2023北京首都师大附中初三12月月考数学

2023北京首都师大附中初三12月月考

数学

2023.12.26

一、选择题（共16分，每题2分）

1.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,贝Ucos^B的值为（）

3434

A.-B.一C.-D.—

5543

2.已知x=a是关于无的方程/+依—2=o的根，则。的值为（）

A.0B.1C.—1D.+1

3.某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个

点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支.选手获得笔记本的概

率为（）.

4.如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影

子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m,与树距15m,那么这颗树的高度为（）

5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：。）是反比例函数关

系，它的图象如图所示.若不超过3A为安全电流，则电阻的取值范围是（）

6.如图，已知R4,分别与，O相切于4B点,C为优弧ACB上一点，ZAPB=40°,则NACB

等于（）

A.70°B.75°C.80°D.100°

7.如图，RtZXABC与Rt.EDC中NR4c=NDEC=30°,若AE/7BC5C=2,OC=3,AE等于

B.4D.3A/3

8.小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会.现有函

数，=一

（其中m为常数，且/>1）,经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论，其

中错误的是（）

A.经过原点B.不经过第二、四象限

C.关于直线x=m对称D.与直线）=九有三个交点

二、填空题（共16分，每题2分）

9.点A（l,%）,5（2,%）为反比例函数y=K（4w0）上的两个点，若%>为，写出一个符合条件的左的值

10.若将抛物线y=r—2x向上平移后经过点（2,3）,所得抛物线的解析式为.

11.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，贝UtanNACB的值为.

12.若抛物线y=x2+5x-左与x轴有交点，则上的取值范围是.

13.如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，连接OE交对角线AC于点尸，若

AB=4,AD=3,AE=1,则CF的长为.

14.ABC中，A3=AC=4,NA=120。，。是A3的中点，以点。为圆心作C。，若（一。与边BC有且

仅有一个交点，则。的半径厂应满足.

15.若抛物线y=/+6x+c的顶点在x轴上，且关于x的不等式/+法+c〈机的解集为一1＜兀＜3,则

m的值为.

16.正方形ABCD中，点E是A3边上的一个动点，连接。及/。石3的角平分线所交边于点厂，

若DGLEF于点、G,连接AG,BG,给出下面四个结论：

②当4MG＞45°时，存在点E，使得△DEG为等腰直角三角形；

③AG=OG；

④当AG+3G取得最小值时，满足AG+BG=垃CD-

上述结论中，所有正确结论的序号是.

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题,

每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）

17.解方程：X2-4X+2=0

18.已知a为方程2炉—3%—1=0的一个根，求代数式（a+l）（a—l）+3a（a—2）的值.

19.如图，中，点。在边AB上，满足NACD=NABC,若AC=4,AD=3.求05的长.

20.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,垂足P是OB的中点，CD=6cm,求直径AB的长.

B

21.已知关于X的一元二次方程一〃氏+m—1=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若此方程的一个根是另一个根的三倍，求整数用的值.

22.已知二次函数>=--2%-3.

(1)将>=必—2x—3化成y=a(x—入了十女的形式，并写出它的顶点坐标；

(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；

(3)当-l<x<2时，结合图象，直接写出函数值》的取值范围.

23.如图，AB为。。的直径，C为BA延长线上一点，CD是。O的切线，D为切点，OFLAD于点E,交

CD于点F.

(1)求证：ZADC=ZAOF；

24.平面直角坐标系xOy中,点4(2,m)是反比例函数y=-的图象与直线y=x+l的交点.

x

5^

5

(1)求加和左的值;

(2)已知点P(〃,0),过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=x+l于点3,交函数y=&图象于点C.

x

①当〃=3时，求/ACB的度数；

②若NACB>45°,结合图象，直接写出〃的取值范围.

25.在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有

白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出

1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸

球试验，如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果.

红球频率1

0.758

0.756

0.754

0.752

0.750

0.748

0.746

0.744

010002000300040005000600070008000900010000摸爆次数/次

（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是

，其中红球的个数是;

（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是

白球的概率；

（3）在袋中再放入九个白球，那么（2）中的概率将变为（用〃表示）.

26.在平面直角坐标系中，点A（Lm）,3（3,〃）在抛物线丁=依2+法上.设抛物线的对称轴为直线

x=t.

（1）若〃z=T,〃=3,求f的值；

（2）若对于抛物线上的点（外,乂）,（%2，%），当0</<。+1时，都有力>%，求才的取值范

围.

27.如图，为等边三角形，。为AC边上一点，E为延长线上一点，AD=CE.

（1）若尸为皮）的中点，连接

①补全图形；

②判断AQE尸的位置关系和数量关系，并证明.

（2）在（1）的条件下，点B关于直线A厂的对称点是8,连接"E，若A8=&，直接写出"E的

最小值.

28.在平面直角坐标系xQy中，对于点尸和图形以点P为圆心，1为半径作0P,图形M上的每一个

点。（不是原点），都能使得直线O。与。有公共点，那么称图形M和点P关联.

（1）点下列图形中与点P关联的图形是;

①y轴；

②直线％=!；

2

③半径为1的：。；

④线段HK,其中X（O,—1）,K（—L-1）.

（2）点P在直线y=l上，点A在X轴上，点B在第一象限，已知Q45为等边三角形，若OAB与点P

关联，求点尸横坐标方的取值范围；

（3）平面上一点C满足OC=2夜，将点C绕点。顺时针旋转60°得到点C,连接CC,点、尸在线段

CC'上.点E在以。为中心，边长为8的正方形上，E与点P关联，直接写出的半径r的取值范

围.

参考答案

一、选择题（共16分，每题2分）

1.【答案】B

【分析】根据余弦的定义计算即可.

【详解】解：如图，

BC7AB2-AC2=4

BC4

在RtZkABC中，cosB==—,

AB5

故选B.

【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边6与斜边c的比叫做角A的余弦是解题的

关键.

2.【答案】D

【分析】本题考查了方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，掌握方程的解的意义是解题

的关键.把x=a代入*2+依一2=0求得。=±1.

【详解】解：把x代入f+依―2=0得

a~+cr—2=0，

a2=1

故。=±1

故选D.

3.【答案】D

【详解】试题分析：因为一共有9个小正方形，其中黑色小正方形有5个，所以选手获得笔记本的概率为

—,故选D.

9

考点：简单事件的概率.

4.【答案】B

【分析】先判定△。钻和AOCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】解：如图，

:.NDAB^NOCD,

.AB_OB

~CD~~OD，

AB=2m,OB=6m,OD=6+15=21m,

.26

,,一，

CD21

解得CD=7根.

这颗树的高度为7m,

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键.

5.【答案】D

【分析】本题考查了反比例函数的应用.根据函数图象即可得可变电阻的变化范围.

【详解】解：根据函数图象知，

不超过3A为安全电流，则电阻的取值范围是H22，

故选：D.

6.【答案】A

【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点.连接。4、0B,根据切线的性质可得

NOAP=NOBP=9。。,再根据四边形的内角和求出/A03,最后根据圆周角定理即可解答.

【详解】解：如图，连接（M,0B,

PA,P5分别与.。相切于48两点，

:.OArPA,OB±PB,

:.ZOAP^ZOBP^90°,

ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

.\ZACB=-ZAOB=-xl40°=70°.

22

故选：A.

7.【答案】C

【分析】本题考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质；

根据含30。直角三角形的性质结合勾股定理求出AC和CE,然后证明NC4石=90°,再利用勾股定理求

出AE即可.

【详解】解：：RtAABC与Rt,EDC中ZBAC=NDEC=30°,

ZACB=90。，ZDCE=90°,AB=2BC=4,DE=2CD=6,

•*-AC=siAB2-BC2=2>/3-CE=[DE2-C»=3+，

AE//BC,

ZCAE^ZBCA=90°,

•••AE=^CE2-AC2=J(3@2—(2/『=J15，

故选：C.

8.【答案】D

【分析】本题考查了二次函数，反比例函数等性质，根据二次函数和反比例函数知识逐一判断即可得出答

案.

【详解】解：A.当％=0时，y=0,说法正确，故选项不符合题意；

B.当x<0时，y<0,当x>0且xwzn时，y>0,说法正确，故选项不符合题意；

m

。当％=机时，y-------石无意义，说法正确，故选项不符合题意；

(m—m)

x

y=-----------

D.由｛(X-m)2得，可以求得x=m±l,只有两个交点，选项错误，故选项符合题意；

y=x

故选：D.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.【答案】1(答案不唯一)

【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.由题可知4B在

一个象限，根据为>为得到图象位于一、三象限，即左>。给出符合题意的左值即可.

【详解】由题可知A,8在一个象限，

<•,%>为，

k

二反比例函数y=-(k^0)的图象位于一、三象限，

左＞0,

即左=1,

故答案为：1（答案不唯一）.

10.【答案】y—x~—2.x+3

【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数

解析式.

【详解】解：将抛物线丁=三一2x向上平移后的解析式为：y^x2-2x+m（m>0）,

把（2,3）代入y=d-2了+帆得4—4+/〃=3,

解得：m=3,

...解析式为：y=Y—2x+3,

故答案为：y=x2-2x+3.

11.【答案】1

【分析】本题考查三角函数，勾股定理.作5。J_AC于点。，根据等积法求出皮）的长，结合勾股定理

及正切定义直接求解即可得到答案.

【详解】解：作于点。，由图形可得，

BC=V32+12=Vio>AB=2,AC=，32+32=3收，

：.-x3s/2xBD=-x2x3,

22

解得:BD=O，CD=《BC?—BEP=20，

CD2V22

故答案为：g；

25

12.【答案】人-彳

【分析】本题考查抛物线与无轴的交点，解答本题的关键是明确一之0时，抛物线与X轴有交点.

【详解】解：：抛物线y=/+5x—左与x轴有交点，

AA=25-4xlx(-^)>0,

解得：k>-----,

4

25

故答案为：k>-----.

4

13.【答案】4

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理求出AC=5根据

矩形的性质证明.AEFs.,CDF,利用三角形相似的性质即可求解.

【详解】解：ABCD是矩形，

:.AB//CD,CD=AB=4,

；；.AEF—CDF,

.AEAF

"CD~CF

ZADC^9Q°,AD=3,

AC=y]AD2+CD2=5-

AEAF_1

,CD-CF-4)

:.AF=-CF,

4

AF+CF=-CF+CF=AC=5,

4

.-.CF=4.

14.【答案】r=1或2<厂4庖

【分析】本题考查含30。角的直角三角形的性质，直线和圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题

的关键.

过点。作的垂线，垂足为E,过点A作”，6c于点E连接C。，根据30。角所对的直角边等于斜

边的一半可以得到AF=2,3E=26，DE=1,BE=6,利用勾股定理求出长，分为相切和当8

在圆内部，点C在。。上或在。外分类讨论即可解题.

【详解】过点。作5C的垂线，垂足为E，过点A作河，6c于点口，连接C。，

:.ZB=ZC=30°,

•••。是AB的中点，

:.BD=2,

:.DE=l,BE=e,AF=2,BF=26，

'：AB=AC=4,

BC=2BF=473，

/•EC=BC-BE=4^-6=35

CD=,+(3国=731.

当DE=r,即r=l时，。与边5C有且仅有一个交点，

当B在圆内部，点。在。上或在。外时，即2<厂<商时，与边也有且仅有一个交点，

.•.当厂=1或2(厂〈用，。与边有且仅有一个交点，

故答案为：r=l或

15.【答案】4

【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线y=V+6x+c

的顶点在无轴上得出c=L,再根据不等式X2+法+c<"2的解集为—1<X<3可以得出x=—1或x=3

4

是关于x的方程炉+法+c—m=0的解，然后解方程组即可求出加的值.

【详解】解：抛物线丁=必+法+。的顶点在x轴上，

.•万—4c=0，

b2

,.c——,

4

不等式X2+bx+c<m的解集为—1<x<3,

:.x=-1或x=3是关于x的方程V+法+c—机=o的解，

b2

l—-------m=0

4

,b2'

9+3b-\-------m=0

I4

■-m的值为4,

故答案为：4.

16.【答案】①③④

【分析】根据正方形的性质和垂直判定共圆，结合同弧所对圆周角相等推出矛盾，并证明

GAHW.GDM,利用AG=OG得到三点共线时最短距离.

【详解】解：作MGLDE于M,GH_LAB于H,如图,

:.MG=GH,

■：ZDAE=ADGE=90°,

；.A、D、G、E四点共圆，故①正确；

ZDGE=90°,

设存在点E,使得一。EG为等腰直角三角形，

/GDE=NGED=45。,

：.ZGED=ZDAE=45°,

•：ZDAG>45°,

矛盾，不存在，故②错误；

VZGAH=ZGDM,ZGHA=ZGMD=90°,GH=GM,

：.^GAH^GDM(AAS),

：.GA=GD,故③正确；

则AG+5GuOG+NG,

当。、G、B三点共线时，AG+6G有最小值，最小值是的长，

•..四边形ABCD为正方形，

AD=AB=DC,

AG+BG>DB=y/DA^+AB2=《DC?+DC。=42CD，故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查矩形的性质、四点共圆、角平分线性质、全等三角形的判定和性质和最短距离问题，利

用同弧所对圆周角相等和证明GAH^GDA/是解题的关键.

三、解答题(共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，

每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分)

17.【答案】%,=2+72,x2=2-72

【分析】本题考查一元二次方程，利用配方法求解即可.

【详解】解：产―4%+2=0

X2—4x+4——2+4

(x-2)2=2

x—2=+V2

解得：％=2+V^,x2=2—V2.

18.【答案】1

【分析】将。代入方程中得2a2—3a=l，将所求代数式化简整理后，把2/—3a=1整体代入即可.

【详解】解：为方程2/—3x—1=0的一个根，

-2。~—3a—1=0-

；•2a2—3。=1.

原式=-1+3a2—6a=4-cr—6a-I=2(2a--3a)-1=2x1-1=1.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值.解题的关键是掌握整

体代入法.

7

19.【答案】-

3

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

ACAD

证明△ACDS"BC,则一=一,求AB,根据=—AD,计算求解即可.

ABAC

【详解】解：：NACD=NABC,ACADABAC,

：.AACD^AABC,

.ACADRn43

ABACAB4

解得=

3

7

DB=AB-AD=-,

3

7

03的长为一.

3

20.【答案】4A/3

【详解】连结OC,BC,贝|OC=OB

：PC垂直平分0B,

/.OC=BC.

.*.OC=OB=BC.

△BOC为等边三角形.

ZBOC=60°

由垂径定理，CP=1cD=3cm

在RtAPOC中，/=tan/COP=7^

OP=y/3cm.

AB=2OB=4OP=4拒cm.

4

21.【答案】（1）见解析（2）—或4

3

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论

的思想解题，是解此题的关键.

（1）先计算出根的判别式的值得到△=（丫-4xlx［（m-1）］>0,然后根据根的判别式的意义即可得

到结论；

（2）先解方程得出X1=1,%="2一1，再分两种情况：当时，当/=3王时，分别列出方程，

解方程即可得到答案.

【小问1详解】

解：△=（一加）一一4xlx［（m-1）］

=m2—4m+4,

=（m-2）2>0.

，该方程总有两个实数根；

【小问2详解】

解：x2-mx+m-1=0>

=0,

解得：%=1,x2=m-l,

.,.当%=3々时，l=

4

解得：机=§；

当=3%时，冽-1=3,

解得：根=4,

4

综上所述，加的值为一或4.

3

22.【答案】（1）y=（x—1）2—4,（1,-4）

（2）见解析（3）-4<y<0

【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；

（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可;

（3）根据函数图像确定当-1<%<2时对应的y的取值范围即可.

【小问1详解】

y=x2-2x-3

=无2—2x+l-1-3

=（X-1）2-4.

【小问2详解】

列表如下：

X-i0123

y0-3—4-30

【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次

函数的图象成为解答本题的关键.

23.【答案】（1）见解析；（2）2.

【分析】（1）连接0D,根据CD是。。的切线，可推出NADC+/ODA=90。，根据OFLAD,

ZAOF+ZDAO=90°,根据OD=OA,可得NODA=NDAO,即可证明；

（2）设半径为r,根据在Rt^OCD中，sinC=-,可得=OC=3r,AC=2r,由AB为。0的直

3

径，得出NADB=90。，再根据推出OF,AD,OF//BD,然后由平行线分线段成比例定理可得

1J-!2

OEOA

求出OE,——=——=-,求出OF,即可求出EF.

BDAB2BDBC4

【详解】（1）证明：连接OD,

AODXCD,

・•・ZADC+ZODA=90°,

VOFXAD,

ZAOF+ZDAO=90°,

VOD=OA,

AZODA=ZDAO,

JZADC=ZAOF；

在RtZYDCD中，sinC=-,

3

OD1

--------二一,

OC3

OD=r,OC=3r,

VOA=r,

AAC=OC-OA=2r,

TAB为。O的直径，

・・・ZADB=90°,

XVOFXAD,

・・・OF〃BD,

・OE_OA_1

，9BD~AB~2f

AOEM,

..OFOC

•BD-BC_4'

:.OF=6,

，EF=OF-OE=2.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90。，

灵活运用知识点是解题关键.

24.【答案】（1）m=3,k=6

（2）①Z4CB=45。；②〃>3或"―3

【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，即求出m的值，再把点A坐标代入反比

例函数解析式，求出k的值即可；

（2）①根据（1）所求求出5（3,4）,C（3,2）,进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明

AC-+AB2=BC2,AC=BC，即可得到NACB=45°；②设£（3,4）,尸（3,2）,当〃>3时，设直线

交直线A/于G,先证明AGB=NAFE=45。，则由三角形外角的性质可得

NACB=NAGfi+NC4G=45°+NC4G>45°,类似可得当0<〃<3时，ZACB<45°,同理可得

当”<—3时=+4H=45°+NC4H>450；综上所述，当〃>3或〃<—3,

ZACB>45°.

【小问1详解】

解:把4（2,〃。代入y=x+l中得：机=2+1=3,

A（2,3）,

把4（2,3）代入y」中得：3=3

X2

：.k=6；

【小问2详解】

解：①在丁=尤+1中，当％=3时，y=4,在y=9中，当％=3时，y=2,

X

：.B（3,4）,C（3,2）,

；•AC=J（3-2）2+（4-3）2=6,43=J（3-2）2+（2—3）2=&，BC=2,

•••AC2+AB2=BC2,AC=BC>

是等腰直角三角形，且NBAC=90°,

ZACB=45°；

②设£（3,4）,F（3,2）,

当〃>3时，设直线交直线好于G,

■：EFBG,

：.AGfi=ZAEE=45°,

NACB=/AGB+ZCAG=45°+ZCAG>45°,

类似可得当0<〃<3时，NACB<45°,

当〃>3时，ZACB>45°；

同理当“<0时，可求得当〃=—3时，ZAMN=45°,

同理可得当〃<—3时，ZAC'B'=ZAHB'+NCAH=450+NC'AH>45°；

综上所述，当”>3或〃<—3,ZACB>45°.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的

性质与判定，三角形外角的性质等等，利用待定系数法求出对应的函数解析式，以及利用数形结合和分类

讨论的思想求解是解题的关键.

25.【答案】(1)0.75,3

⑶+7/7+6

rT+777+12

【分析】(1)根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；

列出表格，利用概率公式计算；

由(2)可知可能出现的结果共有(〃+4)仇+3)="+7〃+12种，且这些结果出现的可能性相等，其中摸

出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有(〃+4)(八+3)-6=*+7〃+6种结果，计算概率即可.

【小问1详解】

解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75,红

球的个数是：4x0.75=3个，

故答案为：0.75,3；

【小问2详解】

列表格为：

红1红2红3白

红1/红1,红2红1,红3红1,白

红2红2,红1/红2,红3红2,白

红3红3,红1红3,红2/红3,白

白白，红1白，红2白，红3/

可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有12种，且这些结果出现的可能性相等,

其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有6种结果，概率为

122

【小问3详解】

解：从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有5+4）5+3）=*+7〃+12种，且这些结果

出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有

n2+777+6

(〃+4)(〃+3)-6=〃2+7〃+6种结果，概率为

n~+7/7+12

rr+777+6

故答案为:

n+771+12

26.【答案】（1）/的值为1

（2）1<一1或年2

【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质.熟练掌握数形结合法求解二次函数的问题

是解题的关键.

（1）由题意知A。,—1）,5（3,3）,待定系数法求得根据对称轴为直线%=/=—（，计算求解

即可；

（2）由丁=以2+法，对称轴为直线1=可得二次函数的图象与无轴的交点坐标为（0,0）,（260）,分

当a>0,f>0时，当a>0,r<0时，当a<0,r<0时，当"0,『>0时，四种情况，结合图象求解即

可.

【小问1详解】

解：Vm=-l,n=3,

4(1,-1)1(3,3),

a+b=-1

将A（l,—1）,5（3,3）代入y=+/?%得，<

9a+3b=3

—•1

解得,

<b=-2

工对称轴为直线x—t-..=--=1,

2a2

•♦:的值为1;

【小问2详解】

解：y=ax1+bx,

当％=0时，y=0,

二次函数的图象过原点，

:对称轴为直线％=/,

二次函数的图象与x轴的交点坐标为（0,0）,（2力0）,

当。>0,/>0时，如图1,

图I

•.•当0<西<1/<々<f+l时，都有％〉内,

解得，?>2；

当。>0,r<0时，如图2,

图2

:当0<占<1/<々<1+1时，都有%>%，

.../+1W0,

解得，/<—1;

当a<0,f<0时，如图3,此时不满足当0<%</+1时，都有％〉为；舍去;

当a<0,/>0时，如图4,此时不满足当0<玉</+1时，都有力>%；舍去;

图4

综上所述，/4-1或/22.

27.【答案】（1）①见解析；②EFLAF，EF<AF，证明见解析

（2）—A/2

2

【分析】（1）①根据题意补全图形即可；

②延长A尸至点G,使尸G=A/，连接BG,AE,GE,根据SAS证明.A£>/玛.GM得

AD=BG,ZG=ZDAF,再根据SAS证明△ABGZzXACE得AG=AE=2AF,

ZBAG=ZCAE,可证△AEG是等边三角形，然后利用勾股定理即可求出EF=；

（2）55'交"的延长线于点G,连接B'F,B'E,DE,作DH〃BC交AB于点H,由轴对称的性质得

BF=B'F>ZBFG=ZB'FG=ZAFD,根据SAS证明...EB'E1均EDE得=再根据SAS证

明，BHg；；DCE得BD=DE，从而BD=B'E，则当8。最短时，3'E取得最小值，然后求出班）的

最小值即可.

【小问1详解】

解：①如图，根据题意，补全图形如下：

②EFLAF，EF=6AF，证明如下：

,/ABC为等边三角形，

/.ZABC=ZACB=ABAC=60°,AB=AC,

：.NACE=120°,

如图，延长AF至点G,使FG=AF,连接BG,AE,GE,

•.•/为8。的中点，

：•BF=DF，

'：AAFD=ZBFG,

：.ADF^GBF(SAS),

：.AD=BG,ZBGF=ZDAF,

BG//AD,

ZCBG=ZACB=60°,

：.ZABG=ZABC+ZCBG=120°,

ZABG=ZACE,

_ABG空ACE(SAS),

/.AG=AE=2AF,ZBAG=ZCAE,

ZEAF=ZBAC=60°,

；•ZVIEG是等边三角形，

:AF=GF,

--EF1AF，

22

EF=y]AE-AF=#1Ap；

【小问2详解】

如图，8?交Ab的延长线于点G,连接B'F,B'E,DE,作DH〃B。交AB于点H,

•.•点8关于直线AF的对称点是8，

/._BFG£B'FG,

/.BF=B'F，ZBFG=ZB'FG=ZAFD.

：F为3。的中点，

.BF=FD=RF.

,FE=FE,

：.,FB'E^..FDE（SAS）,

；•B'E=DE.

；为等边三角形，

/ABC=ZACB=ABAC=60°,AB=AC=娓,

：.ZACE=120°.

•：DH//BC,

/.ZAHD=ZABC=60°,ZADH=ZACB=60°,

,Affl）是等边三角形，

AAD=DH=AH,ZAHD=60°,

Z.BH=CD