2020小学奥数读本-数论之位值原理

数论是什么？

可以理解为是关于整数的一些结论、论断、定论、推论，比如：

一个数的末尾数如果能被2或者5整除，那么这个数就能被2或者5整除，

偶数加偶数一定等于偶数，奇数乘以奇数一定等于奇数，

如果两个数除以同一个数得到的余数相同，那么这两个数的差一定能被这个数整除,

等等。

数论在数学中的地位是很独特的，享有“数学王子”之称的德国著名数学家高斯就曾说过

“如果说数学是科学的皇后，那么数论就是数学中的皇冠”，历史上的一些悬而未决的数论疑

难问题，常被人们称为“皇冠上的明珠”，而“摘取”这些明珠的人往往会获得极其崇高的荣

誉并名载史册。

数论是数学的一个重要分支，位值原理（有的书称为位值原则）属于数论的一部分。

位值原理是什么咱们暂且不用理会，咱们从一道例题开始。

例题❶：有三个不同的数（都不为0）组成的所有的三位数的和是1332,这样的

三位数中最大的数是多少？（2001年•小学数学奥林匹克预赛试题）

临题分析

试题中只有一个数字，是什么样的三位数是未知的，那么要计算出每位数字吗？信息似乎太

少了，可能不是的。关键在于试题给出的信息，“三个不同数组成的所有三位数字的和是1332”、

“三位数中最大数”，主要是这两个条件，你能从这两条信息中提炼出什么？可能因此要得出

三位数字之间的关系，进而要做一些推导才能得到答案。

从题目得信息中理出解题头绪，需要靠你平时的训练积累，一般的数论试题都需要做一些推

导和推理才能得出所要的答案。

解题过程

假设这三个不为零的不同的数分别是a、b、c,根据题目描述所有的三位数的和近7+不

+bac+bca+cab+cba=1332。

即(lOOXa+lOXb+c)+(100Xa+10Xc+b)+(lOOXb+lOXa+c)+(100

Xb+10Xc+a)+(lOOXc+lOXa+b)+(lOOXc+lOXb+a)=1332

进一步222Xa+222Xb+222Xc=1332

222X(a+b+c)=1332

所以a+b+c=6

因为a、b、c各不相同，所以a、b、c只能是1、2、3这三个数，那么组成的最大三位数就

是321o

题后思考

/注意点

1一般我们表示由三个数字a、b、c所组成的三位数用ibc来表示，而;

abc在方程里表示aXbXc。彳

2abc展开是100Xa+10Xb+c,简洁的写法是100a+10b+co

类似地，abed二(1000Xa+100Xb+10Xc+d),

abcde=(10000Xa+1000Xb+100Xc+10Xd+e),

这个是以后做关于位值原则试题的经常用到的基本依据，一定要好好

理解和掌握！

3注意答题的书写格式。

“即”、“进一步”还有“也就是”、“故”都是表示叙述的承接。

田试题中只有一个数字，通过计算推导和推理得出了正确答案，那么我们会进一步地想,

题目中出现的是“三个不同数组成的所有三位数字的和是1332”，为什么是1332呢？因为我们

最后得出了三个不同数组成的所有三位数字的和是可以用222X(a+b+c)来表示，而1332

可以被222整除，从而可以得出a+b+c的值，就是知道了三位数字的和，那我们会想：如

果是二位数或者四位数有什么变化吗？是不是可以换成其他的数呢？

|变换试题①：有二个不同的数(都不为0)组成的所有的二位数的和是44,这

!样的二位数中最大的数是多少？

।

解答：假设这二个不为零的不同的数分别是a、b,根据题目描述所有的二位数的和就是lb

+ba=44。

即(10Xa+b)+(lOXb+a)=44

进一步11Xa+11Xb=44

11X(a+b)=44

所以a+b=4

因为a、b各不相同，所以a、b只能是1、3这二个数，那么组成的最大二位数就是31。

想一想：a+b=4,a、b不同且不为0,那么推理出a、b组成的最大两位数是31,如果a+

b等于其他数呢？比如a+b=7(就是两位数的和是77),最大的两位数是多少呢？答案是61,

如果a+b=9(就是两位数的和是99),那么最大数就是81,想一想为什么？

变换试题：

I变换试题②：有二个不同的数(都不为0)组成的所有的二位数的和是66,这

|样的二位数中最大的数是多少？

答案：最大的两位数是51。

还可以变换：

!变换试题③：5、7、8组成的所有的三位数的平均数是多少？

答案：根据前面我们得到的公式就是222X(5+7+8)4-6=740o

是不是思维活跃了一些？

继续变换。

I变换试题④：a、b、c是1〜9中的3个不同的数字，用它们组成的6个无重复］

■!的数字的所有三位数字之和是(a+b+c)的多少倍？■1

!___________________________________________________________________________!

答案：222o

I变换试题⑤：从1〜9中取出3个数字，用这三个数字可组成6个没有重复的!

!三位数，如果这6个三位数之和是2220,那么这6个三位数中最小的可能是多少？I

!I

II

I最大的可能是多少？(小学数学奥林匹克训练题库试题)!

II

解答：假设这三个数字是a、b、c,那么根据前面的描述，222X(a+b+c)=2220,那

么a+b+c=10,所以6个三位数中最小的可能是127,最大的是721。

I变换试题⑥：一个三位数除以11所得的商等于这三位数的各个数字之和，求|

I这三位数。(小学数学奥林匹克训练题库试题)।

I!___________________________________________________________________________I_!

解答：假设这三位数,那么就有lOOXa+lOXb+c=(a+b+c)Xll,进一步

(一般称为这一步叫化简)：a=(b+10Xc)+89。

因为a、b、c是1〜9中的数字，那么a不等于0,可能等于1或者2,排除2的可能，因为

b+10Xc不可能超过100,所以a等于1,也就是b+10Xc等于89,所以b=9,c=8,综合结

论：a=l,b=9,c=8o

我们来看是四位数的情况。

!变换试题⑦：有四个不同的数(都不为0)组成的所有的四位数的和是66660,1

1这样的四位数中最大的数是多少？；

II

临题分析

通过前面的三位数字的情况，我们知道了解决这类问题的手段和方式，四位数字相比较两位

数和三位数不过就是复杂一些而已，方法是相通的，一般情况下就是要得出各个位上的数之间

的关系，再应用一些数学知识来推理，仅此而已。

解题过程

假设这四个不为零的不同的数分别是a、b、c、d,那么以a打头的四位数就有6个（排列

组合），分别是

就是abed、abdc、acbd、acdb、adbc、adcb,也就是a打头的四位数

的所有四位数的和是

(lOOOXa+100Xb+10Xc+d)+(lOOOXa+lOOXb+10Xc+d)+(lOOOXa+

100Xc+lOXb+d)+(lOOOXa+100Xc+lOXd+b)+(lOOOXa+100Xd+10X

b+c)+(lOOOXa+100Xd+10Xc+b)=6000Xa+222Xb+222Xc+222Xd

那么我们依照规律,

以b打头的所有四位数的和一定是6000Xb+222Xa+222Xc+222Xdo

以c打头的所有四位数的和一定是6000Xc+222Xa+222Xb+222Xdo

以d打头的所有四位数的和一定是6000Xd+222Xa+222Xb+222Xco

依照题目意思，就有

(6000Xa+222Xb+222Xc+222Xd)+(6000Xb+222Xa+222Xc+222X

d)+(6000Xc+222Xa+222Xb+222Xd)+(6000Xd+222Xa+222Xb+222

Xc)=6666Xa+6666Xb+6666Xc+6666Xd=66660

6666X(a+b+c+d)=66660

a+b+c+d=10

因为a、b、c、d各不相同，所以a、b、c只能是1、2、3、4这三个数，那么组成的最大三

位数就是4321o

题后思考

我们依据以a打头的四位数组成为6000Xa+222Xb+222Xc+222Xd,推理出b、c、d

打头的四位数组成，没有再一一画图和计算，是依照合理推理的基础上进行的，这种能力需要

练习和加强。

根据前面的说明，66660是不是可以换成其他的数字？

后面的试题都是我根据原题变换得来的，只要掌握了基本方法，类似的题目都可以据此推导

和推理出来。

想过是五位数字的情况吗？五位数的情况比较复杂了，想一想就可以了，5位数字有120种

组合，但解题的方法是相同的。

田看了上面的试题和解答，你可能比较迷惑，这些知识在课本上没有出现，老师似乎也

没有讲过，的确，这些知识属于奥数的范畴，但解题需要的推理知识却是四年级及以上小学生

可以具备的，也是应该具备的。

这些知识点就是位值原理以及它的衍生。

什么是位值原理？(有的称为位值原则)

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，

每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，

就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百，等等。

这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个

某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫

做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二

位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。

□口□□□□□□□

千

十

十

个

亿

千

万

百

百

位

位

位

位

万

位

位

万

万

位

位

位

用阿拉伯数子和位值原理，可以表示出一切整数。例如，718表示7个百，1

个十，8个一，即718=7X100+1X10+8o根据问题的需要，有时我们也用字

母代替阿拉伯数字表示数，如：abc表示a个百，b个十，c个一，其中a可以

是1〜9中的数码但不能是o,b和c是0〜9中的数码。

这些知识简单吧，可别小看，这可是奥数经常考的范围。

我们继续通过例题来学习：

例题❷：一个两位数，个位数字比十位数字小1,把个位数字和十位数字交换

位置后得到一个新的两位数，原数和新数相加的和是77,求原数。

临题分相

题目主要提供了两条信息：一是个位数字比十位数字小1；二是交换位置后原数和新数相加

的和是77,一般情况下，两个未知数，两条信息，足以求出这两个未知数。

解题过程

假设原数是ab,那么新数就是ba。

原数ab=10Xa+b

新数ba=10Xb+a

根据题目描述，ab+ba=77

即lOXa+b+lOXb+a=77

11X(a+b)=77

a+b=7

7分解开有三种组合，7=1+6,7=2+5,7=3+4,

因为原数中的个位数字比十位数字小1,所以lb=43o

题后思考

上面的解答很简单，还有一个快速解法。

在我们的知识储备里有：十位数字比各位数字大1,交换后的结果一定是原数比

新数大9,所以新数加9就等于原数，也可以是新数=原数-9o

根据题意：

因为原数+新数=77

也就是原数+(原数-9)=77

即原数X2=77+9=86

所以原数=43

很简单直接吧？！

是不是对“十位数字比各位数字大1,交换后的结果一定是原数比新数大9”不理解？我们

可以举例：98(89)、87(78)、76(67)、65(56)、54(45)、43(34)、32(23)、21(12)。

这也是可以证明的：

假设十位数上的数字是a,那么个位数字就是a-1

原数=10Xa+(a-1)=11Xa-1

新数=10X（a-1）+a=llXa-10

那么原数-新数=（HXa-1）-（HXa-10）=9

对于上面的这道题，我们做了两种解法，如果我们做过数字谜的试题（参看算式谜专题），

这个时候可能也会联想到用下面的方法来做。

假设原数是lb,那么就是

ab

+ba

77

两个数字之和的尾数等于7,只有（1、6）,（2、5）,（3、4）,（7、0）,（8、9）,根据题意,

个位数字比十位数字小1,那么只有（3、4）的组合了，（8、9）要进位不合适，答案就是43。

上面的练习和拓展思考让我们知道了位值原理（位值原则），知道和习惯了不同位数的表示

方法，这些知识点有广泛的应用，当然也要进一步结合其他的知识点来解题，这些知识点需要

日常多训练来巩固和加强。

我们来看略微复杂一点的例子：

例题❸：用1、2、3、4、5、6、7七个数字组成三个两位数，一个一位数。已知

;这4个数的各个数位上的数字都不相同，并且4个数的和等于100,如果要求其中*

iI

最大的两位数尽可能大，那么这个最大的两位数是多少？

（2002年・南京小学生智力数学冬令营试题）

临题分析

这个题目有7个未知数，最后要得到一个两位数，看似不好清理头绪，但依照我们前面的解

题方式，肯定是要根据题目描述来得到明确的表达式或者等式，再通过位值原理来推导。

题目中的信息点:

七个数字，各不相同，但是都是1、2、3、4、5、6、7中某个数字;

三个两位数、一个一位数；

4个数的和等于100；

最大的两位数尽可能大。

解题中都要把这些信息点准确地用数学方式来表达o

解题过程

假设组成的四个数字分别是ab、cd、ef、g,

那么ab+cd+ef+g=100

(10Xa+b)+(lOXe+d)+(10Xe+f)+g=100

10X(a+c+e)+(b+d+f+g)=100①

从上面的等式中我们可以推理出(b+d+f+g)必须是10的倍数，

因为a、b、c、d、e、f、g是1、2、3、4、5、6、7这个7个数字，

a+b+c+d+e+f+g=l+2+3+4+5+6+7=28②

那么(b+d+f+g)不可能大于28,也就只有两种可能，要么等于10,要么你等

于20,

当(b+d+f+g)等于10时，根据

a+b+c+d+e+f+g=28推出a+b+c=18

而根据前面的

10X(a+c+e)+(b+d+f+g)=100

推出(a+c+e)=9显然是不符合的。

当(b+d+f+g)等于20时，根据

a+b+c+d+e+f+g=28推出a+b+c=8

而根据前面的

10X(a+c+e)+(b+d+f+g)=100

推出(a+c+e)=8

两者是相符合的。

所以我们推导出：

a+c+e=8

b+d+f+g=20

因为a、b、c、d、e、f、g是1、2、3、4、5、6、7这个7个数字，并且a、c、e是十位数

上的数字，所以只能是a、c、e分别是1、2、5,个位数上的b、d、f、g分别是3、4、6、1,

最后我们得出结论，最大的两位数是57。

题后思考

态注意点

1我们依据10X(a+c+e)+(b+d+f+g)=100得出(b+d

+f+g)必须是10的倍数。

2我们依据a+b+c+d+e+f+g=28得出(b+d+f+g)要］

么等于10,要么等于20。；

3根据两个等式来推导(b+d+f+g)的结果。:

规范写法：

在实际书写时，比如有10X(a+c+e)+(b+d+f+g)=100,我们后面要引用

它，往往在它的后面做个标记，如①，那么后面要用的时候就可以写成：根据①可以推导出……，

而不用像我们在上面解题中再次书写一遍等式，想一想，如果解题过程中要引用多次，那是不

是要重复书写很多次呢？！

从这道试题的解答中可以看出，数论的试题给出的条件信息比较隐晦，解题过程也就是从这

些条件信息中一步一步地推演，其中用枚举法和排除法是个不错的解题方式。

例题❹：a,b,c是1〜9中不同的数字，用a、b、c共可以组成6个没有重复的

三位数，如果其中5个数字的和是2234,那么另外一个数是多少？

临题分析

还记得开始我们做过的试题吗？a、b、c组成的6个不同的数字可以表示为222X(a+b+

c),5个数字之和是知道了，总和可能是个范围值，要做推理。

解题过程

三个不为零的不同的数分别是a、b、c,根据题目描述所有的三位数的和就是abc+acb+

bac+bca+cab+cbao

即(lOOXa+lOXb+c)+(lOOXa+10Xc+b)+(lOOXb+10Xa+c)+(100

Xb+10Xc+a)+(lOOXc+lOXa+b)+(lOOXc+lOXb+a)

进一步222Xa+222Xb+222Xc

222X(a+b+c)

因为这六个数字中5个数字的和是2234,那么222X(a+b+c)一定大于2234,也就是

222X(a+b+c)>2234,得出a+b+c>10o

还有一个三位数就算它是987开头，那么应该有222X(a+b+c)<2234+987,也就是

222X(a+b+c)<3221,得出a+b+c<15o

综合以上推导，a+b+c可能是11、12、13、14o

如果a+b+c=ll,那么根据222XU-2234=208,得出a、b、c三个数是2、0、8,a+

b+c=10,不符合。

如果a+b+c=12,那么根据222X12-2234=430,得出a、b、c三个数是4、3、0,a+

b+c=7,不符合。

如果a+b+c=13,那么根据222X13-2234=652,得出a、b、c三个数是6、5、2,a+

b+c=13,符合题意。

如果a+b+c=14,那么根据222X14-2234=874,得出a、b、c三个数是8、7、4,a+

b+c=19,不符合。

所以，另外一个数字是652。

题后思皆

这道试题，通过解答我们知道在确定a+b+c范围的情况下通过枚举来找出合适答案，其

实我们也可以用另外的方法来做。

因为用a、b、c组成的6个三位数之和是222的倍数，如果a+b+c的值等于

10,222X10=2220,2220<2234,另外一个三位数肯定大于0,所以a+b+c的值必须大于10；

如果a+b+c的值等于15,222X15=3330,3330-2234=1096,1096不是三位数，所以a+b

+c的值必须小于15,综合所得a+b+c>10且a+b+c<15,那么a+b+c就只能取11、

12、13、14,再----验证，这也是一种解题方法。

通过余数来做更直接一些:

因为用a、b、c组成的6个三位数之和是222的倍数，而2234+222=10……14,

222-14=208,也就是说剩下那个数要么等208,要么就是222的倍数+208,经过验证222X

2+208=652符合题意，所以另外一个数字是652。

记得以前我们在做除法运算的时候，老师教过我们：

如果一个数,―它的各位数字左和能被3整除的话,…这个数一定熊被3整除,.你

知道原理并证明吗?

“知其然，更知其所以然"，在学习数学的过程中，对自己有这样的

明确要求能充分凸显你的独立和优秀。

现在我们有了一些知识积累了，能不能证明这个原理?

这里我只做两位数和三位数的证明，多位数的原理是一样的，当然也可以采用我们下面用到

的证明方式。

假设两位数为ab,那么ab=10Xa+b=3X3Xa+a+b,如果a+b能被3整除的话，那

么3X3Xa+a+b也一定能被3整除，从而ai一定能被3整除。

假设三位数为abc,abc=100Xa+lOXb+c=99Xa+9Xb+a+b+c=3X33Xa+3

X3Xb+a+b+c,如果a+b+c能被3整除的话，那么lOOXa+lOXb+c就能被3整

除，也就是al工能被3整除。

发现了吗？对于9也一样，因为：

ab==9Xa+a+b

abc==99Xa+9Xb+a+b+c=9X(llXa+b)+a+b+c

也就是说如果一个数，它的各位数字之和能被9整除的话，这个数一定能被9整除。

注意：这个结论反过来也成立，如果一个数能被3或者9整除，那么这个数的各位数字之和

也能被3或者9整除。

例题❺：将一个四位数的顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数称为原数

i

g的反序数)，新数比原数大8802,这个四位数是多少？

临题分析

这道试题给定的信息比较明确，原数的反序数比它大8802,这可以表示为一个等式，这是

解题的入口，正确表达后进行推理即可。

解题过程

假设这个四位数是aS,根据题意

abed-deba=8802

也即(lOOOXd+100Xc+lOXb+a)(lOOOXaXIOOXb+10Xc+d)=8802

展开999Xd+90Xc-999Xa-90Xb=8802

化简999X(d-a)+90X(c-b)=8802

111X(d-a)+10X(c-b)=978

111X(d-a)=978-10X(c-b)

到这里就需要推导了，显然111X(d-a)只能是111的整数倍，c-b只能是。〜9的数

字，10X(c-b)就只能是0、10、20、30、40、50、60、70、80、90,978-10X(c-b)

等于111的整数倍，用枚举方法试验，c-b=9满足，从而得出c=9,b=0o

也就是1HX(d-a)=978-90=888

d-a=8

d=9,a=l或者d=8,a=0,如果a=0,那么就不是四位数了，显然只能是d=9,a=l。

最后的答案就是1099o

题后思考

在得到nix(d-a)+10X(c-b)=978后，我们又是通过枚举法结合验证(一一排

除不和题意的答案)来得出最后答案的。

通过尾数判定可以更简洁一些o

因为1HX(d-a)+10X(c-b)=978,10X(c-b)的尾数为0,那么lUX(d-

a)的尾数为8,所以d-a=8,代入得出c-b=9,从而得出最后答案1099。

上面的解法是前面我们一直沿用的惯常方法，还记得前面我们做过的算式谜的解法吗？这个

题目也可以这样来做。

假设它的反序数就是荻3,根据题意，有如下的算式成立:

dcba

abed

8802

da=8,那么d=9>a=l或者d=8>a=0,而a=0不和题意，那么d=9>a=lo

注意最后是a-d=2,要向前面的借位。

因为cb-bc=10Xc+b-lOXb-c=9X(c-b)=80+1=81

所以c-b=9,那么c=9,b=l

最后结果：这个四位数是1099。

例题❻：有一个三位数，它的各位数字都不相同，如果将它的各位数重新排列,

得到的最大三位数减去最小的三位数，结果正好等于这个三位数，请问，这个三

位数是多少？

临题分析

记得我们前面做的那个反序数的题目吗？两道题差不多。

解题过程

假设这个三位数的三个数字分别是a、b、c,并且假设a最大，c最小。

根据题意最大三位数与最小三位数的差等于

abc-cba=100Xa+lOXb+c-(100Xc+lOXb+a)=99X(a-c)

原来的三位数是什么，这里不好进行判断，进行到这里似乎不好做了。

我们可以用枚举法来做。

原来的三位数等于99X(a-c),也就是99的倍数，即198、297、396、495、594、693、

792、891,经过试验，只有495满足题意，所以这个三位数是495。

题后思考

到这里，我们总结一下前面的所学。

解位值原理的试题，一般情况下都要用到如下的知识：

两位数展开是100Xa+10Xb+c,其中a不等于0,

三位数abc展开是100Xa+10Xb+c,其中a不等于0,

四位数abed二(1000Xa+100Xb+10Xc+d),其中a不等于0,

五位数薪Je二(lOOOOXa+1000Xb+100Xc+10Xd+e),其中a不等于

0,

想想看，如果是很多位比如100位，你也这么写吗？！

有简洁的方式，就是假设a-an-1>.......、a3>a2>ai,n£N,那么有

aaaaan12

nn-1..........321=anX10_+a…义10一+……+a3X10+a2

X10+ai

应用它我们可以证明上面提到的：如果二个数,”,一官的各住数室之和熊被一9整除

的话，这个数一定能被9整除，你知道原理并证明吗?

证明：假设一个整数为......a3a2a1,那么

aaaaan-12

nn-1..........321=anX10+a…X10一+……+a3xi0+a2

X10+

(?9……9xan+an)+(99……gxa^i+an.J+(99xa3+a3)+(9xa2+a2)+a1

二n-1个9n-2个9

99---9xa+99--9xa.++a

nn1+99xa3+9xa2)+an++……+a3+a2i

n-1^9n-219

由上可以看出，如果aja「……+23+22+%能被9整除,那么2周7............a3a2al

便能被9整除。

被3整除数的情况有什么不同吗？你能写出证明吗？

暂时看不明白也没有关系，有点不适应上面的写法可以理解，小学六年级就可以看懂了，但

越早适应和理解对以后深入学习数学知识越有利。

在解题过程中，我们根据位值原理做了一些推导，如何根据运算得到的算式来做一些推理和

推论，这个需要在以后的解题过程中不断总结和丰富，需要积累经验值。

同时，我们应用了很多知识和方法，有排列组合知识、分解质因数、用到枚举法、把试题转

换成算式谜来做等，我们学习了一些典型试题的不同解法。

我们知道了多题一解，即多样的位值原理的试题我们应用了差不多同样的方式方法；也了解

了一题多解，对于同样的试题我们切换其它的做题方式。

我们来做一道有点绕的试题：

例题❼：一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是多少？

临题分析

我们肯定要先根据位值原理把条件等式先列出来，但预感会与前面做过的试题不一样，因为

它可能不好简化。先列等式

假设这个五位数是aSe,根据题意有

abcde=(10000Xa+1000Xb+100Xc+10Xd+e)=2007X(a+b+c+d+e)

到这里还需要继续像前面做的那样化简吗？如果继续化简，那么就有

7993Xa-1007Xb-1907Xc-1997Xd=O

这就乱了思绪了，似乎不好进行下去了。

那就不能这么做简化！改换思路。

还是从题目给出的条件中精炼出有突破口的信息，为什么是2007呢？为什么不是其它的数

呢？！这有什么样的价值提取呢？！

出题者给出这个数字肯定是有用意的，这是要考察做题者哪方面的知识呢？！可以揣摩出题

者的意图，因为2007=9X223,这有什么表示吗？在数的整除性里，我们了解到整除性的传递原

则，知道aSe肯定也是9的倍数，记得我们例题❹的题后思考吗？那里提到的论证：如果一

个数的各个位数之和能被9整除，那么这个数就能被9整除，反过来也成立，也就是说abcde是

能被9整除的，这就是解题的入口了。

解题过程

假设这个五位数是艮靛，根据题意有

abcde=(10000Xa+1000Xb+100Xc+10Xd+e)=2007X(a+b+c+d+e)

因为2007=9X223,aFcMe能被9整除，也即a+b+c+d+e是9的倍数，又因为b、c、

d、e是0〜9之间的自然数，a是1〜9之间的自然数，所以a+b+c+d+e最大值是45,

也就是说a+b+c+d+e只能是9、18、27、36、45。

如果a+b+c+d+e=9,那么abcde=2007X9=18063,经过验算不合题意。

如果a+b+c+d+e=18,那么arae=2007X18=36126,经过验算符合题意。

如果a+b+c+d+e=27,那么arae=2007X27=54189,经过验算符合题意。

如果a+b+c+d+e=36,那么aF而e=2007X36=72252,经过验算不合题意。

如果a+b+c+d+e=45,那么abcde=2007X45=90315,经过验算不合题意。

所以，这个五位数是36126或者54189。

题后思考

在这道试题的解答中，我们没有沿用以前的做法去化简，及时转变解决问题的方式，从特定

数字出发，在这个数字上挖掘出了解题的突破点。

这道题涉及了数的分解质因数和数的整除性知识，后面我们有专题的学习。

同样的试题，不同的视觉角度看到的内容不一样，见多识广后的经验积累是你临题沉稳、思

维活跃的有效保证。

i

；例题❽：有一个数，如果把数字5加写到这个数字的最后，则该数字增加aW,

这里的a表示某个数字，问这个数字是多少？

临题分析

这一看就是要列条件等式，再进行推导。

解题过程

假设这个数字是y,那么根据题意有

lOXy+5=y+al111,

10Xy-y=al111-5

9Xy=al106

也就是all06是9的倍数，那么a可能是H106、2n06、3n06、4n06、5n06、61106、

7n06、81106、91106,经过计算只有H106符合，所以9义厂11106,那么y=1234,答：这个

数是1234O

题后思考

注意到了吗？从9Xy=all06中,我们又是应用枚举法来一一排除不合题意的数字从而得

到最后的正确答案1234O

其实，如果你认真学习和领会了例题❽，那么就可以很简单来做了。

all06是9的倍数，也就是a+1+1+0+6也是9的倍数，也即a+8是9

的倍数，a在1〜9之间，a只能为1,11106+9=1234,所以这个数字就是1234。

最后两道题得学习，涉及了数的整除性，这也是为了学习《数的整除性》做一点铺垫，知识

贯穿起来才会显得价值更大。

我们来解最后一道试题:

例题❾：将一个三位数的末两位数字交换位置后得到一个新的三位数，这个新的

三位数与原三位数的和是一个四位数A73B,请问符合上述条件的原三位数共有

多少个？？

幅题分析

这个题目与我们前面学习的试题有明显的不同之处，471TB竟然还包含了两个未知数，按

我们一般性的认识，根据题中给出的信息我们可以列出一个等式，可是未知数有5个之多了，

怎么解呢？从哪里入手呢？

记得我们前面的例题❷和例题❺的题后思考吗？

是不是都提到了算式谜？

假设三个数字分别是a、b、c,那么根据题意：

abc-acb=A73B

也就是

abc

+acb

A73B

到这里是不是思路清晰了？！

解题过程

假设三个数字分别是a、b、c,那么根据题意：

abc-acb=A73B

A是a+a进位所得，A是1〜9之间的数字，只能为1。

并且a=8,b+c=12o（注意：b+c不能等于13,如果等于13的话，十位上的不满足条件）

12=3+9,12=4+8,12=5+7,13=6+6

所以，满足条件的三位数有839、893、848、884、857、875、866,共7个。

题后思考

解题时没有头绪，多在脑海里搜寻与题目相关的“蛛丝马迹"，哪怕有一点的巧合，也可能

成为解题的好入口。

数论试题注重推理，既需要在隐晦的条件中提炼有用的信息，又要进行适当的横向思考，所

谓的数学解题高手，丰富的经验往往会给与他临题时更多的灵光闪现。

下面测试一下你的学习成果，建议你不要着急先看答案，拿起笔，做一做，理一理你的解题

思路，独立思考后再参看后面的解答。

练习题：

1、一个两位数，各位数字之和的5倍比原数大4,求这个两位数。

2、已知aXbXab=bbb,求a与b的积。

3、如果以个不为0的自然数的各个数字之积加上各个数字之和，正好等于这

个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”，例如99就是一个巧数，因为9X9+

(9+9)=99,可以证明，所有的巧数都是两位数，请写出所有的巧数。

4、一个两位数，各位数字之和的5倍比原数大6,求这个两位数？

5、如果一个三位数正好等于它的各个数位上的数字之和的13倍，请求出这个

三位数。

6、aEcd是四位数，a、b、c、d表示1、2、3、4中的某个数字，但彼此不同,

例如2134,请写出所有满足a〈b,b>c,c〈d的四位数aEcd来。

参考答案

1、一个两位数，各位数字之和的5倍比原数大4,求这个两位数。

【解题】假设两位数是lb,根据题目意思(一般描述:根据题意)

5X(a+b)=10Xa+b+4

化简得出5Xa=4X(b-1)

由上可以推理，5Xa的末尾数要么是0,要么是5,如果是0,那么4X(b-1)

的末尾数也是0,b-l一定是5的倍数，b在1〜9之间，所以b只能等于6,那么4X

(b-1)就等于20,从而a=4,；而5Xa的末尾数如果等于5,那么4X(b-1)的

末尾数也一定要等于5,事实上，4X(b-1)的末尾数是不可能等于5的。

所以最终的答案：a=4,b=6o

上面“化简”的意思就是化繁为简，把繁杂的等式化为简单的等式。