2023年高考全国甲卷数学(文)真题含解析

2023年高考数学全国甲卷(文)满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1.设全集U=1,2,3,4,5，集合，则（）A.2,3,5 B.1,3,4 C.1,2,4,5 D.2,3,4,52.（）A. B.1 C.1−i D.1+i3.已知向量，则cosa+b,A.117 B.1717 C.554.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16 B. C.12 D.5.记Sn为等差数列an的前n项和．若，则S5=A.25 B.22 C.20 D.156.执行下边的程序框图，则输出的B=（）A.21 B.34 C.55 D.897.设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1A.1 B.2 C.4 D.58.曲线y=exx+1在点1,A. B. C. D.9.已知双曲线的离心率为5，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则|AB|=（）A55 B.255 C.3510.在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A.1 B. C.2 D.311.已知函数．记，则（）A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b12.函数的图象由y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题13.记Sn为等比数列an的前n项和．若，则an的公比为14.若fx=(x−1)215.若x，y满足约束条件3x−2y≤3,−2x+3y≤3x+y≥1,，则z=3x+2y的最大值为16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，为A三、解答题17.记△ABC的内角的对边分别为a,b,c，已知．（1）求bc；（2）若，求△ABC面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C（1）证明：平面ACC1A（2）设，求四棱锥A1−B19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表<m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2P0.1000.0500.010k27063.8416.63520已知函数fx=ax−（1）当a=1时，讨论fx（2）若，求a的取值范围．21.已知直线x−2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B（1）求；（2）设F为C焦点，M,N为C上两点，且FM⋅FN=0，求（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知点P2,1，直线l:x=2+tcosα,y=1+tsinα（t为参数），α为l的倾斜角，l与（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知．（1）求不等式fx（2）若曲线与x轴所围成的图形的面积为2，求a2023年高考全国甲卷数学(文)满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题1.设全集U=1,2,3,4,5，集合，则（）A.2,3,5 B.1,3,4 C.1,2,4,5 D.2,3,4,5【答案】A【解析】因为全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，所以∁U又N={2,5}，所以N∪∁2.（）A. B.1 C.1-i D.1+i【答案】C【解析】51+i33.已知向量，则cosa+b,A.117 B.1717 C.55【答案】B【解析】因为a=(3,1),b=(2,2)则a+b=所以cosa+b4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16 B. C.12 D.【答案】D【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C4其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C2所以这2名学生来自不同年级的概率为46=25.记Sn为等差数列an的前n项和．若，则S5=A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【解析】方法一：设等差数列an的公差为d，首项为aa2+a又a4a8所以S5方法二：a2+a6=2a4从而d=a8-所以S5故选：C.6.执行下边的程序框图，则输出的B=（）A.21 B.34 C.55 D.89【答案】B【解析】当k=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=1+2=3，B=3+2=5，k=1+1=2；当k=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8，B=8+5=13，k=2+1=3；当k=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21，B=21+13=34，k=3+1=4；当k=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34．故选：B.7.设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】方法一：因为PF1⋅从而S△FP1故选：B.方法二：因为PF1⋅PF所以PF12PF12故选：B.8.曲线y=exx+1在点1,A. B. C. D.【答案】C【解析】设曲线y=exx+1在点1,因为y=exx+1所以k=y'|所以曲线y=exx+1在点1,故选：C9.已知双曲线的离心率为5，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则|AB|=（）A.55 B.255 C.3【答案】D【解析】由e=5，则c2a所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d=|2×2-3|所以弦长|AB|=2r故选：D10.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】取AB中点E，连接PE,CE，如图，∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，∴PE⊥AB,CE⊥AB，又PE,CE⊂平面PEC，PE∩CE=E，∴AB⊥平面PEC，又PE=CE=2×32=故PC2=P所以V=VB-PEC11.已知函数．记，则（）A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】A【解析】令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为因为62-1-1-所以62-1-由二次函数性质知g(6因为62-1-1-即62-1<1-22，所以又y=ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.12.函数的图象由y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为y=cos2x+π6向左平移π6而显然过0,-12与1,0两点，作出fx与考虑2x=-3π2,2x=3π2,2x=7π当x=-3π4时，f-当x=3π4时，f3π当x=7π4时，f7π所以由图可知，fx与的交点个数为3.故选：C.填空题13.记Sn为等比数列an的前n项和．若，则an的公比为【答案】-【解析】若q=1，则由得8⋅6a1=7⋅3a1所以q≠1.当q≠1时，因为，所以8⋅即8⋅1-q6=7⋅1-解得q=-12.14.若fx=(x-1)2【答案】2【解析】∵f且函数为偶函数，∴a-2=0，解得a=2，故答案为：215.若x，y满足约束条件3x-2y≤3,-2x+3y≤3x+y≥1,，则z=3x+2y的最大值为【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数y=-32x+z2由-2x+3y=33x-2y=3可得x=3y=3，即,所以z故答案为：1516.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，为A【答案】[2【解析】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R'为体对角线长AC1=分别取侧棱AA1,BB1,CC1,DD1连接MG，则MG=42，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为22.综上，R故答案为：[2解答题17.记△ABC内角的对边分别为a,b,c，已知．（1）求bc；（2）若，求△ABC面积．【答案】（1）1（2）【解析】【1】因为a2=b2+【2】由正弦定理可得a=sin变形可得：sinA-B-sin而0<sinB≤1，所以cosA=-故△ABC的面积为．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C（1）证明：平面ACC1A（2）设，求四棱锥A1-B【答案】（1）证明见解析.（2）1【解析】【1】证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面所以A1C⊥BC,又因为∠ACB=90A1C,AC⊂平面ACC1A1，A又因为BC⊂平面BCC1B1,所以平面【2】如图，过点A1作A1O⊥C因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1所以A1O⊥平面BCC1B因为A1C⊥平面ABC，AC,BC⊂平面ABC,所以A1又因为A1B=AB，BC为公共边，所以△ABC与△A设A1C=AC=x，则A1C1=x，所以又因为A1C⊥AC,所以A1C2+A所以A1所以四棱锥A1-BB19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表<m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2P0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）（2）（i）m=23.4；列联表见解析，（ii）能【解析】【1】试验组样本平均数为：1+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=【2】（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,⋯故第20位23.2，第21位数据为23.6，所以m=23.2+23.6故列联表为：<m≥m合计对照组61420试验组14620合计202040（ii）由（i）可得，K2所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20.已知函数fx（1）当a=1时，讨论fx（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）fx在0,π2【解析】【1】因为a=1，所以，则，令t=cosx，由于x∈0,所以cos3因为t2+2t+2=t+12+1>0所以在0,π2所以fx在0,π【2】法一：构建，则，若gx=fx则g'0=a-1+1=a≤0当a=0时，因为，又x∈0,π2，所以0<sinx所以，满足题意；当a<0时，由于0<x<π2，显然所以，满足题意；综上所述：若，等价于a≤0，所以a的取值范围为-∞,0.法二：因为，因为x∈0,π2，所以0<故在0,π2所以当a=0时，，满足题意；当a<0时，由于0<x<π2，显然所以，满足题意；当a>0时，因为，令，则，注意到，若∀0<x<π2，g'x>0注意到g0=0，所以gx若∃0<x0<π2所以在0,π2上最靠近x=0处必存在零点x1此时g'x0,x1上有g'x则在0,x1上有gx综上：a≤0.21.已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B（1）求；（2）设F为C的焦点，M,N为C上两点，且FM⋅FN=0【答案】（1）p=2（2）12-8【解析】【1】设Ax由x-2y+1=0y2=