2024年高考数学突破 利用导数求函数的最值(教师版)

专题19利用导数求函数的最值

一、单选题

39

1.若函数)=(+—/+〃7在［一2,1］上的最大值为一，则相等于()

22

A.0B.1

5

C.2D.-

2

【答案】C

【分析】

利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.

【详解】

y=3x2+3x=3x(x+1),易知，当一lvx<0时，y<0,当一2cxe—1或0<%<1时，y>0,

3

所以函数在(―2,—1),(0,1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，又当x=-l时，

1559

y-m+-,当x=l时，y=m+-,所以最大值为机+—=一，解得加=2.

2222

故选：C

2.已知函数/(x)=—f+a,g(x)=xV>,若对于任意的々存在唯一的大e［-g,2］,使得

/(%)=g(X2),则实数。的取值范围是()

A.(e,4)B.(eH—,4］C.(eH—>4)D.(—)4|

444

【答案】B

【分析】

结合导数和二次函数的性质可求出/(x)和g(x)的值域，结合已知条件可得［0,可=5-4,从而可

求出实数”的取值范围.

【详解】

解：g(尤)的导函数为g，(x)-2xex+x2e'-x(x+2)/，当x=0时，g'(x)=。，

由1,0)时，g'(x)<(),xe(O,l］时，g'(x)>0,可得g(x)在［一1,0］上单调递减，

在(0,1］上单调递增，故g(x)在［-1,1］上的最小值为g(0)=0,最大值为g(1)=e,

所以对于任意的马€［-1,1］,g(^)e［O,e］.因为y=-1+a开口向下，对称轴为丁轴，

又一g—0<|2—0],所以当x=0时，/(X)max=a，当X=2时，/(x)min=a—4,

则函数/(x)=——+a在[一；，2]上的值域为a],且函数/(x)在「g，J，

图象关于V轴对称，在(；，2]上，函数f(x)单调递减.由题意，得[0,e]=[a-4,〃-(),

可得a-4<0<e<a-—,解得e+—<a<4.

44

故选:B.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是/(%)=g(X2)这一

条件的转化.

3.已知函数/(力=%3-3*2+2,对于任意.马武—川都有|/(3)-/(%2)|4〃7,则实数〃，的最小值

为()

A.0B.2C.4D.6

【答案】C

【分析】

由题可得，只需满足/'(X).1ax—/(耳向W加即可.

【详解】

对于任意％,w€[-1,1]都有(百)一/(w)|W加,即/(x)e-/GL<m,

/,(x)=3x2—6x=3x(x-2)

当xe(-l,O)时，/'(x)>0,/(x)单调递增；当xe(O,l)时，/'(力<0,7(x)单调递减；

，当％=。时，/(%)加=/(0)=2，

/(-1)=-1-3+2=-2,41)=1-3+2=(),.-./(xtn=-2,

.•.m>/(x)nBx-/(x)min=4,即机的最小值为4.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为了(X)111ax—/(x*nKm，利用导数

求最值即可.

4.设函数/(x)=|lnx+，|+xQeA).当xe［l,e］时(e为自然对数的底数)，记/(幻的最大值为gQ),

则g«)的最小值为()

A.1B.-C.eD.2'1^

2

【答案】C

【分析】

..,,flnx+x+fx>e~'

由/(x)=|lnx+4+x={,，分e-'Ne，e-41，1</<e三种情况分别讨论出函数

v711［x-lnx—fx<e''

/(x)在［l,e］上的单调性，从而求出/(x)的最大值g(f),再根据g⑺的解析式求g«)的最小值.

【详解】

lnx+x+/x>e~l

〃x)=|lnx+d+x=〈

x-lnx-Zx<e~l

ix—1

当6一'26，即,《一1时，在xw［Le］时，/(x)=x-lnx-r则r(工)=1一一=----

xx

此时，/'(力=土」20在工6口3］上恒成立，

所以“X)在［l,e］上单调递增，则g⑺=/(e)=e-lT

当/41，即，20时，在xc［l,e］时，〃x)=x+lnx+/,则/(%)=1+—=--->0

所以/(x)在［1,e］上单调递增，则g(f)=f(e)=e+l+t

..［\nx+x+te~f<x<e

当l<e-'<e，即一l</<()时，/(x)=|lnx+4+x=〈，

x-lnx-r\<x<e~'

1yl1

若/〈xWe，则/(x)=x+lnx+r,/,(x)=l+-=-——>0,此时/(x)单调递增

XX

1x—\

，则/(x)=x—lnxT,/(力=1一一=---->0,此时/(x)单调递增

XX

又％=/时，两段在x=/处的函数值相等，所以“X)在［l,e］上单调递增

所以g(r)=〃e)=e+l+r

e+1+/z>-l

综上所述可得：g«)=

t<-\

山一次函数的单调性可得当，=-1时，g⑺有最小值e

故选：C

【点睛】

关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到

..flnx+x+/x>e~'/、/ri\

/(x)=|lnx+4+M,然后由e-'"时，/(x)=xTnx—(xe[l,e]),当e-41时,

x—Inx—

/、/r八flnx+x+Ze~l<x<e

/(x)=x+lnx+/(xe[l,eD，时，.f(x)=<],，再由单调性得出最大值,

v'[x-lnx-r\<x<e~'

属于中档题.

乃

5.函数y=x+2cosx在区间0,—上的最大值是()

7C71rr71r-71

A.F1B.F>/2C.F>/3D.一

3462

【答案】C

【分析】

兀兀

利用导数分析函数y=x+2cosx在区间0,-上的单.调性，进而可求得函数y=x+2cosx在区间0,-

上的最大值.

【详解】

对于函数y=x+2cosx,/=l-2sinx.

当0cxe三时，/=l-2sinx>0；当工〈五<三时，/=l-2sinx<0.

662

冗、(7171

所以，函数y=x+2cosx在区间0,二上单调递增，在区间上单调递减.

L6J162J

所以，为ax=271+2C0S7/1=z7£+Gr-~

o66

故选：C.

【点睛】

利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先

求函数y=/(x)在司内所有使尸(%)=0的点，再计算函数y=f(x)在区间内所有使/'(x)=0的点

和区间端点处的函数值，最后比较即得.

6.已知函数/(x)=e*-3尤-l(e为自然对数的底数)，则以下结论正确的为()

A.函数y=/(x)仅有一个零点，且在区间(-00,+0。)上单调递增；

B.函数y=/(x)仅有一个零点，且在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)递增；

C.函数y=/(x)有二个零点，其中一个零点为0,另一个零点为负数；

D.函数y=/(x)有二个零点，且当x=ln3时，丁=/(幻取得最小值为2—31113.

【答案】D

【分析】

利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点.

【详解】

/'(x)="-3是增函数，，x<ln3时，/'(x)<0,f(x)递减，x>ln3时，f'(x)>0,/(x)递增，

显然/(0)=0，，/Qn3)=2-31n3<0,又时，/(幻一+00,；./。)在(1113,+00)上也有一个

零点，因此共有两个零点.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值.解题方法是求出导函数，确定导函

数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性.

7.函数/(x)=12x—V在区间13,1］上的最小值是()

A.-16B.-18C.11D.-9

【答案】A

【分析】

先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果.

【详解】

因为f3)=12无一丁,所以/")=12-3/,

由/'(x)>0得一2<%<2,由f'(x)<0得x>2或<<—2；

又一3WxWl,

所以当一3Vx<—2时，f\x)<0,函数/(尤)=12%-丁单调递减；

当-2WxWl时，r(x)>0,函数/(x)=12x—d单调递增;

因此/（x）min=/（-2）=-24+8=T6.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：

求函数/(%)在区间可上的最值的方法:

(1)若函数在区间可上单调递增或递减，则，3)与/S)一个为最大值，另一个为最小值:

(2)若函数在区间［a,目内有极值，则要先求出函数在［a,句上的极值，再与/(a),f(b)比较，最大的为

最大值，最小的为最小值；

(3)函数在区间(a,。)上有唯一-一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的

实际应用中经常用到.

8.某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为/,底面半径为人上

部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为丁万立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,

已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用

最小时，半径r的值为()

A.1B.啦C.^4D.2

【答案】C

【分析】

根据体积公式用r表示出/,得出费用关了"的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.

【详解】

t口k2,1432,2328

解：由题意知T丫z=冗丫/+—x—7厂=7tr~l+—7tr=-7i,

2333

_2328_23

故)二十v一§乃7_W乃一耳利=282厂28—2/，

兀户兀户一彳一33r2

由/>0可知厂〈小Z.

建造费用y=（2%〃+万一）x3+gx4乃，2X4=6QX211+11%/=^^+7〃/,（0<r<A/14）>

nIll,“56〃14万(，-4)

则y=14zrr----=----二;------

/r

当「€(0,次卜寸，/<0,re(孤,VIZ)时，/>0.

当r=也时，该容器的建造费用最小.

故选：C.

【点睛】

本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.

9.下列关于函数/(月=(3-/)d的结论中，正确结论的个数是()

①f(x)>0的解集是｛x|-V3<x<5；

②/(-3)是极大值，/(I)是极小值；

③八幻没有最大值，也没有最小值；

④f(x)有最大值，没有最小值；

⑤/0)有最小值，没有最大值.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】

直接不等式/(处>0可判断①；对函数求导，求函数的极值，可判断②；利用导数求函数的最值可判断

③④⑤

【详解】

解：由/(x)>0,得3-->o，即％2一3<0，解得一行<*<^，所以/(x)>0的解集是

｛x|—<X<J5｝，所以①正确；

由/(x)=(3-x2)ev,得f(x)-(-x2-2x+3)ex，令/(x)=0,则-x?-2x+3=0，解得x=-3或x=l,

当x<—3或X>1H寸，/(x)<0,当一3<x<lff寸，/(x)>0,所以/(一3)是极小值，/⑴是极大值，

所以②错误；

因为/\-3)是极小值，且当无<一3时，/(幻<0恒成立，而/⑴是极大值，所以/(x)有最大值，没有最

小值，所以④正确，③⑤错误，

故选：B

【点睛】

此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题

10.函数/(x)=2sinx+sin2x的最小值是()

A.-3B.-2C.--D.一殛

22

【答案】C

【分析】

对函数求导分析单调性即可求出函数的最值.

【详解】

解：因为/(%)=2sinx+sin2x,

?.ff(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-\)

=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-l)(cosx+1),

cosx+1.,0,

.•.当cosx<!时，r(x)<0,f(x)单调递减，

2

当cosx〉g时，f'(x)>0,/(X)单调递增，

当cosx=L时，/(x)有最小值，乂/(x)=2sinx+sin2x=2sinx(l+cosx),

2

.•.当sinx=—走时，Ax)有最小值，

2

旦=2*(一,)x(1+g)=一番.

故选：C

【点睛】

本题解答的关键是利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值；

二、多选题

11.在单位圆。Y+y2=1上任取一点尸(x,y),圆。与X轴正向的交点是A,将0A绕原点0旋转到

。尸所成的角记为若x,y关于。的表达式分别为x=/(e),y=g(e),则下列说法正确的是()

A.x=/(e)是偶函数，>=g(e)是奇函数；

B.x=/(e)在(()，〃)上为减函数，y=g(e)在(o,")上为增函数：

c./⑻+g(e)?i在上恒成立；

D.函数f=2/(6)+g(2。)的最大值为乎.

【答案】ACD

【分析】

依据三角函数的基本概念可知x=cos。，y=sine,根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据

辅助角公式知/⑹+g(6)=3sin,再利用三角函数求值域可判断C；对于D,r=2cos^+sin20,

i[i

先对函数f求导，从而可知函数，的单调性，进而可得'与sing=—,cose=X±时，函数，取得最大值，结

22

合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解.

【详解】

由题意，根据三角函数的定义可知，x=cos0,y=sinO,

对于A,函数〃e)=cos。是偶函数，g(6)=sin。是奇函数，故A正确；

对于B,由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数/(e)=cos。在(0,%)上为减函数，函数g(6)=sin。在

(0,、)为增函数，在(1,兀)为减函数，故B错误；

对于c,当匹(0用时，e+qjf,亨

I2」4144_

/((9)+g(0)=cos+sin=V2sine[1,V2],故C正确；

对于D,函数f=2/(e)+g(2e)=2cose+sin26,

求导，=-2sin0+2cos20=-2sin0+2(1-2sin20)=-2(2sin6-l)(sin，+1),

令/〉()，则Tvsin6<,；令/<0,MO-<sin0<1,

22

兀)71(JI54、

・•・函数f在0,y和—,2^上单调递增,在京,一7上单调递减,

66166；

当e=工即sine=L,cos6=立时，函数取得极大值f=2x立+2X』X«I=M,

6222222

又当6=2%即sin6=0,cos6=1时，^=2x14-2x0x1=2,

所以函数，=2/(e)+g(2。)取得最大值乎，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：

(1)将函数化简整理为/(x)=Asin(azx+9),再利用三角函数性质求值域；

(2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.

12.若存在实常数左和从使得函数尸(X)和G(x)对其公共定义域上的任意实数X都满足：F[x}>kx+b

和G(x)《履+Z?恒成立，则称此直线y=丘+〃为尸(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数卜€R),

g(x)=-(x<0),Mx)=2elnx(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是()

X

A.=-g(x)在xe[一5,0内单调递增

B.7(x)和g(x)之间存在“隔离直线，且一的最小值为4

C./(x)和g(x)间存在“隔离直线”，且k的取值范围是(T』

D./(力和/?(x)之间存在唯一的“隔离直线"y=2厩x-e

【答案】AD

【分析】

求出〃2(x)=/(x)-g(x)的导数，检验在xe1—9,0内的导数符号，即可判断选项A；选项B、C可

设“X)、g(x)的隔离直线为"履+〃，依+b对•切实数x都成立，即有'KO,又gw五+6对

一切x<0都成立，A2<0,D,b<0,根据不等式的性质，求出左、匕的范围，即可判断选项B、C；

存在/(X)和〃(X)的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为

y-e^k(x-4^],构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.

【详解】

对于选项A：m(x)=/(x)-g(x)=x2,加(X)=2X+3,

XX

(1>,1

当xG—产,0时，in(x)=2xH——>0，

IV2)''%2

(i、

所以函数加(x)=/(x)—g(x)在xe—p,o内单调递增：故选项A正确

kV2J

对于选项BC：设/(x)、g(x)的隔离直线为尸质+。，则/z区+匕对-切实数x都成立，即行劣40,

即公+4》40,又米+6对一切x<0都成立，则依2十公一140,即△,<(),/+4上40,攵40,

X

bWO,即有左24_4/,且/47%，左44]6)24—64人，

可得TWZW0，同理可得：-4<Z?<0,故选项B不正确，故选项C不正确；

对于选项D：函数/(x)和妆》)的图象在》=五处有公共点，因此存在了(%)和/<x)的隔离直线，那么

该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为左，则隔离直线的方程为y-e=,即y=kx-k4e+e，

由f^x)>kx-k4e+e,可得

Y—履+eNO对〕xeR恒成立，则A<0,只有4=2及，此时直线方程为y=2&—e,下面

证明/z(x)<2\/ex—e,令G(x)=2\[ex-e-h(x)-2y[ex—e—2e\nx,

G\x)-2"I"'),当尤=右时，G'(x)=0,”10<x<&时，G'(x)<0,当尤〉五时，G(x)>0,

X

则当x=〃时，G(X)取到极小值，极小值是0,也是最小值.所以

G(x)=14ex-e-h(x)20，则〃(幻<2&x一e当x>0时恒成立.所以/(%)和g(力之间存在唯一的

“隔离直线"y=2j^x—e,故选项D正确.

故选：AD

【点睛】

本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.

三、解答题

13.已知函数/(》)=3公2-+g(x)=/'(x).

(1)判断函数y=g(x)的单调性；

⑵若xe(O,e］(e*2.718),判断是否存在实数。，使函数g(x)的最小值为2?若存在求出”的值；若

不存在，请说明理由；

【答案】(1)答案见解析；(2)存在，a^e2.

【分析】

⑴先求g(x)=/'(x),再对y=g(x)求导，对参数〃进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；

(2)对参数〃进行讨论确定y=g(x)导数的正负，即得函数y=g(x)单调性，再根据单调性确定最值等

于2,解得符合条件的参数值即得结果;

【详解】

(1)由/(犬)=(依2-知g(x)=/'(x)=or-lnx-l,x〉0，故g'(x)=a--=aX

当aMO时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+巧为减函数,

当a>0时，在(0,：［上g'(x)<0,所以g(x)在(0,口为减函数,

在(，,+8)上g'(x)>0,所以g(x)在［：,+℃)增函数.

(2)当时,g(x)在(0,e］为减函数,所以8(%)*11=8(6)=即一1/-1.故不存在最小值3.

当时，->e,g(x)在(0,e］为减函数，所以

4

g(x)mm=g(e)=ea—l—lne=2,所以a=一，不合题意，舍去.

当时，0〈;<e，在(oj)上g'(£)<0,函数g(x)单调递减；在卜上g'(x)>0,函数g(九)

单调递增，由此g(司min=g(5)=l_］_m}=2，

所以lna=2.解得a=e?

故a=e?时，使函数g（x）的最小值为2.

【点睛】

利用导数研究函数/（X）的单调性和最值的步骤：

①写定义域，对函数f（x）求导f（x）；②在定义域内，讨论不等式何时/'（幻＞。和尸（为＜0③对应得到

增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.

14.已知函数/（》）=2/+。1?+陵+1在x=l处取得极值-6.

（1）求实数a,b的值；

（2）求函数兀v）在区间［-2,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1)a=3,b=—12:(2)/U)max=21,/(x)min=-6.

【分析】

/(1)=-6

⑴求导/'（力=6/+2℃+人，根据函数〃x）在日处取得极值6由＜求解.

尸(1)=0

（2）由⑴知/'（x）=6f+6x-12=6（x—l）（x+2）,分别求得极值和端点的函数值求解.

【详解】

(1)由/。)=2/+双2+芯+1得：f'^x^Gx1+2ax+b.

/⑴=—6[a+b=-9

山题意知:v'gnJ

/⑴=0[2a+b=-6

a—3

解得:工=-12

经检验/a=3c符合题意.

b=-n

（2）由（1）知/。）=2/+3犬2—12x+l,/f（x）=6x2+6x-12=6（x-l）（x+2）

令■Z''（x）=。得：x=-2或x=l,

当X变化时，/"（X）,/（X）的变化情况如下：

X-2(-2,1)1(1,2)2

f'M

-0+

/(X)

21单调递减-6单调递增5

由表可知：/U)max=/(-2)=21,/(x),nin=/(D=-6.

【点睛】

方法点睛：(1)导数法求函数的最值时，要先求函数y=_/(x)在［“，加内所有使了(©=0的点，再计算函数y

=/U)在区间内所有使八x)=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；(2)已知函数的最值求参数，

一般先用参数表示最值，再列方程求解参数.

x

P_i

15.己知函数=

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)在平面直角坐标系xQy中，直线y=依+2与曲线y=产交于P,Q两点，设点P的横坐标为«(«<0),

△0P。的面积为S.

s-1ea-2

(i)求证：-e~~-；

Saea

(ii)当S取得最小值时，求上的值.

【答案】⑴/(X)的增区间为(一8,0)和(0,+-)；(2)(i)证明见解析；(ii)2.

【分析】

(1)求导r(x)="(二1)上！,令g(x)=e'(x-l)+l,再利用导数法研究其正负即可.

(2)(i)设P(a,e"),Q("e”其中0<()<»),则40/50的面积5=，2仅-4)=0-。，即5=/7-。，

由e"=总+2，得到％=，然后再由尸(。,甲)及Q伍,才)，利用斜率公式得到々=幺上求解；(ii)

ah-a

i、a—7

由(l)得到〃s)=^_1s>0)为增函数，则S最小=/(S)最小P_^(a<0)最小，令

Saea

d1

h(a)=-_-(6/<0)，再利用导数法求解.

aea

【详解】

(i)函数〃x)的定义域为(9,0)5°，+8)，.

«)=勺±1,

令g(x)=e*(xT)+1，则g'(%)=xe”.

因为g'(x)>0ox>0；g'(x)<0=x<0，

所以g(x)在(YO,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数.

当x〉0时，g(x)>g(o)=o，即/'(x)=^^〉0.

当x<0时，g(x)>g(O)=O,即/'(x)=^i>0.

所以当XG(-8,0)J(0,+8)时，

所以/(X)在区间(F,0)和((),+巧上都是增函数.

因此/(%)的增区间为(F,0)和(0,+8),没有减区间.

(2)(i)证明：尸("),设。(仇e‘)(其中°<0<办

由题意，得△OPQ的面积S=gx2(。一a)=6—a,即S=6-a.

ea-2

由e"=3+2，得k=-------，

a

由尸(a,e°)及Q伍"),得％=

b-ci

eS—1eb-a-\eb-eaeh-ea1,1ea-2

所-以-----=-------=-----r--=---------=k-------------

Sb-a{b-a)eub-aeaeuaea

sa

故^e~-1~e-2成立.

Saea

(ii)由(1),得/(S)=------(S>0)为增函数，

S

于是S最小o/(S)最小<=>-_-(a<0)最小.

aea

令右⑷:子⑺乃卜则人⑪户名冷1，

再令O(a)=2a+2-e"(a<0),

则0'(。)=2-炭>0(6/<0),

所以当avO时，0(〃)单调递增.

又夕(-1)=~e~l<0,=1-e~>.，

所以存在唯一的小€[-1,一；)，使得。(4)=0,即2%+2—eW=o

当a<%时，0(a)<(),即“(a)=^^<o；

当/<a<0时，即〃(a)=^f^〉o，

所以a=4是〃(a)的极小值点，也;?(«)的最小值点，

所以当。=%时，/(S)取得最小值，等价于S最小，此时2ao+2—e"。=0,

e他-2

所以％=------=2.

。0

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属

于较难题.

16.已知函数/(x)=cosx・lnx-ax.

(1)当a=0时，求函数/(幻在5，万上的最大值；

(2)若函数f(x)在(0,上单调递增，求实数。的取值范围.

【答案】(1)/。)2=0；⑵.

【分析】

COWXTC

(1)对函数进行求导得f(x)=—sinx/nx+——，易得f'(x)<0在-,K上恒成立，即可得答案;

xL2

COSX\711

(2)由题意得：恒成立，即aW—sin尤・lnx+=一在10,5J恒成立.构造函数

C0QY

/z(x)=-sinx.lnx+——,利用导数求出函数的最小值即可；

x

【详解】

,cosX

(1)当a=0时，/(x)=-sinx-lnxd-------

x

TT

显然/'(x)<0在乃上恒成立，

71

所以/0)在-,71单调递减,

所以/(X)max=/e)=。；

(2)因为/'(x)=—sinx/nx+C°s"—a，

X

CCSX(7ti

所以/'(X)20恒成立，即。二一sinx・lnx+—二在［。，万)恒成立.

A7/、•1cosx

令〃(x)=—sinx-lnx+------,xG

x

2sinx

则h(x)=-cosxflnx+^-

x

当XE1,^jHl,lnx>0,cosx>0,sinx>0,所以”(x)v0

当xe(O,l)时，令e(x)=lnx+!,xe(O,l),因为夕'(尤)=J_—N=±」_<o,所以奴幻在xe(0,1)

XXX'X

单调递减，所以。(犬)>0(1)=1>0,所以皿£(0,1)时,hf(x)<0

综上，当时，〃'(x)<0恒成立，所以〃(X)在I。,、)单调递减，

所以/7(X)>/?佟］=1/,所以aj-8,山2.

\2J7LI71_

【点睛】

根据导数的正负研究函数的单调性；不等式恒成立问题，常用参变分离进行求解.

17.己知函数/(x)=e'(x3-x+a),aeR.

(1)当。=一2时，求/(力在［-1,2］上的最大值和最小值；

(2)若/(x)在(1,+8)上单调，求”的取值范围.

【答案】(1)最大值为4e2,最小值为一2e；⑵［—2,+8).

【分析】

(1)a=—2代入/(x),对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；

(2)先利用极限思想进行估值X―用时/'(x)>0,来确定/(x)在(1,+8)上单增，r(x)“，再对

%3一%+。+3/_120分离参数，研究值得分布即得结果.

【详解】

(I)/(x)=e"(%3一%+。+3%2-1)

当a=-2时，r(x)=e*(d+3尤2-x-3)=e*(x+3)(x-l)(x+l)

:./(力在(-3,-1)和(1,田)上为正，在(—,一3)和上为负,

“X)在(-3,-1)和(1,+8)上单增，在(-8,—3)和(-1,1)上单减,

有〃—1)=一？〃2)=4e2,/(1)=-2e,

故f(x)在［-1,2］上的最大值为4e2，最小值为-2e；

(2)由/'(x)=e"(丁+3x)-—1)知，当x―>4"oo时，/'(x)>0,

若/(X)在(1,-KO)上单调则只能是单增，

32

二/'(x)»0在(1,+8)恒成立，H|Jx-x+a+3x-l>0

a>—x3-3x2+x+1>令g(x)=-V—3f+x+l,x>1>则g'(x)=-3x~-6x+l<0,

二g(x)在(l,+<»)递减,g(x)<g(l)=-2,；.aw[-2,+oo).

【点睛】

(1)利用导数研究函数/(X)的最值的步骤：

①写定义域，对函数/(X)求导r(x)；②在定义域内，解不等式r(x)>0和f'(x)<o得到单调性；③利

用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.

(2)函数/(X)在区间/上递增，则/(无)20恒成立；函数/'(X)在区间/上递减，则/'(x)W0恒成立.

(3)解决恒成立问题的常用方法：

①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.

18.已知直线/：丁="+。(人>())与抛物线C:：/=4x交于48两点，P是抛物线C上异于A、8的一点，

若△B43重心的纵坐标为;，且直线Q4、PB的倾斜角互补.

(I)求」的值.

(II)求△Q48面积的取值范围.

【答案】(1)2；(II)(0,；).

【分析】

(I)设。(天,为)，4(玉,乂),3(9,％)，利用斜率公式得到直线PA、PB、AB的斜率，根据直线PA、

PB的倾斜角互补.得到2yo+y+%=°，根据三角形的重心的坐标公式可得y+%=2,从而可得k=2：

(H)联立直线/:y=2x+力与抛物线方程，根据弦长公式求出|A5|,利用点到直线的距离公式求出A3

边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可.

【详解】

(I)设「(%为),4(和乂),3优,/)，

=)'o-X_%一.

则k"=一落下__44

+V..同理可得kpB-，^AH='

1No+%M+%

44

44

囚为二代/R、PB，批斜弁直补•M以------+-------=（）.

%+M为+%

即2%+%+乂=°，

乂△PAB重心的纵坐标为§，根据三角形的重心的坐标公式可得%+X+%=1，

4

所以/+%=2，所以％=%AB=5=2-

（II）由（I）知直线/：y=2x+6,与抛物线方程联立，并整理得4/+4S—l）x+〃=0,

,,11

其判别式A=16S-1）2-16廿＞。=＞。＜一，所以0＜。＜一.

22

,,b2

而玉+%=1—"玉玉=—

因此，I鼠,&+々）2_4中2=小加_h2』2=逐.&_2b，

又由（I）知，%=—1,所以/=¥=;,所以p1;,—1

到直线/：2x—y+b=O的距离为)|2x4+1+&l2+b

=；|A3|d=gx&Jl_2b.,+g>gJ(S),+|)

所以S.w

令/㈤=(1—2份,+§(0<b<；

则/，S)=_2(〃+T[+(1_23*2(〃+3)=_(6〃+1)[人+|)<0恒成立，

（1}9

故/S）在［OqJ上单调递减，所以/S）£（0q），

故SpAB£("'a

【点睛】

结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为

A(xt,yt),B(X2,y2),C(x3,y3),则三角形的重心的坐标为+上，％_+；+,

②弦长公式：||="T.氏+/A-4八々，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.

19.某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高

经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入210)万

1Y

元之间满足：y=—必’+8x-ln—为常数)，当％=10万元时，y=17.7万元；当x=15万元时，y=25

25

万元.(参考数据：ln2=O.7,ln3=l.l,ln5=1.6)

(1)写出该景点改造升级后旅游增加利润L(x)万元与投入％万元的函数解析式；(利润=旅游增加值一投

入)

(2)投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？(精确到0.1)

(1)L(x)=---x2H---%—In——....x2H---%—In—(xN10)；(2)投入25万元时，旅游增加利润

''5025550255、)

最大，最大利润为11.9万元.

【分析】

(1)利用待定系数法求出a=-二-,》=",即可得答案;

2525

(2)利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最值；

【详解】

-axl00+10/?-ln2=17.7

2化简得：。=一人力=三

(1)由已知得:

2525

-ax225+15/?-ln3=25

2

151x

：.y=一一x2+-x-\n-(x>10),则该景点改造升级后旅游增加利润为:

50255''

L(x]----x2+—x-ln-=--—x2+—x—In—(x>10)；

''5025550255、)

(2)由(1)得:=--x2+10)

50

\I261x2-26x+25(x-l)(x-25).,八团“

贝=——x+------=---------------=-^------------L,令L("=0得尤=25,

v'2525x25x25x

当xe(0,25)时,L'(x)>O,L(x)单调递增;当无«25,小》)时,Z/(x)<O,L(x)单调递减；

.”=25时，”尤)取得最大值,且£(到3="25)=11.9,

・••当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.

【点睛】

待定系数法求函数的解析式