安徽省合肥市庐江县裴岗中学2022年高一数学文期末试卷含解析

安徽省合肥市庐江县裴岗中学2022年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在上的函数和，其图象如下图所示：给出下列四个命题：①方程有且仅有6个根

②方程有且仅有3个根③方程有且仅有5个根

④方程有且仅有4个根其中正确命题的序号（

）A．①②③

B.②③④

C.①②④

D.①③④

参考答案：D2.设奇函数的定义域为且，若当时，的图象如右图,则不等式的解是A.

B.

C．

D.参考答案：D略3.设函数,对实数a,b,且,满足,下列a与b的关系,及b的取值范围正确的是(

)

A.,且

B.,且

C.,且

D.,且参考答案：C4.已知全集I=R，M=，N=，则(CM)∩N等于（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A5.某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（）A．20 B．40 C．60 D．80参考答案：B【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据甲乙丙的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，∴从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为，故选：B．6.已知是两个单位向量，且=0．若点C在么∠AOB内，且∠AOC=30°，则

A．

B．

C

D．参考答案：D7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：

甲的成绩：环数78910频数5555乙的成绩：环数78910频数6446丙的成绩：环数78910频数4664分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差，则有（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（

）A．平行

B．相交

C．垂直

D．互为异面直线参考答案：C9.下列说法正确的是（

）A、

B、C、

D、参考答案：C略10.当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C当时，单调递增，单调递减故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是

参考答案：12.已知直线2x+y﹣2=0与直线4x+my+6=0平行，则它们之间的距离为．参考答案：【考点】两条平行直线间的距离．【分析】由2m﹣4=0，解得m．再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：由2m﹣4=0，解得m=2．直线4x+my+6=0化为：2x+y+3=0．经过验证：m=2时，两条直线平行．它们之间的距离d==．故答案为：．13.已知则

．参考答案：14.已知二次函数，如果存在实数m,n(m<n),使得的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]，则

.参考答案：－415.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，点P的坐标为___________参考答案：略16.已知，则的值________.参考答案：－4∵∴

17.已知函数f（x）=sin（x﹣α）+2cosx，（其中α为常数），给出下列五个命题：①存在α，使函数f（x）为偶函数；②存在α，使函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的最小值为﹣3；④若函数f（x）的最大值为h（α），则h（α）的最大值为3；⑤当α=时，（﹣，0）是函数f（x）的一个对称中心．其中正确的命题序号为（把所有正确命题的选号都填上）参考答案：①④⑤【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】推导出f（x）=5﹣4sinαsin（x+θ），对于①，当α=kπ+π2（k∈Z），f（x）=cosx或3cosx，则为偶函数；对于②，f（x）不为奇函数；对于③，f（x）的最小值为﹣5﹣4sinα；对于④，f（x）的最大值为h（α）=5﹣4sinα，h（α）的最大值为3；对于⑤，（﹣，0）是函数f（x）的一个对称中心．【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣α）+2cosx=sinxcosα+cosx（2﹣sinα）=cos2α+（2﹣sinα）2sin（x+θ）（θ为辅助角）=5﹣4sinαsin（x+θ）．对于①，由f（x）=sinxcosα+cosx（2﹣sinα），当α=kπ+（k∈Z），cosα=0，sinα=±1，f（x）=cosx或3cosx，则为偶函数．则①对；对于②，由f（x）=sinxcosα+cosx（2﹣sinα），可得2﹣sinα∈[1，3]，即cosx的系数不可能为0，则f（x）不为奇函数，则②错；对于③，f（x）的最小值为﹣5﹣4sinα，则③错；对于④，f（x）的最大值为h（α）=5﹣4sinα，当sinα=﹣1时，h（α）的最大值为3，则④对；对于⑤，当α=时，f（x）=sinxcos+cosx（2﹣sin）=cosx+sinx=3sin（x+），当x=﹣，f（x）=3sin（﹣+）=0，即有（﹣，0）是函数f（x）的一个对称中心，则⑤对．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015秋淮北期末）如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B． （Ⅰ）求证：平面GNM∥平面ADC′； （Ⅱ）求证：C′A⊥平面ABD． 参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ADC′，NG∥平面ADC，再利用面面平行的判定定理证明平面GNM∥平面ADC′； （Ⅱ）利用AD⊥平面C′AB，证明AD⊥C′A，利用勾股定理的逆定理，证明AB⊥C′A，再利用线面垂直的判定定理证明C′A⊥平面ABD． 【解答】（本题满分为10分） 解：（Ⅰ）因为M，N分别是BD，BC′的中点， 所以MN∥DC′． 因为MN?平面ADC′， DC′?平面ADC′，所以MN∥平面ADC′． 同理NG∥平面ADC′． 又因为MN∩NG=N， 所以平面GNM∥平面ADC′…（5分） （Ⅱ）因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB． 又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B=B，所以AD⊥平面C′AB． 因为C′A?平面C′AB，所以AD⊥C′A． 因为△BCD是等边三角形，AB=AD， 不妨设AB=1，则BC=CD=BD=，可得C′A=1． 由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A． 因为AB∩AD=A， 所以C′A⊥平面ABD…（10分） 【点评】本题主要考查了面面平行，线面垂直的判定，考查了学生分析解决问题的能力、空间想象能力和推理论证能力，正确运用面面平行、线面垂直的判定定理是解题的关键，属于中档题． 19.已知，的夹角为45°.（1）求方向上的投影；（2）求的值;（3）若向量的夹角是锐角，求实数的取值范围.参考答案：（1）1；（2）；（3）.试题分析：（1）由射影定义可得在方向上的投影；（2）利用公式可求得向量的模；（3）由与的夹角是锐角，可得，且与不能同向共线，即可解出实数的取值范围.试题解析：（1）∵，，与的夹角为∴∴在方向上的投影为1（2）∵∴（3）∵与的夹角是锐角∴，且与不能同向共线∴，，∴或20.已知函数，函数（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．参考答案：解：（1）∵，∴，令u=mx2+2x+m，则，当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；当m≠0时，若的定义域为R，则，解得m＞1，综上所述，m＞1

…（2）=，x∈[﹣1，1]，令，则，y=t2﹣2at+3，∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，故当时，时，；当时，t=a时，；当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a．综上所述，…（3），假设存在，由题意，知解得，∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…考点：对数函数的图像与性质．专题：分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．分析：（1）若的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；（2）令，则函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化为：y=t2﹣2at+3，，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；（3）假设存在，由题意，知解得答案．解答：解：（1）∵，∴，令u=mx2+2x+m，则，当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；当m≠0时，若的定义域为R，则，解得m＞1，综上所述，m＞1

…（2）=，x∈[﹣1，1]，令，则，y=t2﹣2at+3，∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，故当时，时，；当时，t=a时，；当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a．综上所述，…（3），假设存在，由题意，知解得，∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）． （1）求圆弧C2的方程； （2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由． 参考答案：【考点】圆的标准方程． 【专题】计算题；转化思想；直线与圆． 【分析】（1）根据圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，可得M，N的坐标，从而可得直线AM的方程为y﹣6=2（x﹣17），进而可求圆弧C2所在圆的圆心为（14，0），圆弧C2所在圆的半径为=29﹣14=15，故可求圆弧C2的方程； （2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x﹣29=0，分别与圆弧方程联立，即可知这样的点P不存在． 【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5， 解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分 则直线AM的中垂线方程为y﹣6=2（x﹣17）， 令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为（14，0）， 又圆弧C2所在圆的半径为29﹣14=15， 所以圆弧C2的方程为（x﹣14）2+y2=225（5≤x≤29）…5分 （2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x﹣29=0…8分 由，解得x=﹣70（舍去）9分 由，解得x=0（舍去）， 综上知，这样的点P不存在…10分 【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查