2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步达标训练（附答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步达标训练（附答案）

1.在RtZVIBC中，ZACB=90°,以△A8C的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶

点在AABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（）

A.9个B.7个C.6个D.5个

2.如图，每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的

顶点，并且△A8C是等腰三角形，那么点C的个数为（）

3.如图，在△4BC中，ED//BC,/A8C和N4C8的平分线分别交于点G、F,若FG

=2,ED=6,则EB+QC的值为（）

4.如图，在△ABC中，BD、CE分别是NA8C和/4C8的平分线，AM_LCE1于P,交BC

于M,ANJ_BD于Q,交BC于N,110°,AB=6,AC=5,MN=2,结论①AP

=MP；②BC=9；③NM4N=35。；@AM=AN.其中不正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.如图，点/为△ABC三个内角平分线的交点，/E〃A8,/F〃AC,BC=4,AB=3,AC=

2,则图中阴影部分的周长为（）

B

A.2B.3C.4D.4.5

6.如图，ABVBC,AE平分NBA。交BC于点E,AB//CD,Zl+Z2=90°,M,N分别

是BA.CD延长线上的点./E4M和/ECN的平分线交于点尸，下列结论.

®AE1.ED,②/AEB+/AOC=180°,③OE平分/AOC,(4)ZF=130o

其中结论正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.在等腰三角形△ABC（AB=AC,/BAC=120。）所在平面上有一点P,使得APAB,△

PBC,△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点P有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，。为△ABC内一点，C。平分/AC8,AELCD,垂足为点£）,交BC于点E,NB

=NBAE,若BC=5,AC=3,则49的长为（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

9.如图，ZUBC中，AC=OC=3,BO垂直N8AC的角平分线于O,E为AC的中点，则

图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）

10.如图，在△ABC中，AB=AC,。为线段8C上一动点（不与点8、C重合）,连接4,

作S.AD=AE,连接CE.

(1)如图1,当CE〃A8时，若NB4£>=35°,则NOEC度;

（2）如图2,设NBAC=a（90°<a<180°）,在点。运动过程中，当DELBC时,

ZDEC=.（用含a的式子表示）

11.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为x度，则此三角形的顶角为度.

12.等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°,则这个三角形的顶角为度.

13.已知AABC中，AB=AC,ZA=a,过AABC其中一个顶点的直线把△ABC分成两个

等腰三角形，则a的值为.

14.如图，/AOB=10°,点尸在03上.以点尸为圆心，0P为半径画弧，交OA于点与

（点4与点。不重合），连接PP1；再以点尸।为圆心，0P为半径画弧，交0B于点尸2

（点22与点「不重合），连接P尸2；再以点心为圆心，0P为半径画弧，交0A于点

尸3（点与点修不重合），连接尸2P3；…，按照上面的要求一直画下去，就会得到0P

=PPl=PlP2=P2P3”，则

（1）NP2P3P4=°；

（2）与线段。尸长度相等的线段一共有条（不含。尸）.

15.如图，在等腰三角形A8C中，AB=AC,/B=50。，。为BC的中点，点E在AB上,

4AED=70°,若点尸是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当是以/EDP为顶

角的等腰三角形时，NEOP的度数是.

16.如图，NM4N是一个钢架结构，在角内部最多只能构造五根等长钢条，且满足AB=BC

17.如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点。和E,使DB=DE,此时恰有/AQE

=^ZACB,则NA的度数是.

B

18.如图，在四边形A8CD中，AB=AC,BC=BD,若NA8C=LzB4£)=a,则/8CO=

(用含a的代数式表示).

19.如图，直角△ABC中，/A=90°,CD=DE=BE,当/AC£>=21°时，NB=

5

A

20.在AABC中，AB=AC,O为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE,设乙RAO

=a,ZCDE=p.

(1)如图1,若点。在线段BC上，点E在线段AC上，则a,0之间关系式为；

(2)如图2,若点。在线段8c上，点E在C4的延长线上，则a,0之间关系式为.

7

21.如图，△ABC中，A。平分/BAC,/ACB=3/B,CEA.AD,AC=8,BC=—BD,则

4

CE=.

22.如图，在△ABC中，ZABC=ZACB,E为BC边上一点，以E为顶点作/AE凡ZAEF

的一边交AC于点F,使NAEF=NB.

(1)如果/ABC=40°,则/BAC=：

(2)判断N8AE与/CEF的大小关系，并说明理由；

23.如图：£在448。的AC边的延长线上，。点在A3边上，DE交BC于点F,DF=EF,

BD=CE.求证：ZSABC是等腰三角形.(过。作£>G〃AC交BC于G)

24.如图，在RtAABC中，NB是直角，直角边AB、8c的长(ABVBC)是方程/-14x+48

=0的两个根.点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△A8C边A-B-CfA的方

向运动，运动时间为，(秒).

(1)求A8与3c的长；

(2)点P在运动的过程中，是否存在点P,使AABP是等腰三角形？若存在，请求出运

动时间，的值；若不存在，请说明理由.

A

BC

参考答案

1.解：如图:

故选：B.

2.解：当AB为腰时，点。的个数有2个;

当A8为底时，点。的个数有1个，

3.解：YED//BC,

：./EGB=/GBC,NDFC=NFCB,

•:ZGBC=NGBE,ZFCB=/FCD,

：./EGB=NEBG,/DCF=/DFC,

:・BE=EG,CD=DF,

VFG=2,£0=6,

:.EB+CD=EG+DF=EF+FG^-FG+DG=ED+FG=8,

故选：C.

4.解：①・.・CE平分NACE,

.・.ZACP=ZMCP,

VAMICE,

AZAPC=ZMPC=90Q,

：.ZCAM=ZCMA,

：.AC=CMf

：.AP=PM,

①正确；

②同理得：BN=AB=6,

,・'CM=AC=5,

：.BC=BN+CM-MN=6+5-2=9,

②正确；

③•・・N8AC=NMAC+N8AN-NMAN=110°,

由①知：ZCMA=ZCAMf/BNA=/BAN,

△AMN中，NCMA+N5M4=18(r-/MAN=NBAN+/MAC,

A180°-ZMA/V-ZMAN=110°,

：.ZMAN=35°,

③正确；

④当N4MN=NANM时，AM=AN9

・.・AB=6/AC=5

.・・NA8CWN4C8,

・・・/AMN#/ANM,则AM与AN不相等，

④不正确；

所以本题不正确的有④，

故选：D.

5.解：・・・3/平分NA3C,

・•.NABI=/CBI,

*：IE//AB,

：./ABI=/BIE,

：./CBI=ZBIE,

：.BE=E1,

同理可得：CF=FI,

AA/EF的周长=/E+E尸+F7=8£+EF+Cb=BC=4,

即图中阴影部分的周长为4,

故选：C.

6.解：

9

：AB_LBCfAB//CD,

：.ZBAD+ZADC=}SO°

又・・・N1+N2=9O°,

AZ3+Z4=90°,

AZAED=90°,

：.AE.LDE,故①符合题意；

*：AB//CD

：./ADN=NBAD,

VZADC+ZADN=\80°,

：.ZBAD+ZADC=]SO°,

又ZAEB^ZBAD,

・・・NAEB+NAOC/180°,故②不符合题意；

VZ4+Z3=90°,Z2+Zl=90°,而N3=N1,

AZ2=Z4,

・,・以）平分NAOC,故③符合题意；

VZ1+Z2=9O°,

AZEAM+ZEDN=360°-90°=270°.

VZEAM和NEEW的平分线交于点F,

：.ZEAF+ZEDF=—X270°=135°.

2

VA£1DE,

AZ3+Z4=90°，

AZFAD+ZFDA=135°-90°=45°,

AZF=180°-(ZFAD+ZFDA)=180-45°=135°,

故④不符合题意，

故选：B.

7.解：如图，满足条件的所有点尸的个数为2,

故选：B.

8.解：TCQ平分NAC8,AELCD,

：.AC=CE.

又/B=/BAE,

：.AE=BE.

：.AD=—AE^—BE^—(BC-AC).

222

'：BC=5,AC=3,

：.AD^—(5-3)=1.

2

故选：A.

9.解：延长8。交AC于点〃.设AO交BE于点O.

-：AD.LBHt

：.ZADB=ZADH=90°,

AZABD+ZBAD=90°,NH+NHAD=90°,

•:NBAD=NHAD,

・・・ZABD=4H,

：.AB=AHf•:AD_LBH,

:.BD=DH,

•；DC=CA,

：.ZCDA=ZCAD9

••♦NCAO+N”=90°,NCZM+NC£W=90°,

：.ZCDH=ZHf

：.CD=CH=AC,

♦：AE=EC,

SAA8E=4AA8”，S&CDH=

44

,**S^OBD-S4AOE=%ADB-S^ABE=S^ADH-S&CDH=S^ACD，

'：AC=CD=3,

1Q

・•・当。C，AC时，zMCO的面积最大，最大面积为/3义3=*

故选：C.

10.解：(1)VZDAE=ZBACf

：.ABAC-ZCAD=ZDAE-ZCADf

B[JZBAD=ZCAE,

A/XABD^/XACE(SAS),

AZB=ZACE,

,:CEHAB,

AZBAC=NACE,

:./BAC=/B,

：.AC=BC,

△ABC是等边三角形，

AZBAC=ZDAE=ZACB=ZACE=60Q,

•••△OAE是等边三角形，

ZAED=60°,

・・・NOEC=180°-35°-60°-60°=25°,

故答案为：25；

(2)连接CE,

ZBAC=a,AB=AC,

：.ZB=ZACB^—(1800-a)=90°-—a,

22

■:NDAE=NBAC,

：.NBAC-/CAO=ADAE-ZCAD,

即/54O=/C4E,

/\ABD^/\ACE(SAS),

/.ZB=ZACE=90°-—a,

2

：.ZDCE=2(90°-—a)=180°-a,

2

'：DELBC,

：.ZCDE=9Q°,

ZDEC=90°-ZDCE=a-90°.

故答案为：a-90°.

E

图2

11.解：如图，

(1)顶角是钝角时，NB=(90-x)°,

故顶角=180°-2(90-%)°=2x°；

(2)顶角是锐角时，NB=(90-x)°,

故顶角=180。-2(90-x)°=2x°.

综上所述，此三角形的顶角为2r度.

故答案为：2x.

12.解：①此等腰三角形为钝角三角形，

••,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°,

.•.此三角形的顶角=90°+47°=137°,

②此等腰三角形为锐角三角形，

；等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°,

...此三角形的顶角=90°-47°=43°.

故答案为：43或137.

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC,AD=CD=BD,

设，

则NBAO=/8=x。，NC=NB=x°,

：.ZCAD=ZC=x°,

VZB+ZBAC+ZC^180°,

；.x+x+x+x=180,

解得x=45,

则a的值为90°；

图2

AB=AC=CD,BD=AD,

设NC=x°,

*：AB=ACf

AZB=ZC=x°,

t

：BD=AD1

：.ZBAD=ZB=x°,

AZADC=ZB+ZBAD=2x°,

•：AC=CD,

：.ZCAD=ZADC=2x°,

：.ZBAC=3x°,

Ax+x+3x=180,

解得x=36°,

则a的值为1080.

③如图3,

图3

当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=4CBC=BD=AD,

设NA=£,

•：BD=AD,

：.ZABD=ZA=x°,

AZCDB=ZABD+ZA=2x°,

•:BC=BD,

：.ZC=ZCDB=2x<>,

9

：AB=ACf

：.ZABC=ZC=2x°,

VZA+ZABC+ZC=180°,

/.x+2x+2r=180,

解得x=36°,

则a的值为36°.

④如图4,

图4

当N4=x°,ZABC=ZACB=3xa时，也符合，

AD=BD,BC=DC,

/A=/A8O=x,NDBC=NBDC=2x,

则x+3x+3x=180°,

解得x=（翠）°.

则a的值为90°或108°或36°或°.

故答案为：90°或108°或36°或（1生）°.

14.解：（1）由题意可知，OP=PP尸PR,

则/POP1=NOP|P,ZPiPP2=ZPiP2P,

•：ZAOB=WQ,

/.ZPiPB=20°,/尸2尸/=30°,/尸3P28=40°,/尸425=50°,

二/尸2P3P4=10。°;

（2）由（1）得，按照上面的要求一直画下去，得到点P”，若之后就不能再画出符合要

求点尸,计1了，

A10°<n<90°,解得〃<9,〃为整数，故”=8.

此外，△「4P5P6为等边三角形，

故与线段OP长度相等的线段一共有9条（不含OP）.

故答案为：100,9.

15.解：-：AB=AC,ZB=50°,/AED=1Q°,

:.NEDB=20°,

・・・当ADEP是以NEDP为顶角的等腰三角形,

当点P在AB上，

•:DE=DPi，

：.ZDP}E=ZAED=70°,

・・・/皮＞尸1=180°-70°-70°=40°,

当点夕在AC上，

VAB=AC,。为3c的中点，

/.NBAD=NCAD,

过。作。G_LA8于G,DHLAC于H,

:・DG=DH,

fDE=DPn

在RtZiOEG与RtZ^OP?”中，\J

DG=DH

ARt/\DEG^Rt/\DP2H(HL),

AZAP2D=ZAED=10°,

VZBAC=180°-50°-50°,

O

.\ZEDP2=140,

当点P在AC上，

同理证得(HL),

：.NEDG=NP3DH,

：.ZEDP3=ZGDH=100°,

故答案为：40°或100°或140°.

16.解：•;AB=BC=CD=DE=EF=FG,

：.ZA=ZACB=afZCBD=ZA+ZACB=2a,

：.ZCDB=ZCBD=2a,

：./ECD=3a=/DEC,

:・/EDF=4a=NEFD,

：・NFEQ=NFEQ=5a,

VZA+ZAGF=6a^90°,

・・・心15。,

A75°W5aV90°,

・・・15°<a<18°,

・・・NA最小为15°,

・・・NA8C的度数最大为150。，

17.解：设NB=x.

♦：DB=DE,

；・/DEB=NB=x,

：.ZADE=ZDEB+ZB=2xf

：.ZACB=2ZADE=4x.

♦；AB=BC,

/.NAC8=NA=4x.

在△ABC中，VZA+ZB+ZC=180°,

・・・4x+x+4x=180°,

：.x=20°.

即NB=20°

N4=4x=80°

故答案为：80°

18.解：延长D4至M,使4M=A8,连接

・.・A8=AC,

：.AM=AB=AC,ZABC=ZACB=a.

：.ZBAC=ISO°-2a,

NBAD=2a,

AZM4B=1800-NBAO=180°-2a,

ZBAC=ZMAB1

在△MA8和△CAB中，

'AM=AC

・・・<ZBAC=ZBAM，

AB二AB

.,.△MABdCAB(SAS),

AZM=ZACB=a,BC=BM,

AZCAD=180°-2ZBAC=4a-180°,

•:BM=BC=BD,

：.NM=ZADB=ZACB=af

：.ZDBC=ZDAC=4a-180°,

AZBCD=—~~1/叫建时-^ZDBC=90°-*(4(1-180°)=180°-2a,

故答案为：180。-2a.

19.解：设N8=x°,

•;BE=DE,

：.ZB=ZBDE=x°,

AZDEC=ZB+ZBDE=2x°,

•:CD=DE,

：.ZDEC=ZDCE=2x°,

VZA=90°,ZACD=2l°,

・・・x+2x+21=90,

x=23°,

・・・NB=23。,

故答案为：23°.

20.解：(1)设NA8C=x,ZAED=y,

：.ZACB=xf/AED=y,

在△£)£(7中，y=0+x,

在△ABO中，a+x=y+p=p+x+p,

/.a=2p；

故答案为：a=2p；

(2)当点E在CA的延长线上，点。在线段3c上，

设NA8C=x,ZADE=yf

：.ZACB=xfZACE=yf

在△48。中，x+a=0-y,

在△£)"?中，x+)计0=180°,

Aa=2p-180°.

21.解：延长CE交A8于/，过点。作。”_LAB于H,。％_1_4。于77,过点A作8c

于M,如图所示：

VCE1AD,

AZAEF=ZAEC=90°,

*：AD平分NBAC,

ZFAE=ZCAEfDH=DNf

<ZFAE=ZCAE

在△AEF与△AEC中,iAE=AE，

ZAEF=ZAEC

A/\AEF^/\AEC(ASA),

：.AF=AC=StNAFE=NACE,EF=CEf

/AFC=/B+/ECD,

：.NACF=/B+NECD,

：.NACB=2NECD+/B,

ZACB=3ZBf

：,2NECD+/B=3/B,

：.NB=NECD,

:.CF=BFf

7

*：BC=—BD,

4

.BD=j4

*'CD'T

S^ADB=~DH'AB=^AM-BD,SMCD=-DN-AC=—AM'CD,

2222

yDH'AByAM-BD

•乙___乙

yDN'ACyAM-CD

即期_=股=匡，

ACCD3

432

：.AB=—AC=-

339

：.CF=BF=--8=—,

33

：.CE=^CF=^,

故答案为：

22.解：（1）•.•在△ABC中，4