讲义~4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式6.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点且垂直于极轴（3）直线过且平行于极轴方程：（1）或写成及（2）（3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程：若圆心为，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，r为半径（2）当圆心位于(a>0),a为半径（3）当圆心位于，a为半径方程：(1)(2)(3)7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。）相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。曲线的参数方程（1）圆的参数方程可表示为.（2）椭圆的参数方程可表示为.（3）抛物线的参数方程可表示为.（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.

2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。

极坐标方程典型例题1．点P的直角坐标为(－eq\r(2)，eq\r(2))，那么它的极坐标可表示为________．解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)))2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.3．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4))).4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为________．解析∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq\r(3)，1)，∴点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为2.5．(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2，得eq\f(\r(2),2)(ρsinθ＋ρcosθ)＝2可化为x＋y－2eq\r(2)＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),\r(2))))2)＝4eq\r(3).考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】►(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，直线l过点A且与极轴所成的角为eq\f(π,3)，则直线l的极坐标方程为________________．[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．【解析】∵点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，∴点A的平面直角坐标为(eq\r(3)，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为eq\f(π,3)，∴直线l的方程为y－1＝(x－eq\r(3))taneq\f(π,3)，即eq\r(3)x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝1或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(4π,3)))＝1.答案ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1或eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－2＝0或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝1或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(4π,3)))＝1.考点二圆的极坐标方程的应用【例2】在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.[审题视点]先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.【解析】注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).考点三极坐标方程的综合应用【例3】►如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．[审题视点]在圆上任取一点P(ρ0，θ0)，建立P点与P的中点M的关系即可．【解析】设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．练习1.化极坐标方程为直角坐标方程为（）A．B．C．D．2．点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A．B．C．D．3．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆4．圆的圆心坐标是（）A．B．C．D．5.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是【解析】圆的圆心直线；点到直线的距离是6.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（A）2(B)(C)（D)7.直线与圆相交的弦长为．【解析】是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.8.曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想.由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得，又，所以.9.点，求圆的极坐标方程．【解析】∵点，在的圆心坐标为（1，0）。∵的半径为。圆的极坐标方程为参数方程典型例题极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t为参数)所表示的图形分别是()．A．直线、直线 B．直线、圆C．圆、圆 D．圆、直线解析∵ρcosθ＝x，∴cosθ＝eq\f(x,ρ)代入到ρ＝cosθ，得ρ＝eq\f(x,ρ)，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋t，))相加得x＋y＝1，表示直线．答案D2．若直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，,y＝2＋3t))(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.解析参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，,y＝2＋3t，))所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)))＝－1，解得k＝－6.答案－63．二次曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝3sinθ))(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析题中二次曲线的普通方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1左焦点为(－4,0)．答案(－4,0)4．(2011·广州调研)已知直线l的参数方程为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1＋4t))(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)sinθ，则直线l与圆C的位置关系为________．解析将直线l的参数方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1＋4t))化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝2eq\r(2)sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－eq\r(2))2＝2，圆心(0，eq\r(2))到直线y＝1＋2x的距离为eq\f(\r(2)－1,\r(1＋4))，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．答案相交5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ＜π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它们的交点坐标为________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ＜π)得，eq\f(x2,5)＋y2＝1(y≥0)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)得，x＝eq\f(5,4)y2，∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝eq\f(4,5)或y2＝－4(舍去)．则x＝eq\f(5,4)y2＝1又θ≥0，得交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))考点一参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝2－sinθ；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝5＋\f(\r(3),2)t.))[审题视点](1)利用平方关系消参数θ；(2)代入消元法消去t.解(1)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x－3，,sinθ＝2－y，))由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋eq\f(\r(3),2)t中，得y＝5＋eq\f(\r(3),2)(2x－2)，即eq\r(3)x－y＋5－eq\r(3)＝0就是它的普通方程．考向二直线与圆的参数方程的应用【例2】已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝4－2t))(参数t∈R)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋2，,y＝2sinθ))(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝4－2t))消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋2，,y＝2sinθ))消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝eq\f(|2×2＋0－6|,\r(22＋1))＝eq\f(2\r(5),5)，所以所求弦长为2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(8\r(5),5).考点三直线与圆锥曲线的参数方程(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosφ，,y＝3sinφ))(φ为参数)的右焦点，且与直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝3－t))(t为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答]由题设知，椭圆的长半轴长a＝5