专题29 正方形的性质与判定【十六大题型】（举一反三）（原卷版）

专题29正方形的性质与判定【十六大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】 2【题型2正方形的判定定理的理解】 3【题型3证明四边形是正方形】 4【题型4求正方形重叠部分面积】 6【题型5与正方形有关的折叠问题】 7【题型6根据正方形的性质与判定求角度】 8【题型7根据正方形的性质与判定求线段长】 9【题型8根据正方形的性质与判定求面积】 10【题型9根据正方形的性质与判定证明】 12【题型10根据正方形的性质与判定解决多结论问题】 13【题型11与正方形有关的动点问题】 15【题型12与正方形有关的规律探究问题】 16【题型13正方形与一次函数的综合应用】 18【题型14正方形与反比例函数的综合应用】 19【题型15正方形与一次函数、反比例函数综合应用】 21【题型16正方形与二次函数综合应用】 23【知识点正方形的性质与判定】定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质．性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等．性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角．性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线．另外，由正方形的性质可以得出：（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．3．判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：（1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直．（2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等．【题型1根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】【例1】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形ABCO为正方形，点A的坐标为1,3，将正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（

）

A．3,-1 B．-1,-3 C．-1,3【变式1-1】（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=BC．则∠BEC的度数为．【变式1-2】（2023·河南·统考二模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是．

【变式1-3】（2023·江苏盐城·校考模拟预测）如图，以正方形ABCD的两边BC和AD为斜边向外作两个全等的直角三角形BCE和DAF，过点C作CG⊥AF于点G，交AD于点H，过点B作BI⊥CG于点I，过点D作DK⊥BE，交EB延长线于点K，交CG于点L．若S四边形ABIG=2S△BCE，GH=1

【题型2正方形的判定定理的理解】【例2】（2023·河北邢台·统考二模）下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-1】（2023·河北邢台·二模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是（

）A．AC=BC=CD=DAB．AO=CO，BO=DO，AC⊥BDC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AB=BC，CD⊥DA【变式2-2】（2023·河南南阳·统考三模）在▱ABCD中，已知AC、BD为对角线，现有以下四个条件：①∠ABC=90°；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=BC．从中选取两个条件，可以判定▱ABCD为正方形的是．（写出一组即可）【变式2-3】（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型3证明四边形是正方形】【例3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）综合与实践如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，将△ACD绕点A顺时针方向旋转，使AC与AB重合，得到△ABE，过点E作EF∥BC，交AB于点F，过点F作FG⊥BC于点G．

(1)求证：四边形BEFG是正方形；(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．D是BC边上一点，将△ACD绕点A顺时针方向旋转，使AC落在边AB上，得到△AFE，过点E作EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点I，J，G，过点F作FH∥BC，交AD于点H，且∠AEG=∠AHG．求证：四边形EGHF是矩形；(3)在图2中，若∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BD=3DC．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，使AC落在边AB上，得到△AEF，过点E作EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点I，J，G．求线段FI的长度．【变式3-1】（2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA．求证：四边形AECF是正方形．【变式3-2】（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使FE=DF，连接AE、AD、CE

【变式3-3】（2023·福建泉州·统考二模）在ΔABC中，∠ABC=90°，将ΔABC绕点A逆时针旋转得到ΔADE（点B的对应点是点D，且0°<∠BAD<180°），射线DE与直线CB

(1)如图1，当∠BAD=90°时，求证：四边形ADMB是正方形；(2)如图2，当点D在线段CA的延长线上时，若AB=1，AC=3，求线段ME的长；(3)如图3，过点A作AN∥DE，交线段CB于点N，AN平分∠CAE，试探索：CN与MN的数量关系，并说明理由．【题型4求正方形重叠部分面积】【例4】（2023·浙江·统考中考真题）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（用含a，b的代数式表示）．【变式4-1】（2023·四川自贡·统考一模）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为(

)A．33 B．36 C．39【变式4-2】（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为．【变式4-3】（2023·天津·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS【题型5与正方形有关的折叠问题】【例5】（2023·安徽·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，G为AD边上一点，将△ABG沿BG翻折到△FBG处，延长GF交CD边于点E，过点F作FH∥BC分别交BG,AB,CD于点H,P,Q．请完成下列问题：（1）∠EBG=°；（2）若FH=12BC=4，则【变式5-1】（2023·江苏扬州·校考三模）在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），连接AE，将△ABE沿AE向右翻折得△AFE，连接CF和DF，若△DFC为等腰三角形，则BE

【变式5-2】（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2，将其沿EF翻折，使∠EFC=120°，顶点B恰好落在线段AD上的点G处，点C的对应点为点H．则线段AE的长为．

【变式5-3】（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E,F，连接BM．

(1)求证：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的长．【题型6根据正方形的性质与判定求角度】【例6】（2023·江西南昌·一模）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图1，连接BG、CF，①求CFBG②求∠BHC的度数．(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．【变式6-1】（2023·陕西·陕西师大附中校考二模）如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=.【变式6-2】（2023·山东潍坊·统考二模）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．若∠AEC=140°，求∠DFE的度数．【变式6-3】（2023·福建·模拟预测）四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD＝30°，点G与点D关于直线AP对称，连接BG．(1)如图，若四边形ABCD是正方形，求∠GBC的度数；(2)连接CG，设AB＝a，AD＝b，探究当∠CGB＝120°时，求b的值．【题型7根据正方形的性质与判定求线段长】【例7】（2023·河南信阳·二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为．【变式7-1】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE.若DE⊥AB于点F，BC=10，则AF的长为．

【变式7-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，延长CE交AB于F．交BD于点G，且CG垂直BD，将ADE绕点A旋转至AE∥BD时，若CE=5，EF=1，则BG的值是【变式7-3】（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，AD=2，点E，F分别是边AD，BC上的两个动点，且AE=CF，过点B作

A．210-2 B．10+2 C【题型8根据正方形的性质与判定求面积】【例8】（2023·浙江舟山·校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H、P，若NP=HP，NF=1，则四边形ABMN的面积为（

）A．3 B．2.5 C．3.5 D．5【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接BD且BD平分∠ABC．若AB+BC=8，则四边形ABCD的面积为．【变式8-2】（2023·甘肃白银·校联考一模）模型探究：（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E，若AE=10，求四边形ABCD的面积．拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E，若AE=19，BC=10，CD=6，求四边形

【变式8-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=32，若CE⋅DE=6，则正方形的面积为（

A．20 B．22 C．24 D．26【题型9根据正方形的性质与判定证明】【例9】（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED．点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE=3EF，DF=38时，求【变式9-1】（2023·山东泰安·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=1，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG，EB．

(1)求证：①∠EFB=∠EBF；②矩形DEFG是正方形；(2)求AG+AE的值．【变式9-2】（2023·山东泰安·三模）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

(1)如图1，求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB=2，CE=2，求CG(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．【变式9-3】（2023·内蒙古赤峰·统考三模）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'(点A的对应点为点C)，延长AE交CE'于点猜想证明：(1)试判断四边形BE(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE(3)如图①，若AB=10，CF=2，请直接写出DE的长．【题型10根据正方形的性质与判定解决多结论问题】【例10】（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB，BC的中点，CM与DN相交于点G，延长BG交CD于点E，CM交BD于点H．下列结论：①CM⊥DN；②BH=BM；③S△DNC=3S△BMH；④∠BGM=45°；⑤

A．②③④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤【变式10-1】（2023·广东深圳·统考二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④PGAE=2−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式10-2】（2023·广东河源·统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．有以下四个结论：①BF=2BQ；②△DEF的周长为12；③线段AH的最小值为2；④A．1 B．2 C．3 D．4【变式10-3】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形EFNB的面积占正方形ABCD面积的58．正确的有（

A．①③ B．①② C．只有① D．②③【题型11与正方形有关的动点问题】【例11】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（

）A．13 B．522 C．412【变式11-1】（2023·山东济南·校联考二模）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝2HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为()A．①③ B．①② C．②③ D．①②③【变式11-2】（2023·湖北黄石·黄石十四中校考模拟预测）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．（1）如图1，∠BAP=20°，直接写出∠AFE=；（2）如图2，连接CE，G是CE的中点，AB=1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长为．【变式11-3】（2023·陕西西安·高新一中校考二模）如图，正方形ABCD中，AD＝4+23，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当PA＝PB时，则线段AE＝．【题型12与正方形有关的规律探究问题】【例12】（2023·辽宁阜新·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A．5×(32)2010 B．5×(【变式12-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为底边在正方形ABCD内作等腰ΔABE，点E在CD边上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A1B1C1D1A．122018 BC．2(52)2018【变式12-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴，y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2019的坐标为．【变式12-3】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形A2020B2020C2020A2021的周长为．【题型13正方形与一次函数的综合应用】【例13】（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A0,3,B1,0，将正方形ABCD沿x轴的负方向平移，使点D恰好落在直线AB上，则平移后点B

【变式13-1】（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x-5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为．【变式13-2】（2023·辽宁葫芦岛·校联考二模）如图，MN⊥BE，垂足为点B，BD平分∠MBE，BD=2，点A从点B出发，沿射线BN运动，连接AD，DC⊥AD交BE于点C，设AB=x，△BDC的面积为y，则下列图象中能大致反映 B． C． D．【变式13-3】（2023·江苏·模拟预测）直线l：y=12x-1分别交x轴，y轴于A，(1)求线段AB的长；(2)如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线EF上存在两点C，D，使四边形ABCD为正方形，求此时E点坐标和直线AD的解析式；(3)在（2）的条件下，将EF绕E点旋转，交直线l于P点，若∠OAB+∠OEP=45°，求P点的坐标．【题型14正方形与反比例函数的综合应用】【例14】（2023·安徽·二模）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=-3xx<0和y=6xx>0的图象上，点B，C在

A．1,3 B．2,3 C．2,2 D．3,2【变式14-1】（2023·北京西城·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=6xx>0图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=-2xx<0的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．①④【变式14-2】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，反比例函数y=kx(x>0)图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD=2CD，则kA．3 B．185 C．165 D【变式14-3】（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=n

A．-3 B．-13 C．13【题型15正方形与一次函数、反比例函数综合应用】【例15】（2023·江苏·一模）直线l：y=12x-1分别交x轴，y轴于A，(1)求线段AB的长；(2)如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线EF上存在两点C，D，使四边形ABCD为正方形，求此时E点坐标和直线AD的