2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）专题06 数列（五大题型解析版）

专题06数列题型01等差数列基本量运算1.（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．5 D．7【答案】A【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，即，解得，所以.故选：A.2．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【详解】由等差数列的等和性可得，.故选：C.3.（2024·广东中山·模拟预测）在等差数列中，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，又，所以公差．故选：C4．（2024·广东清远·二模）已知数列为等差数列，，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】由，故，由，故，又，即有，故.故选：C.5．（2024·广东肇庆·二模）记等差数列的前项和为，则（

）A．14 B．72 C．36 D．60【答案】D【详解】由等差数列性质可知，可得；设等差数列的公差为，可得，解得；又.故选：D6.（2024·广东·模拟预测）已知数列满足：，且数列为等差数列，则（

）A．10 B．40 C．100 D．103【答案】D【详解】设数列的公差为，则，故，所以．故选：D.7.（2024·广东河源·模拟预测）若等差数列的前n项和为S，且满足，对任意正整数，都有则的值为（

）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【详解】依题意，，则，又，则，，等差数列的公差，因此数列单调递减，，且，即任意正整数，恒成立，所以对任意正整数，都有成立的.故选：C8.（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则．【答案】【详解】设数列的公差为，，，则，故答案为：.9.（2024·广东深圳·模拟预测）设是等比数列，且，，则．【答案】16【详解】因为是等比数列，设其公比为，所以，则，所以.故答案为：.10．（2024·广东河源·模拟预测）设等差数列的前项和为，则.【答案】【详解】设公差为，由，得，解得.故答案为：.题型02等比数列基本量运算1.（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．9 B．16 C．21 D．25【答案】C【详解】由等比数列的性质可知，，即，得，.故选：C2.（2024·广东东莞·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，解得，所以，，则.故选：A.3.（2024·广东梅州·二模）（多选）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（

）A．若取，，则B．满足题意的也必是一个等比数列C．在的前100项中，的可能项数最多是6D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列【答案】AB【详解】因为数列的通项公式为，对于A，取，，则，，由于为等比数列，则，则有，即，故A正确；对于B，数列的通项公式为，则，若为等比数列，即，，，，，是等比数列，则，，，，，，是等比数列，故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确；对于C，在的前项中，可以取，，，，，，，可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误；对于D，取，，则，则，不是数列的项，所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误．故选：AB．4．（2024·广东肇庆·二模）等差数列中，，．(1)求的通项公式；(2)设，记为数列前项的和，若，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，由题设得因为，所以，解得，故.（2）由（1）得，因为，，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，由得，解得.5.（2024·广东肇庆·二模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且．(1)求和的通项公式；(2)证明是等比数列．【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，则；设正项等比数列的公比为，则，，由题意，可得，解得或（舍去），故.（2）令，则，故是以为首项,公比为的等比数列.题型03数列求和1.（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，当时，，符合，所以数列的通项公式为.，，即，，……，又，累加法可得：，即，设数列的前项和为，则.故选：D2.（2024·广东中山·模拟预测）等比数列的公比为，其通项为，如果，则；数列的前5项和为．【答案】或或【详解】等比数列的公比为，由，得，整理得，所以或；当时，，数列的前5项和为，当时，，数列的前5项和为，所以数列的前5项和为或.故答案为：或；或3.（2024·广东东莞·模拟预测）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设公差为d，又成等比数列，所以，又，所以或，而时，不满足成等比数列，所以所以（2）令，所以，两式相减有：，所以数列的前项和为，即，又，所以，所以4．（2024·广东梅州·二模）已知等差数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.【答案】(1).(2)证明见解析【详解】（1）设等差数列的公差为.由题可得，，解得，所以.（2）证明：由（1）可得为正整数，所以.5.（2024·广东惠州·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由以及可得，又，故，因此公比，故（2），则,,两式相减可得，，，.6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．(1)求数列的公差；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公差为，则因为是等差数列，所以为常数，所以解得，即公差为.（2）因为所以可得，故7．（2024·广东东莞·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前10项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知：，即，当时，，两式相减，可得，因为，可得．又因为，当时，，即，解得或（舍去），所以（符合），从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列．所以数列的通项公式为．（2）由题意得，所以，所以.8.（2024·广东惠州·模拟预测）已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，又，则，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.9.（2024·广东珠海·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）【答案】(1)；(2).【详解】（1）由是递增的等比数列，，得数列的公比，且，选择条件①，，则，即，于是，所以的通项公式是.选择条件②，，即，由，解得，所以的通项公式是.选择条件③，，则，而，解得，即有，所以的通项公式是.（2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，，所以.题型04数列综合应用1.（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，即，所以，所以，显然，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，即，所以．故选：C．2.（2024·广东珠海·模拟预测）已知数列满足则（

）A．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，存在正整数，当时，D．当时，对于任意正整数，存在，使得【答案】D【详解】当时，，，所以此时不是递增数列，A错误；当时，，，，所以此时不是递减数列，B错误；我们证明以下引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得.若该引理成立，则它有两个直接的推论：①存在，使得对任意的正整数，都存在，使得；②当时，对任意的正整数，都存在，使得.然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确.最后，我们来证明引理：当时，对任意确定的正整数：如果，则；如果，则或.此时若，则；若，则.无论哪种情况，都有，从而.这说明或，所以可以选取，使得.这就说明存在，使得.这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确.故选：D.3.（2024·广东·模拟预测）（多选）设有正数列，其前项和为．则下列哪一个能使对任意的都有成立（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】首先取，则有成立，其中（因为数列是正数列），从而需要满足，对比选项可知A不符合题意，接下来我们证明如下引理1：，证明：首先当时，左边等于，其次假设结论已对成立，即（*），由于，从而（**），（*）与（**）相加有，故结论对也成立，综上所述，引理1成立，我们继续来证明引理2：，证明：当时，左边右边，即此时引理1成立，设结论已经对成立，即，记，显然，从而，故结论对也成立，综上，引理2成立，现在我们回到原题，对于B，也就是，则，故B符合题意，对于C，当时，满足题意，当时，我们来比较的大小，令，从而，即单调递增从而，也就是当时，，结合B选项分析可知C选项也符合题意；对于D，当时，满足题意，当时，我们来比较的大小，显然此时，结合B选项分析可知D选项也符合题意.故选；BCD.4.（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．C．数列是等差数列 D．【答案】BCD【详解】对A，由题意可知，所以，则，所以，故A错误；对C，由，故C正确；对C，所以，则，故B正确；对D，易知，令，则，则单调递增，所以，即，故D正确.故选：BCD5.（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为．【答案】【详解】由于当为奇数时，，当为偶数时，，要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，又，且当时，，因此时，，当，，当，，综上，最小值为.故答案为：6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为.【答案】【详解】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，得，两式相减得，所以，由时，由，得；由时，由，得；又由，结合，，所以成首项为，公差为的等差数列，所以，且此等差数列为递增数列，所以的中位数为：.故答案为：.7．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【详解】（1）因为，，所以，，.易知，所以，因为．所以是等比数列，首项，公比，所以．（2）由（1）可得，先证明左边：即证明，当时，，所以，所以，再证明右边：，因为，所以，即，下面证明，即证，即证，设，，则，设，，因为，所以函数在上单调递增，则，即，，所以，所以．综上，．8．（2024·广东·模拟预测）已知数列与为等差数列，，，前项和为．(1)求出与的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，.(2)存在数列，为，，，.【详解】（1）∵等差数列前项和公式为，前项和为，∴，，解得：，公差，则，又∵，，∴的公差为，则.综上所述：，.（2）由题意可知，需满足，当时，，即，，，当时，，，若，，则，，，，解得：，符合题意；若，，则，，，，解得：，符合题意；若，，则，，，，解得：，符合题意；若，，则，，，，解得：，符合题意；综上所述：存在数列，为，，，.题型05数列情景题和创新题1.（2024·广东肇庆·二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（

）A．12里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】C【详解】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，设这个数列为，前项和为，则，解得，所以，即该人第三天走的路程为48里.故选：C.2．（2024·广东东莞·模拟预测）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，则，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即，综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，故选：C3.（2024·广东·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦-曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第2023行的黑心圈的个数是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，依题意可得，且有，故有，所以是以为首项，3为公比的等比数列，为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，故故所以.故选：A.4.（2024·广东广州·模拟预测）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为，n级角雪花曲线的内角和为．【答案】【详解】依题意，n级角雪花曲线的每一条边按生成，得级角雪花曲线的4条边，因此n级角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列，则n级角雪花曲线的边数为，当时，曲线有6个开角，n级角雪花曲线的开角数为，，由于n级角雪花曲线的每一条边，向外形成一个开角，因此，当时，n级角雪花曲线的开角数，满足上式，所以n级角雪花曲线的开角数；令n级角雪花曲线的内角和为，显然，而n级角雪花曲线到级角雪花曲线每增加一个开角，其内角和增加，于是，当时，n级角雪花曲线的内角和：，满足上式，所以n级角雪花曲线的内角和为.故答案为：；5.（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．(1)若，求其生成数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为关于单调递增，所以，，于是，的前项和．（2）由题意可知，，所以，因此，即是单调递增数列，且，由“生成数列”的定义可得．（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列．当是一个常数列，则其公差必等于0，，则，因此是常数列，也即为等差数列；当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，，所以要么，要么，又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减，记，则当时，有，于是当时，，故当时，，…，因此存在正整数，当时，，…是等差数列．综上，命题得证．6．（2024·广东·二模）已知正项数列，满足（其中）.(1)若，且，证明：数列和均为等比数列；(2)若，以为三角形三边长构造序列（其中），记外接圆的面积为，证明：；(3)在（2）的条件下证明：数列是递减数列.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）正项数列，满足，两式相减可得：，因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，由两式相加可得：，即，因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）因为，由（1）得是等比数列，所以，即，由（1）知，，因为，所以，所以为常值数列，故，由，因为，所以等号不成立，故，因为，所以，所以，由正弦定理得外接圆的直径，所以，所以.（3）由（1）可知，，由（2）可知，，解得：，所以，随着的增大而减小，又因为，所以随着的增大而减小，所以是递减数列，因为，所以是递增数列，所以是递减数列，所以数列是递减数列.7．（2024·广东·模拟预测）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，(1)计算；(2)设数列满足，求的通项公式；(3)设排列满足，求，【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，设，得，所以，解得，则，因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.（3）因为，所以，所以，所以.8．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)求；(2)证明数列是等比数列并求；(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【详解】（1）因为，则，从而有，由，则，则，解得则有，所以；（2）由，则，所以，故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（3）由等比数列的前n项和公式得：，因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，，则，当时，，是减函数，当时，，是增函数，又，且，，，则，当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；综上可知，.9．（2024·广东·模拟预测）定义：已知数列满足．(1)若，，求，的值；(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，