专题14 图形的相似（讲义）（原卷版）

专题14图形的相似核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形相似的概念，能用相似的性质将一个图形放大或缩小．【知识网络】考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB.考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.【题型1：比例线段】【典例1】下列四条线段成比例的是（

）A． B．C． D．1．若是成比例的线段，其中，，，则线段d的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．已知成比例的四条线段的长度分别为，，，，且的三边长分别为，，，则是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定3．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为（

）A． B． C． D．【题型2：黄金分割点】【典例2】小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（

）A． B． C． D．1．如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴到脚的距离是（

）A． B． C． D．2．如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（

）

A． B．C． D．3．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（

）A． B． C． D．4．已知线段的长度为，点是线段的黄金分割点，则的长度为（

）A． B． C．或 D．或【题型3：相似四边形】【典例3】如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（

）A．4：1 B． C． D．2：11．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（

）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b2．装裱一幅宽长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则．3．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为．4．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为．【题型4：相似三角形的性质和判定的应用】【典例4】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（

）米．A． B． C． D．21．如图，在中，点是的重心，过点作分别交边、于点，联结，那么．2．如图，G是的重心，延长交于点D，延长交于点E，P、Q分别是和的重心，长为6，则的长为．3．如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一直线上，则建筑物的高是

4．如图，数学兴趣小组下午测得一根长为的竹竿影长是，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高，地面上的影长为．请你帮算一下，树高是．1．长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为的地图上，量得全线长约为，则轨道交通6号线的实际距离约为．2．已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么cm．3．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是cm．4．如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为cm．（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）

一、选择题1．如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（）A．1 B． C． D．2．如图，点为的重心，若，则的值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在中，点在边上，连接交于点，若，则的面积与的面积之比为（

）A． B． C． D．4．如图，，相似比为2，已知的长为2，则的长为（）A．8 B． C．6 D．45．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则称点P为△ABC的布洛卡点．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，则EQ+FQ＝（）A．5 B．4 C．3+ D．2+6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，通过测量，，的长度，可以推算出水面以上部分的高度，这种测量原理，就是我们所学的（

）A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似7．如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（

）

A． B． C． D．8．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（

）A． B． C． D．二、解答题9．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.（1）求证：；（2）连接，求证：.10．如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．

(1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______；(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度；①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表：层数/层0123…隔板长度/cm120__________________…②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？一、单选题1．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（）

A． B． C．2 D．32．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（

）

A． B． C． D．3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或24．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（

）①；②；③当时，A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（2023·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．6．（2023·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6二、填空题7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在