2020届高考数学大二轮复习第二练复数、平面向量教学案

层级一第二练复数、平面向量

［考情考向•高考导航］

1.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算（特别是乘、除法），也涉及复数的概

念及几何意义等知识,难度较低,纯属送分题目.

2.平面向量是高考必考内容,每年每卷有一个小题,难度中档,主要考查平面向量的模、

数量积的运算、线性运算等，数量积是考查的热点.

「真题体验•主干整合做真题理主干感梧超

［真题体验］

1.（2019•全国II卷）设z=-3+2i,则在复平面内7对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：C［-7=-3—2i,对应的点为（一3,—2）,在第三象限.］

2.（2019•全国I卷）已知非零向量a"满足la=2力，且（a-6）J_6,则a与6的夹角为

（）

JIJI

A.-B.—

63

2五5五

C.D.-T-

36

a・b

解析：B［V（a—b）±Z?,（a-b）•b=0.EPa•b=6i2；Acos（a,b）~i

\a\•\b\

\b\2_1

2\b\•\b\~2'

故〈a,b）=.故选B.］

o

3.（2018•北京卷）设a,b均为单位向量，则“|a—3b=|3a+引”是“a,〃’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：C［本题考查平面向量及充分必要条件.

由题意得Ia-3b\=yja-6a,b+9b\

13a+b=y）9a+&a,b+lf.

充分性：a—3引=|3a+6|

/.a2—6a•Z>+9/>J=9a+6a•b+If

又a!=1,|b\=1,.*.a2=Z>2=l

.,.a2+9Z>2=9a2+Z>2

.1—6a•b=6a•b

即a•b=0,/.a±A

充分性得证.

必要性：

,:alb,:.a•b=0

又丁|a|=b=1,/.a2—6a•A+9Z>2=9a+6a•b+If

・，・(a—35)2=(3a+Z>)2

・・・|a-3S=|3a+6

必要性得证.故选C.］

4.(2018•全国卷in)已知向量a=(1,2),6=⑵-2),c=(1,4).若。〃(2a+b),则几

解析：2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),

c〃(2a+b),J1X2—44=0,解得4=；.

答案：;

［主干整合］

1.复数运算中常用的结论

(1)(l±i)2=±2i，F4=i,\^=­i.

(2)—b+ai=i(a+6i)(a,b£R).

(3)i"=l,i4/?+I=i,i4,,+2=-l,i4n+3=—i(〃金N*).

(4)i^+i^+I+i4^2+i^3=oUeN*).

2.“三点”共线的充要条件：0为平面上一点，则46,P三点共线的充要条件是碣小而

十42①(其中几］+42=1).

3.三角形中线向量公式：若尸为△痴的边四的中点，则办=3(而+物.

4.三角形重心坐标的求法：

(1)G为△力%的重心=&+0+GC=0Q4-------------,"------

⑵应•应=宓・oc=7)c-而为△/比1的垂心.

5.平面向量数量积性质：a±b^a•b=0(a^O,Z?^0).

||热点聚焦•能力突破研热点析重点方法突破

热点一复数的概念与运算

[题组突破]

1.(2019•全国I卷)设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(不1),则()

A.a+l)2+y=lB.(A-1)2+/=1

C.(y_1)2=1D.f+(y+1)2=1

解析：C[|z-i1=1表示复平面内的点(x,力到点(0,1)的距离为1,故点£1的轨迹方程

为(y—1)'=1.选C.]

2.(2020•苏州模拟)已知aeR,i是虚数单位.若z=a+，^i,z•7=4,则a=()

A.1或一1B.4或一巾

C.一/D.小

解析：Az•z=4,，|z「=4,即|z|=2.

z—a+y[3i,|z\=:#+3,.,.y[^+3—2,a—±1.故选A.]

3.(2020•湖北八校联考)已知复数©=2+ai(aGR),zz=l-2i,若亘为纯虚数，则|川=

Z2

()

A，A/2B.小

C.2D.y/5

ellnr.-r-z\2+ai+a+2-2a++a、，山上.

解析：D[由于一=ZT-r=r为纯虚数，m则a=L

Z21—Z1O□

则Izj=4,故选D.]

4.设有下面四个命题

P\：若复数Z满足[wR,则ZGR；

A：若复数z满足zkR,则zdR；

A：若复数zi,Z2满足zia^R,则©=z2；

PA：若复数z£R,则z£R.

其中的真命题为()

A.p“6B.pi,p.\

C.R,。D.pi,pi

解析：B[设z=a+bi(a,6eR),zi=a+"i(a,4£R),Z2=a2+&i(^2,&^R).

11方—卜1

对于pi,若一£R,即_u/?£R,则0=0=>z=a+历=a£R,所以pi为真命题.

za-vbia-vb

对于R,若z*£R,即(a+bi)2=a+2abi—l/^R,则ab=0.当a=0,寸关0时,z=a+bi=bi

住R,所以.为假命题.

对于",若zgCR,即（ai+6ii）（az+B）=（a.—b也）+（句庆+@24）iCR,则<3出+325=

0.而Z\—z2,即ai+61i—Qi—灰i=ai—az,b\——bi.因为a也+a必=0=/ai—3t>,b\——bz,所

以R为假命题.

对于P\,若zGR,即a+biGR,则6=0=z=a—8i=aGR,所以"为真命题，故选B.］

|方法技巧|»>

解决复数问题的两种思想方法

1.复数的“实数化”：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部

应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即

可.

2.复数的“方程思想”：即把复数z当作未知数,从解方程的角度求解z.

热点二平面向量的运算及应用

」平面向量的线性运算

［例1］（1）（2018•全国1卷）在4ABC中，仙为以边上的中线为的中点，则磅=

（）

3f1—►1—►3f

A.-AB--ACB.-AB--AC

3—1—*1—►3f

C.-AB+-ACD.彳仿+不储

［解析］

AB

―►―►—►—~►1-►

A［如图，EB=AB-AE=AB~~AD

=葩一筋+於

0A

（2）（2020•无锡模拟）如图,平面内有三个向量而，应，诧;其中应与应的夹角为120°,OA

与应的夹角为30。，且|而|=|而|=1,|乃=24,若应三4而+。宓（儿"WR）,则A+JJ

的值为

［解析］

\B

0Aa

解法一如图，应1=应十就，|就I=2,

I0A\\—16,|—4,

所以应'=49+2市

所以A+〃=6.

解法二以。为原点，物为x轴建立直角坐标系(图略)，

则J(1,O),<7(2■cos30°,2A/3sin30°),8(cos120°,sin120°)・HP

4(1,0),C(3,/),

/〃=2,

由诧、=A〃颓,所%F所以一+〃=6.

［答案］6

|方法技巧一＞》

平面向量的线性运算技巧

(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.

(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.

毒法二;:____________________________________:平面向量数量积的应用

数学运算一一平面向量问题中的核心素养

数学运解决几何图形问题时,可以先建立适当的坐标系,将图形坐标化，

算素养再运用数学运算解决相关问题.在平面向量中，向量的坐标运算就

是这一思想的具体应用.

［例2］(1)(2020•石家庄模拟)若两个非零向量a,b满足a+引=|a—引=2由，则向量

a+6与a的夹角为()

JIJi

A.—B.—

6O

2口5n

c,-D-v

J2

［解析］A［V|a+b\=|a-b,Ia+b\=|a—b\y/.a•b=0.XIa+b=2\b\fa

+引2=4182,Ial2=3142,I司=/Ibl,cos〈a+b,a〉=|Ial|1+6|IaCCTN

=81乎,故a+b与a的夹角为卷］

L\U\zb

(2)(2018•天津卷)

如图，在平面四边形ABCD^,ABLBC,ADLCD,/胡。=120°,AB=AD=\.若点£为边CDY.

的动点，则令♦瓦的最小值为()

£点在刃上,则应'=4应'(0W4W1),设£(x,y),

据此可得：娉.斗,|“且：

靠=净-察袅+3笳=印-小，24

由数量积的坐标运算法则可得：

龙.康=俘A当惇一词+|AX^A+1)

整理可得：港•崩=,(442—24+2)(0W儿W1),

4

।91

结合二次函数的性质可知，当4=彳时,AE-应取得最小值元.故选A.]

方法技巧->»

涉及数量积、模和最值的解题思路

(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路；

①直接利用数量积的定义计算，此时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向

量进行计算.

②建立平面直角坐标系,通过坐标运算求解.

(2)求解向量数量积的最值(范围)问题，通常建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算

得到含有参数的等式,或是转化为函数的最值,或是利用基本不等式求最值，或是利用几何意

义求最值(范围).

以突破练

⑴在平行四边形4%/中，点E为切的中点,BE与/C的交点为F,若葩=a，而=6,则向量

砺=()

12,

B.一铲一？

解析：C\_BF=BC+CF=BC—^AC=AD)=—^a+^Z>.]

Juo0

(2)(2019•江苏卷)如图,

在中，〃是外的中点,Z?在边力8上,BE=2EA,与四交于点0.若森•AC=&A0-EC,

AR

则牌值是.

解析：本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运

算素养.采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.如图,过点。作DFHCE,交46于点F,由

BE=2EA,D为优中点，知BF=FE=EA,A0=0D.

A

0

6花・'EC=ZAD'（AC-A'E）=^（AB+AC）•（丘一丽

=5（恭+加•9c-2可=*（48・AC-\A&-\-AC-\AB'AC^

AC--^AS+〃）=诵.AC—^ASf+2^=,花

越宿=9"即।丽=4宓，故案=近

答案：^3

（3）（双空填空题）已知向量a,b,其中|a\=A/3,b—2,且（a~~协la,则向量a和b的夹角

是一,a•（a+b）=^

解析：本题考查向量数量积的垂直性质.由题意，设向量a,6的夹角为，.因为㈤=

:，|引=2,且（a—6）_La,所以（a—/（）,a=a--a•b=aI'—IaI61cos。=3—24,cos

nn

，=0,解得cos«=彳.又因为OW"Wn,所以贝！|a♦（a+b）=|a「+ab,cos

&=3+2/*亭=6.

答案：y6

「课时作业•限时提能练速度练规范高效提能

限时40分钟满分80分

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）

2

1.（2020•昆明模拟）已知复数2=不：-则（）

一1十1

A.z的模为2B.z的实部为1

C.z的虚部为一1D.z的共规复数为1+i

2—1—

解析：C[根据题意可知，F=-2一=T-i，所以，的虚部为T，实部为一

1,模为z的共轨复数为T+i,故选C.]

2.已知i为虚数单位,aGR,若苗•为纯虚数，则复数z=2a+啦i的模等于（）

A.72

C.小D.乖

解析:C[由题意可设亓『i,tW0,...2-i=-f+tai,

：.z=2a+y[2i=l+y/2i,

•'-\z\=近故选C.]

3.(2019•全国H卷)已知诵42,3),应三(3"),|应1=1,则葩•击=()

A.—3B.—2

C.2D.3

解析：C[•.•比=而一崩=(3")—⑵3)=(1,L3),

A\BC\=VF+~1~5=1,；"=3,.•.击=(1,0),

.,.葩•(2,3)•(1,0)=2.]

4.（2019•北京卷）设点48"不共线，则“诵与花的夹角为锐角”是U\A'B+AC\>\BC\^,

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：C［本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了

转化与化归数学思想.

•.3、B、C三点不共线，

|AB+AC\>|反1=|葩+行|>|AB~~AC\QiAB+AC\2>\葩一/T=诵•AC>0=葩与北

的夹角为锐角.故“恭与能的夹角为锐角”是\AB+AC\>\BC\n的充分必要条件，故选C.］

5.（2020•南昌模拟）欧拉公式e"=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家

欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复

变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知,egi表示的

复数在复平面中位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：A［根据欧拉公式得eT~i=cosT~+isinf~="+乎i，它在复平面中对应的点为

ooj乙乙

位于复平面中的第一象限.]

6.（2019•吉林三模）已知z是纯虚数,丁一是实数,那么z等于（

1—1

解析：D［设z=di(aW0,a£R),则

z+2ai+2+a

1-i1-i

因为黄一是实数,所以2+a=0na=-2,故z=-2i.]

l-i

7.（2020•兰州诊断考试）在△/直■中,."是8c的中点,4仁1,点〃在4"上且满足亦=2萩

则布•（丽+而等于（）

解析:

A[如图，：诵=2城.•.苏=两+无

：.~PA-（沏+的=一府，

2

；4井=1且4r-2曲r：.\PAr\=~

：.PA>（沏+的=-*]

8.（多选题）下列命题正确的是（）

A.若复数©,Z2的模相等,则©,Z2的共规复数

B.4Z2都是复数，若Zi+Z2是虚数，则不不是说的共辗复数

C.复数z是实数的充要条件是z=5（2是z的共轨复数）

D.已知复数©=—l+2i,zz=l—i,z,=3—2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为

A,B,C,。为坐标原点,若应'=x而+y应（x,yCR）,则x+y—i

解析：BC[本题考查复数的基本概念和向量的坐标运算.对于A,©和Z2可能是相等的复

数，故A错误；对于B,若©和Z2是共轨复数,则相加为实数,不会为虚数,故B正确；对于C,

由a+bi=a-bi得6=0,故C正确;对于D,由题可知,4(一1,2),5(1,-1),<7(3,-2),建立等

Lx+y=3,fx=l,

式(3,—2)=(—x+y,2x—y),即解得故D错误.故选BC.]

[2x一尸一o2,[y=4,

9.(2019•张家界三模)边长为2的等边△?1比所在平面内一点M满足方仁颉汁昴则

84

---

AC.99

B.

6D.8

919-

解析：A[苏I•应=2X2Xcosk=2,茄I•茄=（而一方0•（2一百/）=

O

可•仔龙一^。)=；而.而一；次一£滂+^-X22—|,X22+|=—]

在平行四边形ABCD中,£尸分别是园切的中点,鹿交”于〃记诵,反分别为a,b,则方/=

()

B[如图，过点尸作成■的平行线交然于G,

则G是瓦■的中点,且谦=3反三"应

工&=；而,易知△[MMXFHG,

从而磔：.AH=^AF,AF—AD+^F=b-\--^a,

：.~AH=^b-\-^a\=|a+|A故选B.]

n

11.（2018•浙江卷）已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为了,

向量8满足•6+3=0,则|a—引的最小值是（）

A.yfi—1B."\^3+1

C.2D.2—73

解析：A［设e=（1,0）,6=（用力,

则A2—4e•6+3=0=V+/—4入+3=0=（X—2）'+/=1

如图所示,a—OA,b=OB,（其中A为射线OA上动点,8为圆。上动点，ZAOx=^r.）

|a—引，=|Q|—1=4一1.（其中CDL0A.）｝

12.（2020•贵阳模拟）在等腰直角中，/48C=90°,AB=BC=2,M,N为〃'边上的两

个动点（MN不与4c重合），且满足I而I=镜,则丽•瓦的取值范围为（）

A.］,2B.（5，2）

唱,2）唱,+8）

解析：

C［不妨设点"靠近点4点N靠近点C,以等腰直角三角形力比的直角边所在直线为坐标

轴建立平面直角坐标系，如图所示，则6（0,0）,4（0,2）,以2,0）,线段AC的方程为x+y—2=

0（0Wx<2）.设M（a,2—a）,N（a+l,1—a）（由题意可知0<a<l）,

：.BM={a,2~a),BN^{a+\,l~a),：.BM»左a(a+l)+(2—a)(l-a)=2才一2a+2=

2（a-g）+|,.•.由二次函数的知识可得而猴'2）］

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

32—

13.(2020•潍坊模拟)复数©=、+(10—/)i,Z2=^—+