期中复习专项训练（九）立体几何专练（三）-外接球（2）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

期中复习立体几何专练（三）—外接球（2）1．已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是A． B． C． D．2．阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥．已知在阳马中，平面，，且阳马的体积为9，则阳马外接球表面积的最小值是A． B． C． D．3．已知中，，，平面外一点满足，则三棱锥的外接球的表面积是A． B． C． D．4．已知四面体中，和都是边长为的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是A． B． C． D．5．如图，半径为的半球内有一个正六棱锥，此正六棱锥的体积为，则球的半径为A．1 B．3 C．4 D．26．正三棱锥中，，，点在棱上，且，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面积的最小值为A． B． C． D．7．在三棱锥中，，，则该三棱锥的内切球的表面积为A． B． C． D．8．已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，平面，则球的体积为A． B． C． D．9．在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是A． B． C． D．10．四面体的四个顶点都在球上，且，，则球的表面积为A． B． C． D．11．正方体棱长为2，为中点，则四面体外接球的体积为．12．已知在正四面体中，点在棱上，为棱的中点．若的最小值为，则该四面体外接球的表面积是．13．设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于，，若，三棱锥的外接球表面积为，则该圆锥的体积为．14．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为．期中复习立体几何专练（三）—外接球（2）答案1．解：一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，所以球的表面积为：，设球的半径为，，所以球的半径为1．所以球的体积为：．故选：．2．解：由题意可知阳马的体积为：，设阳马的外接球的半径为，则，当且仅当时等号成立，所以阳马的外接球的表面积．故选：．3．解：如图所示，中，，，斜边的中点为的外心，．，连接，则平面．．设三棱锥的外接球的球心为点，则点在线段上．设球的半径为，则，解得．三棱锥的外接球的表面积．故选：．4．解：当四面体的体积最大时，平面平面，取，中点分别为，，连接，，，由题意知，，，易知三棱锥的外接球球心，也在底面三角形的外心的垂线上，平面，是三角形的外心，平面，，，连接，，有，三棱锥的外接球的表面积为．故选：．5．解：半径为的半球内有一个正六棱锥，此正六棱锥的体积为，正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，设底面边长为，高为，可得，解得，故选：．6．解：，，，，同理可得，故可把正三棱锥补成正方体，其外接球即为球，直径为正方体的对角线，故，设的中点为，连接，则，且，，当平面时，平面截球的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为，故截面面积为．故选：．7．解：如图，在长方体中，设，，，则，，．，，故四面体的体积．四面体的表面积，根据等体积可得，．该三棱锥的内切球的表面积为．故选：．8．解：取中点，则易得，故为梯形外接圆圆心，过作平面，且使得，则四边形为矩形，故球心在的中点，设球的半径，根据球的性质得，，故，．故选：．9．解：直三棱柱中，如图所示：已知，，，所以利用余弦定理：，整理得，解得，所以，故为直角三角形；所以点为的外接圆的圆心，直三棱柱的外接球的球心在平面的中心位置，由于，所以，故．故选：．10．解：如图，取，的中点，，连结，，，因为，所以，又，故，则，所以为等腰直角三角形，所以，取上一点，连结，，，，因为，，只需使得，则点为三棱锥外接球的球心，设，则，所以，解得，所以，故球的表面积为．故选：．11．解：如图，连接，，，取的中点，连接，，可得，，，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为，所以外接球的体积为：．故答案为：．12．解：将三角形与三角形展成平面，的最小值，即为两点之间连线的距离，则，设，则，由余弦定理，解得，则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，（正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，面对角线长度为，棱长为的正四面体的外接球半径为．所以，设外接球半径为，则，则表面积．故答案为：．13．解：圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于，，若，三棱锥的外接球表面积为，所以圆锥的外接球与三棱锥的外接球相同，外接球的内角为，，解得，即，，所以，所以圆锥的高为：，所以该圆锥的体积为：．故答案为：．14．解：设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆心为，则，为所在正三角形的中心，故