第02讲 正比例函数（知识解读+题型精讲+随堂检测）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页第02讲正比例函数性质和图像1.理解正比例函数的定义2.学会观察正比例函数图像并分析，判断函数值随自变量的变化而变化3.掌握正比例函数性质知识点1：正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点2：正比例函数图像和性质正比例函数图象与性质用表格概括下：k的符号图像经过象限性质k＞0第一、三象限y随x的增大而增大k＜0第二、四象限y随x的增大而较少知识点三3：待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——eq\a\vs4\al(设出)函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——eq\a\vs4\al(把已知条件代入y＝kx中)；(3)求——eq\a\vs4\al(解方程求未知数)k；(4)写——eq\a\vs4\al(写出正比例函数的表达式)【题型1：正比例函数的定义】【典例1】（2023春•永定区期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A． B． C．y＝x2 D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：A、y＝x是正比例函数，符合题意；B、y＝是反比例函数，不符合题意；C、y＝x2是二次函数，不符合题意；D、y＝2x﹣1是一次函数，不符合题意．故选：A．【变式1-1】（2023春•赣州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）A．y＝3x2 B． C． D．y2＝3x【答案】C【解答】解：A、y＝3x2是二次函数，不符合题意；B、y＝是反比例函数，不符合题意；C、y＝是正比例函数，符合题意；D、y2＝3x不是函数，不符合题意．故选：C．【变式1-2】（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1【答案】C【解答】解：A．y＝2x﹣1，y不是x的正比例函数，故A不符合题意；B．y＝+1，y不是x的正比例函数，故B不符合题意；C．y＝，y是x的正比例函数，故C符合题意；D．y＝2x2+1，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．故选：C．【变式1-3】（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化【答案】C【解答】解：A、S＝x2是二次函数，故此选项不符合题意；B、h＝是反比例函数，故此选项不符合题意；C、C＝4x是正比例函数，故此选项符合题意；D、设水箱有水xL，则V＝x﹣0.5t，不是正比例函数，故此选项不符合题意．故选：C．【典例2】（2023春•兴隆县期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【答案】A【解答】解：∵y＝（m+1）x|m|中y是x的正比例函数，∴，解得m＝1．故选：A．【变式2-1】（2023春•南皮县月考）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（）A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2【答案】D【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，∴k+1≠0，b﹣2＝0．解得k≠﹣1，b＝2．故选：D．【变式2-2】（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．任意实数【答案】A【解答】解：∵y＝x+b是正比例函数，∴b＝0．故选：A．【变式2-3】（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】解：由题意得：m﹣2＝1，n+1＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m+n＝3﹣1＝2，故选：B．【题型2：判断正比例函数图像所在象限】【典例3】（2023春•朔州期末）正比例函数的图象经过（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】B【解答】解：∵正比例函数，∴该函数图象经过第一、三象限，故选：B．【变式3-1】（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【答案】B【解答】解：在正比例函数y＝﹣3x中，∵k＝﹣3＜0，∴正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二、四象限，故选：B．【变式3-2】（2023春•南岗区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x的图象经过（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【答案】D【解答】解：在正比例函数y＝﹣4x中，∵k＝﹣4＜0，∴正比例函数y＝﹣4x的图象经过第二、四象限，故选：D．【题型3：正比例函数的性质】【典例4】（2023春•乐陵市期末）关于函数y＝2x，下列说法错误的是（）A．它是正比例函数 B．图象经过（1，2） C．图象经过一、三象限 D．当x＞0，y＜0【答案】D【解答】解：关于函数y＝2x，A、它是正比例函数，说法正确，不合题意；B、当x＝1时，y＝2，图象经过（1，2），说法正确，不合题意；C、图象经过一、三象限，说法正确，不合题意；D、当x＞0时，y＞0，说法错误，符合题意；故选：D．【变式4-1】（2022秋•东胜区期末）关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（）A．该函数的图象经过点（﹣3，1） B．是一次函数，但不是正比例函数 C．该函数的图象经过第一、三象限 D．随着x的增大，y反而减小【答案】D【解答】解：A、将（﹣3，1）代入解析式，得，1≠﹣9，故本选项错误；B、是一次函数，也是正比例函数，故本选项错误；C、由于函数图象过二、四象限，故本选项错误；D、由于函数图象过二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，故本选项正确．故选：D．【变式4-2】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）【答案】C【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，∴k＜0，∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）．故选：C．【变式4-3】（2022•临渭区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量的值减小1时，函数y的值增大3，则k的值为（）A． B． C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：根据题意得y+3＝k（x﹣1），即y+3＝kx﹣k，而y＝kx，所以﹣k＝3，解得k＝﹣3．故选：D．【题型4：判断正比例函数的比例系数大小】【典例5】（2022春•南城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b【答案】D【解答】解：由图象可得，a＜0＜c＜b，故选：D．【变式5-1】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】C【解答】解：∵y＝ax，y＝bx的图象都在第一三象限，y＝cx在第二四象限，∴a＞0，b＞0，c＜0，∵直线越陡，则|k|越大，∴b＞a＞c，故选：C．【变式5-2】（2023秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【答案】D【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，即a＜c＜b．故选：D．【题型5：待定系数法求正比例函数解析式】【典例6】（2023春•鼓楼区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．【答案】（1）y＝2x；（2）a＝．【解答】解：（1）设y＝kx（k≠0），当x＝2，y＝4时，则4＝2k，即k＝2，y与x之间的函数关系式为：y＝2x；（2）∵点（a，3）在这个函数的图象上，∴3＝2a，∴a＝．【变式6-1】（2023春•荆门期末）已知y与x成正比例，且x＝﹣2时y＝4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y＝kx，∵当x＝﹣2时，y＝4，∴4＝﹣2k，k＝﹣2，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x，（2）∵点（a，﹣2）在函数关系式为y＝﹣2x的图象上，∴﹣2a＝﹣2，∴a＝1．【变式6-2】（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，∴将点（，1）代入正比例函数y＝（3m﹣1）x，即：1＝（3m﹣1）×，整理得：3m＝3，解得：m＝1；∴m的值为1；（2）解：∵m的值为1；∴代入y＝（3m﹣1）x，即可求出，y＝（3×1﹣1）x＝2x，∴这个函数的解析式为：y＝2x．【变式6-3】（2022秋•江宁区校级月考）已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x取何值时，y的值为30？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y1＝ax，y2＝b（x+2），则y＝b（x+2）﹣ax＝（b﹣a）x+2b，根据题意，得，解得．所以y与x的函数关系式为y＝（+）x+2×＝x+，即y＝x+．（2）把y＝30代入y＝x+，得30＝x+．解得x＝所以，当x＝时，y的值为30．【题型6：正比例函数的图像性质综合】【典例7】（2022春•老城区校级期中）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为5，且△AOH的面积为10．（1）求正比例函数的解析式．（2）在坐标轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为8？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为5，且△AOH的面积为10∴点A的纵坐标为﹣4，点A的坐标为（5，﹣4），∵正比例函数y＝kx经过点A，∴5k＝﹣4，解得，∴正比例函数的解析式是；（2）∵点A的坐标为（5，﹣4），△AOP的面积为8，当点P在x轴上，有，解得：x＝±4，∴点P的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；当点P在y轴上，有，解得：，∴点P的坐标为：或；综合上述，点P的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或或．【变式7】（2022春•德城区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8，∴•4•AH＝8，解得AH＝4，∴A（4，﹣4），把A（4，﹣4）代入y＝kx得4k＝﹣4，解得k＝﹣1，∴正比例函数解析式为y＝﹣x；（2）存在．设P（t，0），∵△AOP的面积为10，∴•|t|•4＝10，∴t＝5或t＝﹣5，∴P点坐标为（5，0）或（﹣5，0）．1．（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（）A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4【答案】A【解答】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；B、y＝，是反比例函数，不合题意；C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；故选：A．2．（2023•陕西）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵a＜0，∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，故选：D3．（2020•上海）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【答案】见试题解答内容【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．4．（2019•本溪）函数y＝5x的图象经过的象限是一、三．【答案】见试题解答内容【解答】解：函数y＝5x的图象经过一三象限，故答案为：一、三一．选择题（共10小题）1．（2023秋•清新区期中）下列函数中，是正比例函数的为（）A． B． C．y＝﹣2x﹣1 D．y＝x2+1【答案】A【解答】解：A、y＝﹣是正比例函数，故本选项正确，符合题意；B、y＝﹣，分母上含有未知数，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意；C、y＝2x﹣1，是一次函数，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意．D、y＝x2+1，自变量x的指数是2，不是1，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意；故选：A．2．（2023春•绥棱县期末）若函数y＝x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．±1【答案】D【解答】解：∵y＝x+k2﹣1，∴k2﹣1＝0，解得：k＝±1；故选：D．3．（2023秋•黄浦区期中）下列各图象中，表示函数y＝x的大致图象是（）A．B． C．D．【答案】A【解答】解：∵k＝1＞0，∴函数y＝x的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数，故选：A．4．（2023春•那曲市期末）当x＝﹣1时，函数y＝﹣2x的值等于（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【答案】A【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣2x＝﹣2×（﹣1）＝2．故选：A．5．（2023春•凌海市期中）已知函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m＜0 D．m＞0【答案】B【解答】解：∵当x1＞x2时，有y1＞y2，∴y随x的增大而增大，∴k＝m﹣2＞0，解得：m＞2，∴m的取值范围为m＞2．故选：B．6．（2023春•鼓楼区校级期末）正比例函数x的比例系数是（）A．﹣3 B． C． D．3【答案】C【解答】解：正比例函数y＝﹣x的比例系数是﹣，故选：C．7．（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【答案】B【解答】解：在正比例函数y＝﹣3x中，∵k＝﹣3＜0，∴正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二、四象限，故选：B．8．（2023春•应县期末）对于函数y＝4x，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大【答案】D【解答】解：在函数y＝4x中，k＝4＞0，所以y随x的增大而增大．故选：D．9．（2022秋•富平县期中）已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点（﹣2，y1），（﹣5，y2）都在直线上，且﹣2＞﹣5，∴y1＜y2．故选：A．10．（2021•雁塔区校级模拟）正比例函数y