高考人教版数学一轮学案第七章第四讲直线平面平行的判定与性质

第四讲直线、平面平行的判定与性质知识梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，__a∥b____a∥α__a∥α，a⊂β，__α∩β＝b__结论a∥αb∥αa∩α＝∅__a∥b__知识点二面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件__α∩β＝∅____a⊂β，b⊂β，____a∩b＝P，____a∥α，b∥α____α∥β，____α∩γ＝a，____β∩γ＝b__α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥αeq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α．(×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β．(×)题组二走进教材2．(必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α[解析]对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D．题组三走向高考3．(2019·课标全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．(2017·课标全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)[解析]B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ．故选A．5．(2017·天津，节选)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．求证：MN∥平面BDE．[证明]解法一：连PN交BE于H，连HD．∵E、N分别为PC、BC的中点，∴H为△PBC的重心，∴eq\f(PH,HN)＝2，又D、M分别为PA、AD的中点，∴eq\f(PD,DM)＝2，∴eq\f(PH,HN)＝eq\f(PD,DM)，∴DH∥MN，又DH⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE．解法二：取EC的中点H，连MH、NH，∵N为BC的中点，∴NH∥BE，又NH⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，∴NH∥平面BDE，又E、D、M分别为PC、PA、DA的中点，∴eq\f(PE,EH)＝eq\f(PD,DM)＝2，∴DE∥MH，又MH⊄平面BDE，∴MH∥平面BDE，DE⊂平面BDE，又DE∩BE＝E，∴平面MNH∥平面BDE，∴MN∥平面BDE．解法三：(理)如图，以A为原点，分别以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0，0,1)，N(1,2,0)．eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝0，,2x－2z＝0.))不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1)．又eq\o(MN,\s\up6(→))＝(1,2，－1)，可得eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝0．因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE．考点突破·互动探究考点一空间平行关系的基本问题——自主练透例1(1)(2021·河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是(B)①若a∥α，b∥α，则a∥b②若a∥α，a∥β，则α∥β③若a⊥α，b⊥α，则a∥b④若a⊥α，a⊥β，则α∥βA．1 B．2C．3 D．4(2)(2021·辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“()”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件是__l⊄α__．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))⇒l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,l∥m,))⇒l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m,m⊥α,))⇒l∥α．[解析](1)对于①，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；对于②，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故②错误；对于③，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故③正确；对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；故选B．(2)①l∥m，m∥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α；②l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α；③l⊥m，m⊥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α．故答案为l⊄α．〔变式训练1〕(2021·吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1不平行的是(CA．直线EF B．直线GHC．平面EHF D．平面A1BC1[解析]首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD考点二直线与平面平行的判定与性质——多维探究角度1线面平行的判定例2(2021·辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．(1)证明：BE∥平面PAD；(2)求三棱锥E－PBD的体积．[解析](1)证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2．又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綊EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD．证法二：延长DA、CB相交于H，连PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(1,2)，即B为HC的中点，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，证法三：取CD的中点H，连BH，HE，∵E为PC中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綊DH，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，∴平面BHE∥平面PAD，∴BE∥平面PAD．(2)∵E为PC的中点，∴V三棱锥E－PBD＝V三棱锥E－BCD＝eq\f(1,2)·V三棱锥P－BCD．又∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2．又∵CD＝4，∠BDC＝∠BAD＝60°，∴BD⊥BC．∴BC＝eq\r(CD2－BD2)＝2eq\r(3)．∵PD⊥平面ABCD，∴V三棱锥P－BCD＝eq\f(1,3)PD·S△BCD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴V三棱锥E－PBD＝eq\f(2\r(3),3)．名师点拨判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(5)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．角度2线面平行的性质例3如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1．(1)求证：BC∥EF；(2)求三棱锥B－DEF的体积．[解析](1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF．又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF．(2)过点B作BH⊥AD于点H，∵DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴DE⊥BH．∵AD⊂平面ADEF，DE⊂平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF．∴BH是三棱锥B－DEF的高．在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，故BH＝eq\r(3)．∵DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥AD．由(1)知BC∥EF，且AD∥BC，∴AD∥EF，∴DE⊥EF．∴三棱锥B－DEF的体积V＝eq\f(1,3)×S△DEF×BH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6)．名师点拨空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．(2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行．(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行．〔变式训练2〕(1)(角度2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH．求证：PA∥GH．(2)(角度1)(2020·广东佛山质检，节选)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，E、F分别为AD、PC的中点．求证：EF∥平面PAB．(3)(角度1)(2021·贵州黔东南州二模)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别为BC，AP的中点．①求证：EF∥平面PCD；②若AD＝AP＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB＝1．求三棱锥P－DEF的体积．[解析](1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO．又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH．(2)解法一：取PB的中点H，连FH、HA，∵F为PC的中点，∴FH綊eq\f(1,2)BC，又四边形ABCD为平行四边形，∴BC綊AD，从而FH綊eq\f(1,2)AD，又E为AD的中点，∴FH綊EA，∴EF∥AH，又EF⊄平面PAB，HA⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．解法二：取BC的中点H，连FH，HE，∵F为PC的中点，∴FH∥BP，又FH⊄平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E为AD的中点，且四边形ABCD为平行四边形，∴HE∥BA，又HE⊄平面PAB，∴HE∥平面DAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB．解法三：连CE并延长交BA的延长线于H，连PH．∵E为平行四边形ABCD的边AD的中点，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F为PC的中点，∴EF∥PH，又EF⊄平面PAB，PH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．(3)①证明：如图，取PD中点G，连接GF，GC．在△PAD中，G，F分别为PD，AP的中点，∴GF綊eq\f(1,2)AD．在矩形ABCD中，E为BC的中点，∴CE綊eq\f(1,2)AD，∴GF綊EC，∴四边形EFGC是平行四边形，∴GC∥EF．∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD．②∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥BP，平面PAD⊥平面PAB．AD＝AP＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB＝1，∵AB＝eq\r(2)，∴AP2＋PB2＝AB2，∴AP⊥BP．∵AD∩AP＝A，∴BP⊥平面PAD．∵BC∥平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．∵S△PDF＝eq\f(1,2)PF·AD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)，∴V三棱锥P－DEF＝V三棱锥E－PDF＝eq\f(1,3)S△PDF·BP＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×1＝eq\f(1,12)，∴三棱锥P－DEF的体积为eq\f(1,12)．考点三,两个平面平行的判定与性质——师生共研例4如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG．[证明](1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG．又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG．又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG．[引申1]在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．[证明]如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[引申2]在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D[证明]如图所示，连接A1C，AC1交于点M因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD因为D为BC的中点，所以A1B∥DM．因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1．又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．名师点拨证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．*(6)向量法：证明两平面的法向量平行．〔变式训练3〕(2021·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1．设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．[解析](1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°．又∠BAC＝60°，∴CN∥AB．∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB．(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3)．名师讲坛·素养提升探索性问题求解策略例5(2021·安徽皖北联