第1章 直角三角形（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年八年级数学下册分层训练AB卷（湘教版）（解析版）

班级姓名学号分数第1章直角三角形（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2022春·江苏·八年级期中）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（）A． B．C． D．，，【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和D即可；根据三角形的内角和定理判断B和C即可．【详解】解：A．∵，∴，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵，∴，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵，，∴最大角，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵，∴，∴以a，b，c为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于180°是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．2．(本题4分)（2022春·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期中）如图，在中，，，，，则的长为（

）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解．【详解】解：，，，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．3．(本题4分)（2022春·河北保定·八年级统考期中）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直角三角形的性质求得的度数，再利用三角形外角的性质，求解即可．【详解】解：由题意可得：，∴，∴，∴，故选：C【点睛】此题考查了直角三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．4．(本题4分)（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在等边的，边上各取一点，，使，，相交于，若，则点到的距离等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】作于点，则，先证明，得，再推导出，则，而，得，即可根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．【详解】解：作于点，则，是等边三角形，，，在和中，，，，，，，，，点到的距离等于，故选：C．【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明是解题的关键．5．(本题4分)（2022春·广西河池·八年级统考期中）如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】由，可求得，则可求得的长，由平分，根据三线合一的知识，即可求得答案．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵DE⊥BC，∴∠CDE=90°，在中，，∵，∴，∵平分交于点D，且，∴，∴．故选：D．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．(本题4分)（2022春·辽宁葫芦岛·统考期中）如图，是正方形内一点，将绕点按顺时针旋转到，若，则的长是（

）A．1 B． C． D．6【答案】B【分析】根据旋转的性质，可得，，然后利用勾股定理即可得答案．【详解】解：由旋转的性质，可得，，在中，由勾股定理，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的应用，解题关键是利用勾股定理计算的长．7．(本题4分)（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，的内部作射线，过点M分别作于点A，于点B，，连接，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，根据全等三角形的性质可得的度数，进一步即可求出的度数．【详解】解：∵，，∴，∴，∵于点A，于点B，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8．(本题4分)（2022春·江苏·八年级期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（）A．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【分析】过点作于，由角平分线的作法可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，根据过直线外一点到直线的垂线段最短，最短为2，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，由角平分线的作法可知，是的角平分线，点为线段上的一个动点，最短，，，，，，，，，，的面积．故选：B．【点睛】本题考查的是作图基本操作，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质，过直线外一点到直线的垂线段最短等，理解题意，然后熟练掌握运用角平分线的性质是解题的关键．9．(本题4分)（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7【答案】B【分析】先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，则，整体代入计算即可；【详解】∵正方形的面积为，∴，设，∵，∴，中，由勾股定理得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，则的值是；故选：B．【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题．10．(本题4分)（2022春·山东德州·八年级校考期中）如图，在中，，平分交与点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的是（

）①若，则；②；③；④．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，由外角的性质和直角三角形的性质可求，故①正确；先求出，由直角三角形的性质可得，故②正确；先证明可得，得到，由直角三角形的性质可得只有当时，，与已知条件可得③错误；在上截取，连接，先证明，进而证明，，即可得到，从得到④正确，问题得解．【详解】解：①∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故①正确；②∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故②正确；③如图，延长，交于点H，∵，∴，∴，∴点E为线段中点，∴只有当时，，由题意得，∴,故③错误；④如图，在上截取，连接，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正确．故选：B【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题(共32分)11．(本题4分)（2022春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，，则点D到的距离为______．【答案】【分析】过D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得．【详解】解：如图所示，过D作于E，∵的平分线交于点D，，，∴，∴点D到的距离为，故答案为：．【点睛】本题本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．(本题4分)（2022春·浙江·八年级校联考期中）如图，中，，，，D是的中点，则的面积等于______．【答案】【分析】，，，得到，由勾股定理求出，是的中点，则的面积等于的面积一半，即可得到答案．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵D是的中点，∴的面积等于的面积一半，即的面积，即的面积等于，故答案为：【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．13．(本题4分)（2022春·浙江·八年级校联考期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为______．【答案】【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【详解】解：在中，，设秋千的绳索长为，则，故，解得：，答：绳索AD的长度是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．14．(本题4分)如图中，，点D在上，，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则______．【答案】【分析】过点C作于H，证明，得到，由直角三角形的性质可得，由线段的数量关系可求出答案．【详解】解：过点C作于H，∵，，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．(本题4分)（2022春·广东阳江·八年级统考期中）如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为_____．【答案】【分析】根据勾股定理的逆定理得到，得到点B，点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】连接,∵，∴，∴，∵D为的中点，，∴垂直平分，，∴点B，点C关于直线对称，∴∴当点C、P、E三点共线时，最小当时，最小，即的值最小，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．16．(本题4分)（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为和．若，则的值是___________．【答案】3【分析】连接，根据勾股定理即可进行解答．【详解】解：如图：连接，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了勾股勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．17．(本题4分)（2022春·山东烟台·统考期中）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是___________丈．【答案】5【分析】根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可．【详解】如图所示：表示葛藤的最短长度，由题意可知：（丈），（丈），在Rt中，（丈）．故答案为：5.【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．18．(本题4分)（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得________．【答案】【分析】利用勾股定理求出，观察、、，找出规律：，进而求出．【详解】解：……∴故答案为：．【点睛】本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键．三、解答题(共78分)19．(本题8分)（2022春·浙江·八年级期中）如图，，相交于点，，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由“HL”可证RtRt，再根据全等三角形的性质即可得解；（2）由全等三角形的性质可得，再根据角的和差即可求解．【详解】（1）∵，∴和都是直角三角形，在Rt和Rt中，，∴RtRt（HL），∴（2）在Rt中，，∴，由（1）可知RtRt，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用HL证明RtRt是本题的关键．20．(本题8分)（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，有两个长度相等的滑梯与（即），滑梯的高与滑梯的水平方向EF的长度相等（即），且，问两个滑梯的倾斜角与的大小有什么关系？请说明理由．【答案】两滑梯的倾斜角与互余，理由见解析【分析】已知和中，利用“”可判断两三角形全等，根据确定找对应角相等，根据直角三角形两锐角的互余关系，确定与的大小关系．【详解】解：与互余，理由如下：在和中，，∴，∴，又∵，∴，即两滑梯的倾斜角与互余．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行证明．21．(本题8分)（2022春·山东济南·八年级校联考期中）如图，四边形中，，，，，．(1)判断是否是直角，并说明理由．(2)求四边形的面积．【答案】(1)是直角．理由见解析(2)234【分析】（1）连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；（2）根据即可得出结论．【详解】（1）解：是直角．理由：连接，，，，，是直角三角形，即是直角；（2）解：，．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．22．(本题10分)（2022春·浙江·八年级期中）如图，在中，．点D为边上一点，平分，于点E，点G为上一点．连接并延长与相交于点F，连接．已知．(1)证明：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用角平分线的定义及定理证明三角形全等；（2）先求出，再求出，最后利用三角形的内角和即可求解．【详解】（1）解：，，，，平分，，在和中，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的外角，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．23．(本题10分)（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？【答案】(1)米(2)不是4米，是米，见解析【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）先求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得到．【详解】（1）解：由题意得：米，米，∴（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）梯子底部不是水平方向滑动了4米，由题意得：米，∴米，∴（米），则：（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．24．(本题10分)（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到M处的距离为100海里．(1)求灯塔A到航线MN的距离；(2)在航线MN上有一点B，且∠MAB＝15°，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从M到B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）【答案】(1)50海里(2)（）小时【分析】（1）由题意得到∠FMA=60°，AM=100海里，求得∠AMB=30°，过点A作AT⊥MN于T，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠ABT=∠AMB+∠BAM=45°，求得AT=BT=50（海里），根据勾股定理即可得到结论．（1）解：由题意可得：∠FMA=60°，AM=100海里，∴∠AMB=30°，过点A作AT⊥MN于T，∴∠ATM=90°，∴AT=AM=50，∴灯塔A到航线MN的距离是50海里；（2）∵∠AMB=30°，∠BAM=15°，∴∠ABT=∠AMB+∠BAM=45°，∵∠ATM=90°，∴∠ABT=∠BAT，∴AT=BT=50（海里），在Rt△AMT中，∠ATM=90°，根据勾股定理得，MT==（海里），∴BM=MT-BT=（）海里，∴小时；∴轮船从M到B处所用的时间为小时．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25．(本题12分)（2020春·江苏无锡·八年级统考期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：（1）试说明；（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．【答案】（1）证明见解析；（2）5cm【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】证明：（1）如图：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1＝∠3，由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，∴△ADC≌△CEB；（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，∵∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2，即（4x）2+（3x）