四川省内江市某中学2023-2024学年高一年级下册第一次月考数学试题 含解析

内江六中2023〜2024学年下学期高2026届第一次月考

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

第I卷.选择题（满分60分）

一、单选题（每题5分，共40分）

1.tanl5°=（）

&+0

4£）6.--4--2----C.2+石D.2->/3

44

【答案】D

【解析】

【分析】由tan15°=tan（45°—30°）,利用两角差的正切公式计算可得.

【详解】tan15°=tan（45°-30°）

_tan45°-tan30°_3_26

1+tan45°tan30°,J3

1+lx——

3

故选：D

2.下列说法正确的是（）.

A.单位向量均相等

B.向量。，方满足。.。=0，则。，。中至少有一个为零向量

C.零向量与任意向量平行

D.若向量之，满足同=,卜则。=±匕

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的基本概念、数量积的定义逐项判断即可得结论.

【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；

对于B：向量。，匕满足。力=0,贝1同=。或忖=。或夹角为叁，故B错误;

对于C：零向量与任意向量平行，故C正确；

【分析】结合降塞公式得到sin2A=sin25,所以2A=25或24+25=万，从而可判断三角形的形状.

【详解】因为sinAcosA=sin5cos5,所以』sin2A=Jsin23,即sin2A=sin25,所以2A=23

22

JT

或2A+25=»,故A=5或A+5=—,所以ABC是等腰三角形或直角三角形，

2

故选：D.

7.已知函数/(x)=sin[?u：+m)在一个周期内的图象与x轴、y轴交于点A、点8,过点A的直线相交

于另外两点C、D.设。为坐标原点，则3C+8D在。4方向上的投影向量的模为(

41

A.-B.cD.-

3-13

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出3、A的坐标，依题意可得点A为线段CD的中点，从而得到3。+3。=2及1，根据

umnuumUUT

数量积的坐标表示求出3C+3。・04,再根据投影向量的定义求出3C+BD在Q4方向上的投影向量,

即可得解.

71,可得/(o)=sin]=¥，即50,

【详解】因为/(x)=sinTtXH---

3

由图可知：点A为减区间的对称中心,

712

令兀x+—=2E+兀，keZ,解得％=2左+—,keZ,

33

2/22)(2

取％=0,则％=二，即川不0|,可得A4=j,

332

uumuumuu-

因为点A为线段CD的中点，则3。+3。=2氐4

/UlinUnixuur49

所以+==FH=r

/UlinUlin、uuruur8uur

(BC+BD\OA

OA_9铮=2抗/

则BC+28在。4方向上的投影向量为-----tttJ——1uur1X

OAOA2

1133

4

所以BC+B。在Q4方向上的投影向量的模为

故选：B

8.设函数，（x）=sinox+g在区间（0,兀）恰有三个取得最值的点、两个零点，则实数。的取值范围

是（）.

苣巨、

A.139B_3,6j

'138一(1319-

cD.

【答案】C

【解析】

7T

【分析】利用换元法设/=0X+§,分类讨论。并利用正弦函数图象列不等式求解.

【详解】显然。=0不合题意；

当。＞0时，设"ox+l，则y=/（x）=sinf,

当XG（0,7l）时，①兀-函数〃尤）在（0,兀）上恰有三个最值点、两个零点,

（n71\

oy=siiW在兀+§上恰有三个最值点、两个零点，如图1.

5兀斗

ODM

23

图1图2

SilTT…138

由图可知应有‘＜即+'«3兀,解得~<a>-~；

2363

,,717t,e

当6y<0时，a)7i+—I,如图2,

（7C71]

由图可知丁=5也/在①兀+§,§上不可能有三个最值点、两个零点，不合题意;

所以实数0的取值范围是”,彳，

I63」

故选:C.

二、多选题(每题5分，共20分)

9.已知函数/(x)=3sin[2x+1],函数g(x)的图象由/(%)图象向右平移:个单位长度得到，则下

列关于函数g(x)的说法正确的有()

A.g(x)的图象关于点卜称

B.g(x)的图象关于直线尤1对称

JTSJT

C.g(x)在一五，五上单调递增

D.g(x)在一三，；上单调递减

63

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据三角函数的图象变换求得函数g(x)=3sin12x-W；结合正弦型函数的图象与性质，逐项

判定，即可求解.

【详解】由函数/(x)=3sinJx+幻的图象向右平移:个单位长度，

所得图象对应的函数为g(x)=3sin2〔x—=3sin12x—个],

对于A中，当A方，可得g(x)=0,所以g(x)关于点对称，所以A正确；

对于B中，当x=时，可得g[f)=3,所以g(x)关于直线x=]对称，所以B正确；

,1,715兀,,八717171

对于C中，当X£--时,可得

24246494

715兀

根据正弦函数的性质，可得g(x)在上单调递增，所以正确；

-24924C

11

_

33_71兀兀

1||_

对于D中，当XG_时，可得2%——E

_~2"2_

1631_6

715兀

根据正弦函数的性质，可得g(x)在上单调递增，所以不正确

-24924D

故选：ABC.

10.若sin(a+，)+cos(tz+，)=2夜cos[a+：]sin，，则下列结论不正确的是().

A.tan(a-/)=lB.tan(«-/7)=-1

C.tan(tz+齐)=1D.tan(«+/?)=-l

【答案】ACD

【解析】

【分析】由两角和与差的正弦，余弦，和同角三角函数关系化简可得.

【详解】因为sin(«+y0)+cos(«+夕)=2后cos'+[]sin/3,

所以可得：

sinacos§+cosasinJ3+cosacos,一sinasin£

=2cos(Zsin2sintzsin/3

化简可得sinacos力一cosesin£+cosacos£+sinasin£=0,

即sin(«-/7)+cos(a-/7)=0,

所以tan=

故ACD错误，B正确；

故选：ACD.

11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况

下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深/«)(单位：m)

与时间/(单位：h)从0〜24时的关系可近似地用函数/心=Asin(°/+9)+"A〉O,0〉O,|d<(J

来表示，函数/«)的图象如图所示，贝I()

ir

A./(0=3sin-Z+5(0<?<24)

6

B.函数/⑴的图象关于点(12,0)对称

C.当/=5时，水深度达到6.5m

D.己知函数g⑺的定义域为[0,6],g(2t)=/(2。—〃有2个零点九芍，则tan/^=6

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图象的最值求出46,再根据图象得到其周期则得到。，代入最高点求出。，则得到三角

函数解析式，则判断A,再结合其对称性即可判断B,代入计算即可判断C,利用整体法和其对称性即可

判断D.

【详解】对A,由图知/(/)1mx=8,/(/)疝n=2,,/=3,

Z+

b：/()max/(Omln：g

2，

，TT7T

的最小正周期T=12,...O=T=X，

/⑶=3sin[]+o]+5=8,.,.]+夕=]+2版(左eZ),解得：0=2E(ZeZ),

又|同</，；.0=O,.,./«)=3sin々+5(0</V24),故A正确；

26

对B,令〜=kn,(^GZ),解得[=6左，(左wZ),

6

当左=2时，，=12,

贝1J/(12)=3sin271+5=5,

则函数/⑺的图象关于点(12,5)对称，故B错误;

JT

对C,/(5)=3sin—X5+5=6.5,故C正确;

6

对D,2/e[0,6],则fe[0,3],令g(2f)=/(2。—“=0,

则/(2力=〃，令2t=m,则根据图象知两零点叫,〃马关于直线f=3,

则叫+g=6,即2%+=6,则：+七=3,

7171/T

则tan----=tan—=V3,故D正确.

11It?

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.

(X-B

12.对任意两个非零的平面向量a和£,定义a=若平面向量5、匕满足同2忖〉0,。与

JTn

b的夹角，e0,-，且〃。和Z?d都在集合加£Z,〃£Z｝中.给出以下命题，其中错误选项的

m

是).

A.若%=1时，则〃b=ba-\

B.若租=2时，则〃'I

若加=3时，则〃b的取值个数最多为7

20242

D.若m=2024时，则〃。的取值个数最多为生土

2

【答案】BD

【解析】

d-b同cos。\b\cosO

【分析】由新定义可知ab=b•a1।,再对每个命题进行判断，即可

2,b

bb°Fa

得出结论.

7a-ba。\cos0Z?cos。

b=^-=—b-a

【详解】对A,若%=1时，@=〃，bI」——=%，

bb°Fa

两式相乘得cos?。‘又公呜'

<cos20<1,即:<小々<1,且〃>0,勺wZ,

・・.〃=4=1,即Qb=b〃=1，故A正确；

了a'b|Q|COS。n

对B,若m=2地，则〃b=-^=:J=3,

\bCOS0〃cH/i

同理,相乘得到=」，

8a=।I=cos2©

\a\24

又，e0,—,所以，Wcos2ewl,即工<■^■<1,

L4j224

则（","）取值（2,1）时符合等<1,此时ab=l，故B错误；

7a-b|Q|COS。n

对C,若根=3时，则〃b=-^=w=耳,

同理6a=W：：se=4,相乘得cos2e=迫，

同39

又0,—,<cos20<1,/.—<<1,且“〉0,4>0,",4eZ,

L4j229

又同》W〉0,得〃2〃],

当〃=3时，〃i=2,3；

当九=4时，4=2；

当〃=5,6,7,8,9时，“1=1；

：.a〃的取值个数最多为7个，故C正确；

对D,若加=2024时，由上面推导方法可知!<—A<1,

220242

2

220242

/.n>nnA>,；♦"210120，1432<n<2024，

c20242

匕的取值个数最多为202牛—1432+1w---------故D错误.

2

故选：BD.

第n卷非选择题（满分90分）

三、填空题（每题5分，共20分）

13.与a=(3,-4)同向的单位向量为.

34

【答案】(子―M)

【解析】

【分析】根据向量同向设出万，再根据单位向量求出坐标即可.

【详解】设与a=(3,-4)同向的单位向量为b=267(2>0)

所以〃=A,a=A(3,—4)=(34,—44),

又因为b是单位向量，所以忖=，9%+16%=25囚=1,所以X=±g,

而2〉0,所以2=(,所以人=(|,—g).

故答案为：.

14.已知a=(3,4+2)1=(41),若a与匕的夹角为锐角，则实数4的取值范围是.

【答案】(—；,l)U(l,+s)

【解析】

【分析】根据d与6的夹角为锐角，可知。与6的数量积大于0,但要排除二者同向的情况，由此可求得

答案.

【详解】由题意，a与匕的夹角为锐角，

故。，。〉0，即32+(X+2)xl>°,即X〉—万,

当行与方共线时，3—4。1+2)=0,解得4=1或;1=—3,

当力与。同向时，4=1,此时〃./?>(),但不符合〃与/?的夹角为锐角，

故实数X的取值范围是(—;/)_(1,+8),

故答案为：(—―,1)(1,+°0)

15.在ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=l,则。的大小是.

TT

【答案】-##30°

6

【解析】

【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式求解即可.

【详解】由3sinA+4cos5=6,3cosA+4sinB=l,

两式平方和得9sin2A+9cosnA+16cos2B+16sin2B+24sinAcosB+24cosAsinB=36+1，

即9+16+24sin(A+5)=37,因而sin(A+B)=；.

在^ABC中，sinC二sin[兀一(A+B)]=sin(A+B)=g,且C£(0,兀)，

._..7T_5兀

因而C二一或一，

66

又3cosA+4sinB=1化为4sinB-l-3cosA>0,

所以COSA<!<‘，则A>四，故。=

3236

TT

故答案为：—

6

16.在一ABC中，AB=(2m,m+5),AC=(cosa,sina),(meR,aeR),若对任意的实数才，

\AB-tAc\>|AB—A4恒成立，则BC边的最小值是.

【答案】M

【解析】

分析】设AD=/AC，得到卜5—/44=|。⑷2口目恒成立，得出ACSBC,根据题意，结合勾股

定理，得至何=,网2—时，即可求解.

【详解】设AD=/AC，如图所示，

因为对任意的实数/,都有|A3-7Aq2,3-714恒成立，

由|AB-MC|=|AB-AD|=|DB|>画恒成立，则ACIBC,

因为AB=(27〃,m+5),AC=(cos«,sin«),所以卜,=/(以+厅+20,|AC|=1,所以

\BC\=^|AB|2-|AC|2=^5(/n+1)2+20-1>J20—1=719，

当且仅当，”=-1时，等号成立.

故答案为：V19.

【小问2详解】

因/(^)=3+3sin^+2cos^=V13sin(^+^)+3,

23

其中sin/=-^=,cGS(p=-j=,

vl3713

所以当6+0=]+2版(左eZ),即9=^+2E—0/eZ时，/(。)有最大值3+屈，

,,n,.八.，兀c,13713

止匕时sin"=sm[/+2KH~(p\-coscp-[丁,

故当/(O)取最大值3+JF时，sin，=千3.

21.为了庆祝巴蜀中学建校90周年，学校将在校园内悬挂各种宣传板，有一种宣传板由一个四边形和一

个三角形拼接而成(如图)，在四边形ABC。中，CDVCB,ABCD,尸为四边形ABC。外一点，

尸于点M,PN交AB于点、N,PA=4,CD=2日PM=近，ZPAB^0.

12

jrjr

(2)若N为AB的中点，一W6W—,求四边形的面积的最大值.

43

【答案】(1)BC=娓；

(2)7.

【解析】

【分析】(1)由题可得PN=4sin—以及MN=JG，进而即得；

12

(2)由题可得/W=4sin6,AN=4cos0,MN=4sin8—&，然后根据根据条件表示出四边形

ABCD的面积，再利用换元法及二次函数性质即可得出结果.

【小问1详解】

5兀

在RtZ\/W中，NPAB=一，PA=4,

12

••.PN=PAsin*4sin|f=4sin[+^=4><q[+£3+«,

又PM=正，

:.MN=PN—PM=娓,又AB//CD,CDLCB,PMLCD,

所以四边形8cMN为矩形，

:.BC=MN=遍;

【小问2详解】

由题可以得出/W=4sin8,AN=4cos^,MN=4sin0—V2>

根据N为AB的中点即可得出A5=8cos6>,

/4vc

/-------N-------

四边形ABCZ）的面积S=；x（AB+CD）义=；（20+8cos夕）（4sin8—0）,

化简S=16sin6>cos0+4A/2（sin（9-cos6））-2,

令/=sing—cosd=V^sin[d—e0,^,

所以S=8x（l—产）+4"—2=—8/+4"+6=—8.一乎;+7,

对称轴：/=受，o<变<避二1,

442

所以，当f=时，S=7,四边形ABC。面积的最大值为7.

4max

22.已知函数〃x)=2sin[公r+fcos公r—]?(G>0),若/(x)的最小正周期为兀.

(1)求/(%)的解析式;

ZYJTTT

⑵若函数g(x)=/2(x)-W(x)+1在-qq上有三个不同零点X1,X2,当,且不<%<%3.

4

①求实数。取值范围;

JT

②若2%+%>—w，求实数。的取值范围.

71

【答案】⑴〃x)=sin2x+-；

3

(2)©fl,—/5+V153父

；②"[16寸

【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式化简即可.

（2）根据函数零点与二次函数的性质得到关于方的方程，再利用韦达定理、三角函数的性质求解即可.

【小问1详解】

=sin2a)x+-\,

I3

2兀

因为“力的最小正周期为兀，所以工=兀，即啰=1，

兀

所以/(x)=sin|2x+-|.

3

【小问2详解】

71.7T1ta

①由⑴知〃x)=sin2|2x+--asinI2nx+—|+—,

33

由七x咛可得。5+|4，

令/=sin[2x+/J,

,2c兀.c71a兀71一,工一

若函数g（九）=sin2xH——asin2xH-——有二个零点,

33464

IJT\IJT\Z7JTJT

即sin[2x+§J—asin|2x+§J+a=0在一qq有三个不相等的实数根,

3464

也就是关于，的方程r-内+q=0在区间有一个实根，另一个实根在上11上,

422J2

或一个实根是i,另一个实根在|,ik当一个根在［o,；］,另一个实根在］；』

g(0)〉0