：熟悉同底数罂的乘法性质、基的意义和乘法运算律等内容

教学难点：区分幕的意义与乘法的意义，发展学生的推理能力和有条理的表达能力。

教学过程：

一、创设情境，激发兴趣

某地区在退耕还林期间，有一块长m米，宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米，用不同的方法表示

这块林区现在的面积便可以得到一个等式

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

提出问题：

1、扩大后的林区面积是多少？

2、你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？

教师活动：操作投影仪，引导，启发。

学生活动：观察，主动探索，回答。

教学方法和媒体：投影显示创设情境，讨论，交流。

二、回顾

1、什么叫做乘方？

2、表示的意义是什么？

三、计算观察，探索规律

做一做：(1)23X24=(2X2X2)X(2X2X2X2)=2()

(2)53X54==5()

(3)a3*a5=____________

提出问题：(1)这几道题目有什么共同特点？

(2)请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？

教师活动：提出问题，引导规律。

学生活动：书面练习，讨论，探究，回答。

教学方法与媒体：投影显示：“做一做”的题目，合作交流。

即：同底数幕相乘，通过利乘方的意义推导出：底数不变，指数相加，概括出幕的第一个运算法则。(可让

学生自行概括)

四、举例应用。

例1：计算：

(1)103X10'；(2)a•a3(3)a•a3*a5(4)x»X2+X2(#^)

思路点拨：

(1)计算结果可以用事的形式表示。如103x1()4=107,但是如果计算较简单也可以计算出得数。

(2)注意a是a的一次方，提醒学生不要漏掉这个指数1,，+一得2X2,提醒学生应该用合并同类项。

五、随堂练习，巩固新知课本P19页练习1、2.

教师活动：引导、巡视。

学生活动：自主合作学习。

教学方法：合作交流，自主探究。

六、作业布置课本第23页习题13.1第I题。

教学反思:

13.1.2幕的乘方

教学目标：

知识与技能目标：使学生掌握幕的乘方法则，并能运用式子表示。

过程与分析目标：经历自主探索、让学生明确基的乘方法则是依据乘方的意义和同底数基的乘法法则推导而来

的，学会运用法则进行累的乘方运算。

情感态度与价值观：培养学生数学符号感，和勇于建构的精神。

教学重点：

重点：幕的乘方法则的应用

教学难点：

事的乘方与同底数基的乘法运算性质区别，发展推理能力和有条理的表达能力。关键是利用教材内容安排的

特点，把幕的乘方的学习与同底数基的乘法紧密结合起来。

教学过程：

一、回顾

1、什么叫做乘方？什么叫募？

2、口述暴的乘法法则。

二、计算观察，探索规律

做一做：根据乘方的意义及同底数累的乘法填空：

⑴(23)2=23X23=2()；

⑵(32)3=32X32X32=3()；

(3)(a3)4=a3>a3«a3*a3=a*)；

提出问题：

(1)同学们通过上述这几道题的计算？观察一下，这几道题目有什么共同特点？

(2)请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？

教师活动：组织学生进行思考与交流，让学生通过讨论、争议、探求出规律。

学生活动：书合作学习。

教学方法：合作探究

(323X26

2)=2=2，伊)3=32X3=26,卜3)4=产=。12。

提出问题：根据上述的探索所得的规律，完成下面的填空：("")"=[)

概括：

n个

mmmm+mm

(am)n=(a-a........a)=a+-+=amn

有(a"‘)"="""(m、n为正整数)

教师活动：提出问题，引导、启发。

学生活动：自主探索、讨论、回答。

教学方法：合作交流。

三、举例应用：

例2计算：(1)(103)5；(2)(b3)4

解：(1)(IO3)5=103x5=W15

(2)(b3)4=b3x4=b12

四、随堂练习，巩固新知

1、P74练习1、2题。

2、补充练习：一一・*2.(1)3+%10

五、作业布置：P23习题13.1第2、3题。

教学反思:

13.1.3积的乘方

教学目标：

知识与技能目标：理解掌握和运用积的乘方法则。

过程与分析目标：经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以

及同底数累的运算法则推导而得来的。理解积的乘方的运算法则，进一步体会幕的意义，发展推理能力和有条理

的表达能力。

情感态度价值观：培养学生类比思想，通过对三个幕的运算法则的选择和区别达到领悟的目的，同时体会

数学的应用价值。

教学重点：积的乘方法则的理解与应用。

教学难点：

弄清累的运算的根据，避免各种不同运算法则的混淆。突出幕的运算法则的基础性，注意区别与联系。

教学过程：

一、回顾与思考

1、口述同底数基的运算法则。

2、口述塞的乘方运算法则。

3、计算：(1)(%4)3(2)a»a2(3)x4

二、计算观察，探索规律

做一做：(1)(ab)2=(ab),(ab)=(aa)•(bb)=a(办)

(2)(a/?)—==a(办)

(3)(a.y===a()0()

提出问题：(1)同学们通过上述这几道题的计算、观察一下，你能得到什么规律？(2)如果设n为正整

数，将上述的指数改成n即：其结果是什么呢？

教师活动：提出问题，引导，启发。

学生活动：计算、观察、讨论、回答。

教学方法与媒体：投影显示问题，学生自主探索，讨论交流。

三、举例应用

例3计算：

32

(1)(2b)③；(2)(2xa)

(3)(-a)3；(4)(-3x)4

解：

(1)(2b)3=23b3=8b3；

322326

(2)(2xa)=2X(a)=4xa

(3)(—a)3=(—1)3«a3=：—a3

(4)(-3x)4=(-3)4«x4=81x4

教师活动：组织、讲例、提问

学生要求：口答、板演。

教学方法：讲议结合，讨论交流。

四、随堂练习，巩固提高：P75页练习1、2题。

教师活动：巡视、关注中等水平学生和中下水平学生。

五、全课小结，提高认识

积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数)，使用范围：底数是积的乘方。方法：把积的每个因式分别乘方,

再把所得的基相乘。

六、作业P23页习题13.1第4、5题。

教学反思：

13.1.4幕的运算巩固练习

教学目标：

知识与技能目标：使学生对同底数幕的乘法、幕的乘方、积的乘方有一个正确的理解，注意它们的区别。

过程与分析目标：经历自主、合作探索、获得累的运算的各种感性的认识，百而在理性上获得运算法则。

情感与态度目标：培养学生主动建构、辩析是非的能力，同时形成一定的思维批判性。

教学重点：

教学中应把这三个运算法则探索过程作为重点。

教学难点：

正确使用这三个幕的运算法则。

教学关键：

对三个塞的运算法则的理解和区分。

教学过程：

一、回顾

4、口述累的三个运算法则：

5、这三个募的运算法则有什么联系和区别？

二、参与其中，主动探究

例1：计算一一•(―x)2•(-/丫―2丫。

解：略

例2：下列计算错在哪里？并加以改正：

(1)(xy)&/

(3)(-7/)2=-49/

(5)炉・/=/。

例3计算・(为3,2)3

解法一：(x3y2)-«(x3y2y解法二：(x3y2)-(x^2)3

96=QW)2+3

=/y4>%y

_6+94+6—y

-xry

=x'5y'°=x,5y10

三、随堂练习

计算：

2、23n-33n+,

4、M3

6、(-々Z?2cI”

7、L—河小―y)叶+(x—y)5"

四、全课小结

正确理解和掌握慕的运算法则，熟练掌握计算方法，注意观察算式的特征。

五、作业布置：课时作业优化设计。

教学反思:

13.1.5同底数塞的除法

教学目标：

知识与技能目标：理解同底数幕的除法法则，并能应用.

过程与分析目标：经历探索同底数幕的除法运算的过程，进一步体会幕的意义，学会简单的整式除法运

算.

情感与态度目标：培养有条理的思考表达能力，体会同底数塞的除法法则的算理，体会数学内涵与价值.

教学重点：掌握同底数毫的除法法则

教学难点：理解同底数暴的除法法则

教学过程：

一、回顾交流，迁移知识

1.教师提问：前面我们学过了哪些幕的运算法则呢？(提问一位学生)

学生回答：

(1)a"'•a"=am+n⑵(a"')"=a""'

(3)(ab)"'=a'"b"'(m,n均为正整数)

问题思考：一种数码照片的文件大小是2、，一个存储量为26M(1M=2",K)的移动存储器能够存储多少这

样的数码相片？

这个存储器的容量为26X2'0=216^它能在顾储这种数码相片的数量为2情-28,怎样计算2*+28

呢？

思路点拨：根据除法是乘法的逆运算.

教师活动：引导学生思考，关注学生的思维方法，鼓励和请一些学生发表自己的看法.

学生活动：小组合作，分析，根据除法是乘法的逆运算，求解，或由乘方的意义切入。

同学之间互相交流，形成共识

继续探究。

问题提出：根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律：

(1)55+53=5()

(2)107-103=10(1

(3)a6+/=/)

学生活动：在完成前面的问题探究以后，有了感情认识，然后再进行填空，加深理解寻找规律.

教师活动：在学生自探究的基础上，进一步进行归纳.

2.形成法则

同底数幕的除法法则：

(1)字母表示：(aWO,m,n都是正整数，并且m>n)

(2)文字叙述：同底数塞相除，底数不变，指数相减.

二、范例学习

1、例4,计算

(1)a84-G3(2)(-a)'°(3)(2a)7^(2«)4

教师活动：启发引导学生完成例4(让学生上台演示)，教师再归纳总结运算方法。

学生活动：先独立完成例4,再从中小结出运算法则的方法，踊跃上台。

2、问题探究：

(1)分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论？

①32+32=()

②iG+g()

③优；优"=()

学生活动：完成探究，从中小结出规律.

教师归纳：任何不等于0的数的0次幕都等于1.

教师活动：

请你完成下面题目：

(l)x为何值时，(x-l)°=l?

(2)x为何值时，(3x-l)°=l?

学生活动：通过分析可知(1)x-lHOx=l,(2)3x-1^0xHl/3

三、随堂练习

1.课堂练习P23第1、2题

2.探究时空

一种液体每升含有1()12个有害细胞，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现1滴菌剂可以

杀死1()8此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，要这种杀菌剂多少滴？你是怎么计算的？

四、课堂总结：

1、同底数塞的除法性质：同底数嘉相除，底数不变，指数相减，=1(aHO)

(1)使用范围：两个基的底数相同，且是相除关系，被除式的指数大于或等于除式的指数.

(2)使用方法：商中基的底数不变，指数相减；当累的指数相等时，商等于1.

2、注意的问题：

(1)性质对于三个或三个以上的同底数幕相除仍然成立.

(2)塞的底数和指数可以是具体数，也可以是整式(均不等于零)

五、布置作业

1、课本P23页习题13.1第6,7,8题

2、选用课时优化作业设计。

教学反思:

13.2.1单项式与单项式相乘

教学目标：

知识与技能目标：能正确区别各单项式中的系数，同底数的不同底数累的因式，学会运用单项式与单项

式乘法运算规律，总结法则.

情感与态度目标：经历探索单项式乘法法则的探索，理解单项式乘法中，系数与指数不同计算方法，正

确应用单项乘法步聚进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减混合运算.

情感态度与价值观：培养学生自主、探究、类比、联想的思想，体会单项式相乘的运算规律，认识数学

思维的严密性。

教学重点：

对单项式运算法则的理解和应用

教学难点：

尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律。

教学过程：

一、回顾与思考

1.口述基的运算的三个法则。

2.塞的运算的三个法则的区别与联系。

3.提问：(1)。3"+2.〃2=.(2)任/"=;(3)—

二、计算观察，探索规律

计算：(1)2/(2)3x2y5•(-2xy2z)

教师活动：操作投影仪，启发引导。

学生活动：主动探索，逐步认识。

2x3•5X5=(2X5)(x2•x3)=10x5

3x2y5•(-2A^2Z)=[(3X(-2)(x2•x)•(y5•y2)•z=-6冗3y，z

通过两式计算，可以引导学生归纳出：

1、系数相乘作为积的系数。

2、相同字母的因式，应用同底数基的运算法则，底数不变，指数相乘。

3、只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式。

4、单项式与单项式的积仍是单项式。

三、举例应用

例1计算：

(1)3x2y,(—2xy3)；(2)(—5a2b3),(―4b2c)

解：(1)3x2y«(-2xy3)

=[3•(-2)]•(x2«x)•(y«y3)

=—6x3y4

(2)(一5a2b3)•(-4b2c)

=[(-5)»(-4)]«a2«(b3*b2)«c

=20a2bse

例2：卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9x1()3米/秒，则卫星运行3x102秒所走的路程约是

多少？

解：7.9x103x3x102=23.7x1()5=2.37x106

答：卫星运行3x102秒所走的路程约是2.37x106米。

四、创设问题情境加深理解

问题讨论：1、a•a可以看作是边长为a的正方形的面积，则a・ab又怎样理解呢？

2、想一想，你会说明a•b,3a•2a,以及3a•5ab的几何意义吗？

教师活动：操作媒体，投影仪，提问。

学生活动：观察、讨论、回答。

五、随堂练习P25练习1、2、3.

六、全课小结，提高认识

1.本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上，请问：你能归纳出单项式乘以单

项式的运算法则吗？

2、在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意什么？

七、作业：P28页习题13.21、2题。

教学反思:

13.2.2单项式与多项式相乘

教学目标：

知识与技能目标：使学生能按步骤进行简单的单项式与多项式相乘的运算.

过程与分析目标：经历探究单项与多项式相乘的方法，体验单项式与多项式的乘法运算规律，总结运算

法则，认识到单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同.

情感与态度目标：培养学生合作交流的思想，体验单项式与多项式相乘的内涵

教学重点：

掌握单项式与多项式的运算方法

教学难点：

对单项式乘以多项式法则的理解和领会

教学过程：

一、情境导入

1.教师引导学业生复习单项式x单项式法则.

整式的乘法实际上就是：

单项式X单项式；

单项式X多项式；

多项式X多项式.

前面我们已经学过单项式乘以单项式，今天我们来学习单项式X多项式

2、口述下列各题

(1)(-5x)•(3X2)(2)(-3x)•(-x)

12,1

(3)—xy•—xy-(4)—5m•(——mn)

333

3、什么叫多项式

教师活动：操作投影，提出问题

学生活动：思考、回答

教学方法和媒体：投影显示口答题互动交流.

二、计算观察，探索规律

1、做一做

(1)2tz~—5bj(2)m(a+b+c)

教师活动：操作投影，提出问题

学生活动：计算观察

三、例题讲解：

例：计算(-2a2)*(3^2-5ab3)

补充例题：-3》2・］；孙一y2)一］0x・Q2y一孙2)

本题化简，实际上就是做完乘法后，再合并同类项。

四、课堂练习：课本P26练习第1,2题

五、全课小结，提高认识

1、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

2、单项式与多项式相乘，应注意(1)“不漏乘”；(2)注意“符号”.

五、作业布置

教材28页习题13.2中第3、4、5题。

教学反思：

13.2.3多项式与多项式相乘

教学目标：

知识与技能目标：理解并掌握多项式乘以多项式的法则.

过程与分析目标：经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图，理解多项与多项式的结果，能够按多项

式乘法步骤进行简单的多项式乘法的运算，达到熟练进行多项式的乘法运算的目的.

情感与态度目标：培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度.

教学重点：

多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用

教学难点：

多项式乘以多项式法则正确使用

教学过程：

一、情境导入

1.教师引导学业生复习单项式X多项式运算法则.

整式的乘法实际上就是

单项式X单项式

0单项式X多项式

多项式X多项式

本章导图问题：某地区在退耕还林期间，有一块原长为m米，宽为a米的长方形林区增长了n米，加宽了

b米，请你表示这块林区现在的面积.组织讨论：如图，计算此长方形的面积有几种方法？

如何计算？小组讨论，你从计算中发现了什么？

由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一个量，

故有(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

二、探索法则与应用。

根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则。

让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律。

多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、例题讲解巩固练习

例4计算

(1)(x+2)(x+3)(2)(3x-l)(2x+l)

例5计算：

(1)(x-3y)(x+7y)(2)(2x+5y)(3x-y)

教师活动：讲解范例，提出问题

学生活动：参与例题的解答、探索、理解.

四、课堂练习：P28页第1、2题

五、课堂总结

多项式与多项式相乘，应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项相乘结果，利用乘法分配律来理解(m

+n)(a+b)相乘的结果，导出多项式乘法的法则

六、作业布置教材28页习题13.2中第6、7题。

教学反思:

13.2.4整式的乘法巩固练习

教学目标：

知识与技能目标:

使学生对本节包含的三部分单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则有一

个较好的领悟

过程与方法目标：

让学生在实践、探索与讨论中建构知识体系，熟练运用它们进行计算，感知知识形成过程中的依据，正确

运用法则。

情感与态度目标：

形成良好的合作意识，和积极地探究意识，感受整式乘法的法则，形成数感

教学重点：对整式乘法的法则的理解和应用

教学难点：正确地应用法则进行计算

教学过程：

一、回顾

1、口述单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则.

2、应用这些法则应注意些什么？

二、参与其中主动探究

/[、3

例1计算(一3。2/『・--a2be2

)

解：略

例2计算(-3肛3-产

解：略

例3计算4x~-2.x+1

解：略

解：略

例5：计算2x?—(x—1)(2x+1)—3(x+1)(x-1)

解：略

三、课堂总结

1、幕的运算法则是习整式乘法的基础，运用多项乘法法则进行多项式乘法的关键是熟练地进行单项式乘法.

2、注意知识发生的过程，从知识发生的过程中理解并切实掌握性质，注意“转化”的思想与方法.

四、作业布置

(1)(4m—7n)(5m—8n)；

(2)(x—5)(x+3)—(x—1)(x+2)—2(x—3)(x+5)；

(3)(x+3)(x+4)—x(x—1)—6；

——x—0.2_yY—JC+0.2y

(5)

13.3.1两数和乘以它们的差

教学目标：

知识与技能目标：

1.学生掌握两数和乘以它们的差公式，会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。

2.了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。

过程与分析目标：

经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩

证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能正确应用.

情感与态度目标：

形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感.

教学重点：

对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的

差公式进行简单计算。

教学难点：

理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。

教学过程：

一、创设情境

教师活动：提出问题

(1)(a+b)(a—b);(2)(x+3)(x—3)

并思考下列问题：

1、等式左边的两个多项式有什么特点？

2、等式右边的多项式有什么规律？

3、你能用上面的规律直接计算下列各式吗？

(1)(a+2)(a—2)(2)(3a+l)(3a—1)

4、你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？

5、你有什么不清楚的问题想问老师吗？

学生活动：解决问题

学生根据教师交给的问题，分组讨论，由小组长做好记录。

学生反馈问题：

每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报。并提出自己小组存在的问题。

学生提出：

(1)为什么两数和乘以它们的差公式是对的？

(2)(a+2)(4-2)型，可以用两数和乘以它们的差公式完成吗？

(3)怎样形状的多项式相乘可以用两数和乘以它们的差公式？］(当然，我们的学生还可能会问出许多我们

事先不曾预料到的问题)

二、自主学习解决问题

教师抛出问题二：

你能用以下图解释两数和乘以它们的公式吗？

(见教材41页的图)

方法：把图甲沿虚线剪开，用剪开后的两个长方形拼成图乙的形状。

学生动手，动脑。

得出面积相等推得两数和乘以它们的差公式：

(a+b\a-b)=a-b2

例1计算

(1)(a+3)(a-3)(2)(2a+3b)(2a-3b)

(3)(l+2c)(l-2c)(4)(一2x-y)(2x-y)

学生独立思考，完成练习

观察：(—2x+y)(),在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以它们的差公式进行计算？

由此你想到了什么规律？

三、练习

下面各式能不能用两数和乘以它们的差公式进行计算？如果能的话，每一式可以看作是哪两式(或数)的和

与差的积？

(1)(-4a-0.1)(4a+0.1)(2)(2x+y)(2x-y)

2

(3)(〃+2)(fl-2)(4)(-a+b)(a+b)

四、继续深入、综合应用

例2、计算：1998X2023

解：略

例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西长要缩短2米,

问改造后的长方形草坪的面积是多少？

解：略

五、内容小结

1、你已经学到了两数和乘以它们的差公的哪些知识？

2、判断正误：

1)(-a-b^a-b)--a2+b2；

2)(-a+h\-a-b)=-a2-b2；

3)(2x+3)(2x—3)=2--9；

4)(3x-lX-3x-1)=9--1.

3.化简：

(x-y)(x+y)—(x-2y)(2x+y).

教学反思:

13.3.2两数和的平方

教学目标：

知识与技能目标：

使学生理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算。

过程与分析目标：

经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。

情感与态度目标：

培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际

运算中的价值。

教学重点：

对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算

教学难点：

对公式(。+匕)2=/+2&/J+〃的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述，几何解释。

教学过程：

1.知识与回顾：

(1)两数和的公式是什么？

(2)口述多项式乘以多项式法则。

(3)计算(2x-l)(3x-4)、(5x+3)(5x-3)

2.设计活动，导入新课。

师：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们。来一个孩子，老

人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……

(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(2)第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？

由学生自主总结出公式，导入新课：(a+b)2=a2+2ab+b2

这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍

3.牛刀小试

先观察下图，再用等式表示下图中图形面积的运算

+

4、例题讲解：

例4计算：

,b,

(1)(2a+3b)2；(2)(2a+-)2

2

思路点拨：与本节课公式进行逐项比较、对照，步骤写得完整，有利于正确使用公式。

例5计算:

(1)(a-b)2；(2)(2x-3y)2

教师活动：提问，演示。

学生活动：参与、理解。

教学方法：互动交流。

5,随堂练习，巩固新知

课本P32页练习1、2、3、4.

6、全课小结，提高认识

本课学习了(。±幼2=/±2“。+/两个乘法公式，在应用时(1)要了解公式的结构和特征；(2一掌握公

式的几何意义；(3)弄清公式的变化形式；(4)注意公式在应用中条件；(5)应灵活地应用公式来解题。

通过本课学习，使学生体会数形结合的数学思想。

7、作业布置：P84页习题14.3第1、2、3、4题

教学反思:

13.4.1单项式除以单项式

教学目标：

知识与技能目标：理解单项式除以单项式的算理，发展有条理的思考及表达能力.

过程与分析目标：经历探索整式除法运算法则的过程，能进行简单的整式除法运算(单项式除以单项式)，并

且结果