2019届高三高考模拟考试分类汇编数学考试试题：24

（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）

16.设nvi为平面a外两条直线，其在平面a内的射影分别为两条直线加1和%.给出下列4个命

题：①加1〃%=相///1；与否平行或重合；③1n1nmLn；④m±n^m11%.

其中所有假命题的序号是—“.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

分别研究①②③④四个命题的真假，找到反例说明该命题是假命题.

【详解】①两条直线的射影互相平行，则两条直线不一定平行，也有可能是异面，所以错误.

②正确.

③在正四棱锥中，相邻的两条侧棱为m,n,其射影与叫为该正四棱锥的底面的两条对角

线，但相邻的两条侧棱为m,。并不垂直，故③错误；

④mJ.。时，血1与%也可能重合，故④错误.

所以，假命题为①③④.

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查空

间想象能力，属于中档题.

（安徽省蚌埠市2019届高三第一次教学质量检查考试数学（文）试题）

15.如图所示，正方体48。。-4避］6。1的棱长为2,E,F为4B的中点，M点是正方形

4BB］为内的动点，若C1M〃平面C/E,则M点的轨迹长度为

【答案】隹

【解析】

【分析】

取4四的中点H,的中点G,连接GH,C】G,EG,HF.可得:四边形EG中点是平行四

边形，可得gG〃/）i及同理可得CXH//CF,可得面面平行，进而得出M点轨迹.

【详解】如图所示,取与比的中点H,的中点G,连接GH,JH,C]G,EG,HF.

可得：四边形EGGd是平行四边形，.••C1G//D1E

同理可得：C^Hf/CF.

C、HnC1G=C1.

二平面〃平面C%E,

・••M点是正方形内的动点，若C1M〃平面C/瓦

•••点M在线段G"上.

M点的轨迹长度=GH=杼+仔=@故答案为0.

【点睛】本题考查了面面平行的判定定理与线面平行的判断，属于中档题.证明线面平行的

常用方法：①利用线面中行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与

已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构

造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其

中一平面内的直线平行于另一平面.

（广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题）

19.如图，在四棱锥E—4BCD中，4B〃CD,UBC=90。,CD=24B=2CE=4,点F为棱。E的中

点,

（1）证明：4尸〃平面BCE；

（2）若BC=4,NBCE=12（T,DE=26,求三棱锥B—CEF的体积.

【答案】（1）见解析（2）空

3

【解析】

试题分析：（1）取CE的中点M,连接根据三角形中位线定理可得FM〃C。，从而可

得四边形48MF为平行四边形，AF//BM,利用线面平行的判定定理可得4F〃平面BCE；（2）

由4B〃CD,"BC=90q号CDJ.BC,由勾股定理可得CDJ.CE,从而得CDJ.平面BCE,F到平

面BCE的距离为2,利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得

VB-CEF=^F-BCE=§SA8C£X2=

试题解析：（1）取CE的中点M,,连接

因为点尸为棱DE的中点，

1

所以FM〃CD且FM=-CD=2,

因为力B〃CD且AB=2,

所以FM〃/IB且FM=4B,

所以四边形力BMF为平行四边形，

所以4F〃BM,

因为4FC平面BCE,BMu平面BCE,

所以4F〃平面BC&

(2)因为4B〃CD,"BC=90。，

所以CD1BC.

22

因为CD=4,CE=2,DE=24,所以CZ^+CE=DE,

所以CDJ.CE,

因为CEu平面BCE,

所以CD1平面BCE.

因为点尸为棱DE的中点，且CD=4,

所以点F到平面BCE的距离为2.

11L

S^BCE=•CEsin乙BCE=-X4x2s加1200=24

三棱锥3-CEF的体积/-CEF~^F-BCE=^^BCEX=-x2^/3x2=

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.

证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面

内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行

的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平

面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用方法①证明的.

（广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题）

9.设m、n是两条不同的直线，*6是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.aLp,ac\p=m,m1n=>n1pB.a邛=n,maa,m//^=>m//n

C.mln,mua,nu0na1.0D.m//a,nca,nm//n

【答案】B

【解析】

【分析】

在A中，n与0相交、平行或7iu0：在B中，由线面平行的性质定理得m〃n；在C中，a与

0相交或平行；在D中，m与n平行或异面.

【详解】由m、n是两条不同的直线，a、/?是两个不同的平面，得：

在A中，a邛,an0=m,mln,则n与0相交、平行或nujff,故选A；

在B中，aLp=n,znua,m〃£,则由线面平行的性质定理得m〃n,故B正确；

在C中，mLn,mua,nu0,则a与仪相交或平行，故C错误：

在D中，m//a,nca,则tn与n平行或异面，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题.

（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）

8.若是两条不同的直线，a/,y是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）

A.若则mJ.aB.若m〃a,n〃a,则切/n

C.若则aJ.夕D.若aly,aJ_B，则夕_Ly

【答案】C

【解析】

试题分析：对于选项A,当且仅当加_平面名尸的交线的时，命题才成立，即原命题不成立;

对于选项B,若小〃％〃/%则直线血,71可能异面，可能平行还可能相交，所以原命题为假命

题；对于选项C,由可得平面a内一定存在直线与直线加平行，进而得出该

直线垂直于平面尸，所以原命题为真命题；对于选项D,若a，y,a_L0,则平面/与平面了

相交或垂直，所以原命题为假命题，故应选C.

考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系.

（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）

6.设a,b为两条不同直线，a,6为两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A.若a“a,b//a,则4/b

B.若a：巴吒6,a〃0,则a〃b

C.若力/a,a||p,则。〃0

D.若ala,bL3,alb,则aJ_£

【答案】D

【解析】

【分析】

对四个选项分别进行判断，即可得出结论.

【详解】对于A项，平行于同一平面的两条宜线的位置关系可以是平行、相交、异面的，

所以不正确；

对于B项，分别位于两个互相平行的平面内的两条直线可以是平行、相交、异面的，所以

不正确；

对于C项，平行于同一条直线的两个平面可以是相交的，可以是平行的，所以不正确；

对于D项，根据两个平面的法向量垂直时，两个平面是垂直的，可以得出若ala,brp,

aLb,则aJ./?,所以是正确的；

故选D.

【点睛】该题考查的是有关空间关系的命题的正确性的判断问题，涉及到的知识点有线面平

行、面面平行以及唾直的判定和性质定理，依次分析选项，可得答案.

（四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学（理）试题）

8.已知m,n为异面直线,m_L平面a,n_L平面p,直线1满足1J_m,1±n,印厕

（）

人.01〃0且/〃01B.a_L。且以0

C.a与。相交，且交线垂直于ID.a与B相交，且交线平行于，

【答案】D

【解析】

试题分析：由ml•平面a,直线I满足，，小，且以a,所以〃/a,又nJ■平面0,1_L凡1/，所

以2〃6，由直线m,n为异面直线,且ml平面a,n_L平面打贝ija与£相交,否则，若a//0则推

出山〃“，与异面矛盾，所以a,0相交，且交线平行于2,故选D.

考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论.

【此处有视频，请去附件查看I

（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试文科数学试题）

16.设为平面a外两条直线，其在平面a内的射影分别为两条直线加1和％.给出下列4个命

题：①和1〃%=加〃心与由平行或重合；③1n1nmIn.@m1n=>m11nv

其中所有假命题的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

分别研究①②③④四个命题的真假，找到反例说明该命题是假命题.

【详解】①两条直线的射影互相平行，则两条直线不一定平行，也有可能是异面，所以错误.

②正确.

③在正四棱锥中，相邻的两条侧棱为m,n,其射影血1与%为该正四棱锥的底面的两条对角

线，但相邻的两条侧棱为m,n并不垂直，故③错误；

④mJ."时，加1与乙也可能重合，故④错误.

所以，假命题为①③④.

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查空

间想象能力，属于中档题.

（陕西省四校联考2019届高三12月模拟数学试卷（文科）试题）

19.如图，正三棱柱的所有棱长都为2,D为CG的中点.

（1）求证：ABjl平面4BD；

（2）求三棱锥B-&BW的体积.

【答案】（1）见解析；（2）等

【解析】

【分析】

（1）取BC中点E,连接为瓦证明BD_L平面4EB],得BD工岫,由直线与平面垂直的判定

定理，可得所证结论.

（2）连接场。，则三棱锥B-4向。的体积可以通过求三棱锥为-的体积得到.

【详解】（1）证明：由正三棱柱的所有棱长都相等可知：AB^LA^B

如图，取BC的中点E,连接B/,则Rt^BCD三

:.乙BB[E-Z.CBD:.Z.CBD+4BEB1=乙BB/+乙BEB1=90BDL

由平面4BC,平面BCC]Bi，平面4BCn平面BCCi%=BC,且4EJ.BC得，4E_L平面BCQ%

.-.AE1BD,TBIEU平面4EB],AEu平面4EB1，AEnBiE=E

.-.BD

•.•&Bu平面4[BD,BDu平面AlBnBD=B

:.AB、1平面

(2)解：连接由44〃平面BCCIB1

所以点占到平面BCG/的距离，等于4E=M以-8产=痔N=y/3

_1_1_

S△BDBA=5s正方形8CC[8]=-X2X2=2

11厂2g

V=xS

•'^B-A^B^D=A1-BDB1^hBDB1XAE=§X2X\/3=-y

故三棱锥B-4/D的体积为等.

AA)

【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理、几何体体积的求法，解题过程中要注意各种

位置关系的相互转化以及数量关系的求解.

(江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题)

19.如图所示，在三棱锥P-力BC中，底面是边长为2的正三角形，P4_L底面4BC,点&F,G

n

分别为AC,PC,PB的中点，且异面直线4G和PC所成的角的大小为］

(1)求证：平面BEFJ.平面P4C；

(2)求三棱锥C-4BF的体积。

【答案】（1）见解析；（2）当

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质得BE，4C,由线面垂直性质定理得P4±BE,在根据线面垂直判

定定理得BE,平面P4C,最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）取BC的中点H,根据平行

得“GH为异面直线4G和PC所成的角，根据比算可得04,根据平行可得EF1底面4BC,最后

根据三棱锥体积公式得结果.

【详解】（D证明:•■AB=BC,E为4c的中点，:.BELAC,

又P4J■平面4EC,BEu平面ABC,.-.PALBE,

---PAnAC=A,「.BEJ_平面P4C.因为BEu平面BEF,所以平面BEF1.平面P4C；

（2）取BC的中点H,连结G”，AH,

•••三角形力BC为正三角形，P4_L底面ABC,：.PB=PC,

又•••”，G分别为BC,PB的，中点，.-.GH//PC,AG=^PB,GH=；PC,GA=GH,

nn

又•••异面直线4G和PC所成的角的大小为亨••・^AGH=

二三角形力G/f为正三角形，AG=GH=AH=®.-.PC=2^,

又•••4C=2,:.PA=2⑰,

又vEF=；PA=y/2,EF//PAEFJL底面48C,

因此三棱锥C-4B尸的体积等于三棱锥F-4BC的体积为gx值x[x22咚

【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校

2019届高三3月联考数学（文）试题）

18.如图，在四棱锥P-4BCD中，侧面PCDJL底面ABCD,PD±CD,E,F分别为PC,PA的中

点，底面是直角梯形，AB//CD,乙4DC=90°，AB=AD=PD=2,CD=4.

p

(1)求证：平面PBC1平面PBD；

(2)求三棱锥P-EFB的体积.

1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

【分析】

(1)过点B作BHJ.CD于H,证明BC1BD.PD，BC,通过直线与平面垂直的判定定理证明BC1

平面PBD；

(2)求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥P-EFB的体积.

【详解】(1)证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BHLCD于H,

在中，有BH=CH=2,/.BCH=45°.

又在AIMB中，有4D=4E=2,£ADB=45°•

Z.BDC=45°>Z.DBC=90".二BC1BD.

•­•PDLCD,平面PCDJ_平面ABCD,n^^ABCD=CD,PDu平面PCD,

PD±平面ABCD,PD1BC,

又•；BDcPD=D,BDu平面PBD,PDu平面PBD,

.•.BCJ.平面PBD,

又BCu平面PBC,

平面PBC_L平面PBD；

(2)解：■■■ABf/CD,且4Bu平面PAB,CDC平面PAB,则CD〃平面PAB,

在RtAPD4中，由4D=PD=2,可得D到PA的距离为M，即D至lj平面PAB的距离为隹.

又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为

在Rt^PAB中，由力B=2,P4=2避，且F为PA的中•点，

可得SAPBF=]SAPAB=*

【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多

面体的体积，是中档题.

（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）

18.如图，在四边形ABED中,AB//DE,AB1BE,点C在AB上，且AB，CD,AC=BC=CD=2,现

将4ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE=2业.

（1）求证：平面PBC_L平面DEBC；

（2）求三棱锥P-EBC的体积.

【答案】（1）见解析；（2）逋

3

【解析】

【分析】

（1）根据折叠前后关系得PC_LCD,根据平几知识得BE〃CD,即得PC_LBE,再利用线面垂

直判定定理得EBL平面PBC,最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EBL

平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.

【详解】(1)证明：VAB±BE,AB1CD,.,.BE//CD,

VAC±CD,APC±CD,APC±BE,

又BC_LBE,PCnBC=C,

平面PBC,

又YEBu平面DEBC,平面PBCJ■平面DEBC；，

（2）解法1：VAB//DE,结合CD//EB得BE=CD=2,

由（1）知EB_L平面PBC,AEB1PB,由PE=2也得PB=冲产_后炉=2,

...△PBC为等边三角形，：4啊=W义22=8

，Up-EBC=^E-PBC=^t^PBC-EB=—X^13x2=

解法2：VAB//DE,结合CD〃EB得BE=CD=2,

由（1）知EBJL平面PBC,AEBIPB,由PE=2$,

得PB=^PE2-EB2=2,APBC为等边三角形，

取BC的中点0,连结0P,则PO=悯：PO_LBC,，PO_L平面EBCD,

111,_2J3

Vp_EBC=P°=3X2X2X火=

【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

(河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学(文)试题)

18.如图，在三棱柱中，4&1平面4EC,。为BC边上一点，BD=8

AA^=AB=2AD=2.

(1)证明：平面4DB]_L平面BBiQC.

(2)若BD=CD,试问：&C是否与平面4。场平行？若平行，求三棱锥4一的体积；若

不平行，请说明理由.

【答案】(1)详见解析；(2)两者平行，且%=£

【解析】

【分析】

(1)在A4BD中，^AB2=AD2+BD2,推出4D_LEC,结合4D_LBBI,即可证明4DJL平面

BBRC,结论得证；(2)取BiG的中点E,连接DE,CE,4/,证明四边形4CE4]为平行四

边形，进而证得平面A。/〃平面&CE,.•"也与平面平行，由等体积转化

VVV

A-A1B1D=Bl-AA^D=B-AAXD,求体积即可

【详解】(I)证明：因为4公，平面4BC,所以1平面力BC,

力Du平面4BC,所以4D1BB1，

在A4BD中，^\AB2=AD2+BD2,所以4D1BC,

又BCcBB]=B,所以4。J_平面BBigC,

因为4Du平面4CB],所以平面4DB]_L平面BB/iC.

(2)41c与平面4nBi平行.

证明如下:取BiG的中点E,连接DE,CE,&E

因为BD=CD,所以DE〃/la1，且DE=44,所以四边形4。七名为平行四边形

则年〃4。

同理可证CE〃B]D

因为4/cCE=E,所以平面4DB]〃平面&CE

又&Cu平面&CE,所以4C〃平面4DB1

因为441/BB],所以%[_心/=%-44/

又BD=®且易证BDL平面441n

V

所以匕4-4[B]D="B[=B-AAyD=|xA/3x|x2xl=^

【点睛】本题考查面面垂直证明，线面平行的判断，三棱锥体积公式，熟练运用定理级性质,

准确推理计算是关键，是中档题

（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）

19.如图,在直三棱柱4BC-中,AC=BC=1,44cB=90°,。是的中点.

（1）求证：平面BCWJ_平面4B%为；

（2）若异面直线与BQ所成角为60。，求直三棱柱ABC-4小16的体积.

1

【答案】（1）见证明；（2）-

【解析】

【分析】

（1）由已知中的几何体4BC-4B1G为直三棱柱，AC=BC=1,。是的中点，结合直三

棱柱的几何特征以及等腰三角形三线合一的性质，易得g。J•平面

（2）根据异面直线所成角的定义，以及角的大小，求得Cq=l,利用柱体的体积公式求得

结果.

【详解】（1）证明：由41cl=B]C〔，力〔。=得C1Z）_L4]B]，

而平面4田田1，平面ABB/],平面平面・・.C]。_L平面

又G。：平面BCW，

平面BCiD_L平面

（2）解：连接4G，由4B//AB知是乙IBC1异面直线4Bi与8%所成角,

乙4BC]=60°,易知A4BC]是正三角形，

依题意得4B=ACI=BC]=&,CC1=1,

11

二二棱柱ABC-4[B]C]的体积为2x1x1x1=—.

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，异面直线

所成的角，柱体的体积公式，属于简单题目.

（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）

19.如图1,在平行四边形4BCD中，AB=2AD,4。48=60°，点E是4B的中点，点F是CD的

中点，分另IJ沿DE.BF将A/1DE和ACBF折起，使得平面4DE//平面CBF（点4、C在平面EFDE的

同侧），连接4C、CE,如图2所示.

（1）求证：CE1BF；

（2）当力。=2,且平面CBF1平面BFDE时，求三棱锥C-BEF的体积.

图I

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】

【分析】

（1）由已知可得△而•,为等边三角形，连接好；由已知可得△斑尸为等边三角形.取法的

中点0,连接OC,0E,可得COLBF,EOLBF.从而得到所」平面COE,则BFLCE-,

（2）由（1）知，COX.BF,结合条件可证废LL/亦，求得SASEF，利用锥体体积公式求解即可.

【详解】⑴•••四边形4BCD为平行四边形，4B=24。"川3=60°，点F是CD的中点，

:.CF=CB,又NFCB=60°，，ACBF为等边三角形，

连接EF,由BF=CB=BE,zEBF="FB=60°，得ABEF为等边三角形.

取BF的中点。，连接。C,OE,则COIBQEOIBE

：.BFL^COE,5JIJBF1CE-

（2）由（1）知，CO±BF,又平面CBFJ.平面BFOE,

贝ijCOJ.平面BFDE,又OE1EF,

•/AD=2,AB=2AD=4,〃MB=60°.

：・CO=F，SABEF=£X*=#.

4

11

三棱锥c-BEF的体积V=-xSgEFxCO.xLl.

【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考查空间想象能力与思

维能力，是中档题.

（山东省济南市2019届高三3月模拟考试数学（文）试题）

18.如图所示,在等腰梯形4BCD中，AB//CD,£BAD=45°,4B=2CD=4,点E为4B的中点.

将AADE沿DE折起，使点4到达P的位置，得到如图所示的四棱锥P-EBCD,点M为棱PB的中

点.

(1)求证:PD〃平面MCE；

(2)若平面PDE1平面EBCD,求三棱锥M-BCE的体积.

【答案】(1)见解析；(2)f

【解析】

【分析】

(1)连接BD,交CE于点。，连接。M,易知底面EBCD是平行四边形，则。为BD中点，乂M是

BP中点，可知PDIIM。，则结论可证.

(2)先证明AADE是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD_L平面BCDE,则由(1)

可知MN,平面BCDE,则"N为三棱锥M-BCE的高，底面△BCE的面积容易求得，根据公式

求三棱锥M-BCE的体积.

【详解】(1)在平面图中、

因为BE==CD旦BE//CD,

所以四边形EBCD是平行四边形;

在立体图中，

刀---Z"1

-----------玉

连接BD,交CE于点0,连接0M,所以点。是BD的中点，又因为点M为棱PB的中点，

所以OM〃PD,因为PDC平面MCE,OMu平面MCE,

所以尸D〃平面MCE；

（2）在平面图中，

因为EBCD是平行四边形，所以。E=BC,因为四边形力BCD是等腰梯形，

所以4D=BC,所以4。=DE,因为484。=45。，所以4。J.DE；

在立体图中，P01DE,

乂平面PDE1.平面EBCD,且平面PDEC平面EBCD=DE,PDu平面PDE

所以PDJ.平面EBCD,

由（1）知。M〃P。，所以OML平面EBCD,

在等腰直角三角形4DE中，因为4E=2,所以4C=DE=。，

所以。M=；PD==彳，又SMCE=S^DE=1,

所以-BCE=g-S^BCE.OM=彳•

【点楣】本题考查平面几何与立体儿何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有

一定的综合性，属中等题.

（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一）文科数学试题）

19.如图,直三棱柱中，©c=90°，4B=4C=2,D,E分别为44、%C的中点.

B

(1)证明：DE〃平面4BC；

(2)若力EJ.平面BOC,求Ci到平面BCD的距离.

【答案】(1)详见解析；(2)2.

【解析】

【分析】

(1)取BC中点F,连接4尸£尸，根据中位线证得EF〃ZM，由此证得四边形4DEF为平行四边形,

进而证得DE〃AF,从而证得DE〃平面4BC,(2)连接。F,由4E1平面BDC证得4EJ.DF,得

到四边形4DEF为正方形.由此求得的边长.根据等体积法求得/到面BCD的距离，

根据线面平行的性质求得6到平面BCD的距离.

1

【详解】(1)取BC中点凡连接4F,EF,贝EF=-BB1(

从而EF//DA,EF^DA,

连接AF,则ADEF为平行四边形，

从而DE//AF.

因为DEC平面ABC,4Fu平面ABC,所以DE件面ABC.

(2)连接DF,

因为力EJ.平面8DC,所以4EJ.CF,

平行四边形ADEF是正方形，

于是EF=4F=M，BBI=2EF=2也.

1

面积为一区。.OF=2隹，aBCB［面积为4.。至lj平面BCB1距离=也，

设B］到面BCD距离为d,由%］-8DC=/一BCB］得d=2.

因为BC/BC,所以BQ/平面BCD,所以Ci到平面BCD的距离等于B］到面BC。距高，等于

2.

【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查点到面的距离的求法，属于中档题.

（江苏省七市2019届（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第二次调研考

试数学试题）

16.如图所示,在直三棱柱ABC-ABG中，侧面BCCB为正方形，A.B.IB.C,.设A£与A示交

于点DB£与BG交于点E.

（第16题）

求证：（1）DE〃平面ABBA”

（2）BG_L平面ABC.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用三角形中位线的性质证明OE〃A8,即可证明DE〃平面ABBA:

（2）因为三棱柱ABC-AjBiG为直三棱柱，所以BB|平面ABC,进而B-BiJ_AB,证得

AiBil.平面BCCB”进而AIBILBG,又因为侧面BCGBi为正方形,所以BC|，B£.进

一步证明平面BGL平面ABC即可.

【详解】(1)因为三棱柱ABC-AIBCI为直三棱柱，所以侧面ACGA1为平行四边形.

又AC与AG交于点D,所以D为AG的中点，

同理，E为BJ的中点.所以DE〃AB.又ABu平面ABB|Ai，DEa平面ABB】A|,

所以DE〃平面ABBiA,.

(2)因为三棱柱ABC-AiBiG为直三棱柱，所以BBi，平面AiBCi.

又因为AiBiu平面A1B1C1，所以又A|B|，BCi，BB,.BiGu平面BCC1B1，

BBiCBiG=B],所以ABJ_平面BCGBi.

又因为BGu平面BCGBi，所以A|B|J_BG.又因为侧面BCC1B1为正方形，所以

BC)_LBiC.又A|B|CB|C=B|,A|B|»B|Cu平面A|B|C,

所以BC」平面ABC.

【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是

基础题.

(河南省郑州市2019年高三第二次质量检测数学(文)试题)

7T

18.四棱锥「-48«)中，底面4BCD是边长为2的菱形，^BAD=AP4D是等边三角形，F为AD

的中点，PDLBF.

AB

(1)求证：AD1PB；

(2)若E在线段BC上，且EC=；8C,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG，平面4ECD?

若存在，求四面体。-CEG的体积.

1

【答案】(1)证明见解析；(2)—.

【解析】

【分析】

(1)连接mBD由三线合一可得/〃1即ADVPF,故而平面烟于是加上PB；

(2)先证明杼工平面力及力，再作PF的平行线，根据相似找到G,再利用等积转化求体积.

【详解】连接MBD,

:AP/ID是等边三角形，夕为力〃的中点，

J.PF^AD,

,/底面能力是菱形，/-BAD=（

...△4物是等边三角形，•.•尸为4〃的中点，

：.BFLAD,

又PF,BFu平面PBF,PFCBF=F,

.../〃！平面为冗•:P底平面PBF,

J.ADVPB.

（2）由（1）得砂！/〃，又,：PD1.BF,AD,也匕平面四

BFL平面PAD,又⑸七平面ABCD,

平面用。上平面做a

由（1）得PFYAD,平面PADH平面ABCD=AD,

...小L平面ABCD,

...在△月叱'中，过H作GI1//PF交PC于G,则GH_L平面/8⑺，又GHu面GED,则面6£口，平

面ABCD,

此时CG=|CP,

••.四体D-CEG的体积Vp_cEG=-CED=ACED'GH=-x-x2x2x—X-PF=—.

JooZo1Z

所以存在G满足CG=|CP,使平面DEG1平面4BCD,且

【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱

锥的体积计算，属于中档题.

（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三（上）期末数学试题（文科））

18.如图所示，在三棱锥P-4BC中，P4J.平面ABC,PA=AC=BC,且BC14C.

（1）证明：平面PBC1平面PAC；

1

（2）设棱AB,BC的中点分别为E,D,若四面体PBDE的体积为求APBE的面积.

【答案】（1）见解析；（2）也

【解析】

【分析】

（1）由P4J■平面ABC,得P4J.BC,再由BC14C,得BCJL平面PAC,由此能证明平面PBCJL

平面PAC.

1

（2）设4C=P4=BC=a,则8D=DE=渣，代入四面体分场"的体积公式，求出a=2,由

此能求出△砸•的面积.

【详解】（1）;P4J•平面ABC,BCu平面ABC,：.PALBC,---BCLAC,PAnAC=A,

.•.BCJ.平面PAC,又BCu平面PBC,二平面PBCJ.平面PAC.

(2)设4c=P4=BC=a,则BD=DE=*,四面体PBDE的体积为:

解得a=2,.•.PB=$,APBE的面积SAP8E=，XMX2=识.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查锥体体积公式的应用，考查空间中线线、线面、面

面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（文科）试卷）

17.如图，三棱柱4BC-AB1G的底面ABC是等边三角形，侧面ABB/1_LBCqB1,

48必=45".

（I）求证：AClBBlt

1

（H）M、N分别是棱44卜AG上一点，若BBI=MBC=2,AM=6^=-,求四棱锥

B-4MNC的体积.

【答案】（I）见解析；（II）

【解析】

【分析】

（I）作垂足为D,连接CD证明4D，BCCIB[,ADLCD,证明BDJ.CD,即可证

明平面ACD,推出4clBB].

（II）（方法一）推出侧面4CC/1，平面ACD,作。EL4C,垂足为E,则DE_L面ACC^i，然后

求解四棱锥B-4MNC的体枳.

（方法二）连接AN,三棱锥B-4NC的体积，同理可得，三棱锥B-4MN的体积，然后求解即

可.

【详解】（I）证明：作垂足为D,连接CD因为面4EB»IJ.BCC31，

4叫4cBCqB]=BB1所以/WlBCCR,

CDuBCCR,所以4。J.CD,

不妨设△ABC的边长为a,因为48避4=45°,

所以4D=BD=ga,由4D1CD得，CD—^-a,

^BD2+CD2=a2=BC2,所以BD1CD,

因为4。nCD=D,所以BE1±平面力CD,

力Cu平面ACD,所以AC_LBBi，

1一

（11）（方法一）由（1）知何_144]SAMNC=-x（4M+CN）xAC=^,

由（I）知附]1平面ACD,AA1_L平面ACD,所以侧面4CG&JL平面4CD,

在A4CD中,j^DElAC,垂足为E,则DE1面4/儿,

DE是等腰直角AACD斜边上的高，DE=：AC*,

111

四棱锥E-4MNC的体积U=-Sh=-xSAMNCxDE=§,

1

（方法二）连接AN,三棱锥B-4NC的体积%=乙_BCN=§xS△BCNx4。）

1313i

S&BCN=QXCNxCD=-......（8分）=]x,x1=不

11

同理可得，三棱锥B-4MN的体积乙=VN.ABM=-XSHABMXCD=—,

四棱锥B-力MNC的体积U=V1+V2=^.

【点睛】本题考查几何体的体积的求法，宜线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力.

（广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题）

19.如图所示，四棱锥P-4BCD中，P41菱形ABCD所在的平面，〃1BC=6O°，E是BC中

点，M是PD的中点.

（1）求证：平面力EM1.平面PAD；

（2）若F是PC上的中点，且4B=4P=2,求三棱链P-4MF的体积.

p

【解析】

【分析】

(1)证明：连接4C,因为底面4BC。为菱形，得到4EJ.BC,证得所以4E_L/1D,再利用线

面垂直的判定定理得4E，平面P4D,再利用面面垂直的判定，即可证得平面4EM，平面P4D.

(2)利用等积法，即可求解三棱锥P-4MF的体积.

【详解】(1)证明：连接4C,

因为底面力BCD为菱形，乙4BC=60°，所以A4BC是正三角形，

因为E是BC中点，所以力EJ.BC,又AD“BC,所以4E_L4。，

因为P4J■平面ABC。，4Eu平面4BCD,所以P4J.4E,

又P4cAD=4所以4E_L平面尸4。

又4Eu平面4EM,所以平面力EM_L平面P4D.

(2)因为4B=4P=2,则4D=2,4E=/,

~1111

所以VpMMF=^M-PAF=D-PAF=F-PAD=]'C-PAD

111111J3

=-V二一x—xSxPA=—x-xADxAExPA=——x2xJ3x2=——.

4P~ACD43AMArCnD12224,6

【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中

熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常

见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直

接利用公式进行求解.②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、

分割法、补形法等方法进行求解.

（安徽省安庆市2019届高三模拟考试（二模）数学文试题）

18.如图所示，在三棱柱4BC-&B1C1中，JL平面4BC,4B=/1C,E是线段上

的动点，D是线段BC上的中点.

（I）证明：ADLC^E.

（][）若AB=2,44]=3扃且直线AC、gE所成角的余弦值为了试指出点E在线段B岛上的

位置，并求三棱锥生-的体积.

【答案】（I）见解析；（II）竽

【解析】

【分析】

（I）根据棱柱为直棱柱可得平面力BCJ.平面BCQB],由D为BC中点，得AD垂直BC,

由面面垂直的性质定理可得4。，平面CBB/I，从而得到证明；（H）由直线4。、C/所成角

1

得COS441GE="可得//长度，从而看确定点E的位置，然后利用

1

^B1-A^DE==/7一/即可求得所求体积.

【详解】（I）因为44_L平面4BC,所以CQL平面ABC.

而Cqu平面BCgBI,所以平面4ECJ.平面BCG%.

因为线段BC的中点为。，且AABC是等腰三角形，所以4DJ.BC.

而4。u平面ABC,平面ABCn平面BCCi%=BC,

所以4。±平面CBBiG,又因