平面向量的数量积（完整版讲）（原卷版）

10.2平面向量的数量积（精讲）一．向量的夹角1.定义：已知两个非零向量和，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．2.范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角二．向量的数量积已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，把数量||·||·cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．三．投影向量如图，在平面内任取一点O，作OM＝，ON＝，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1四．向量数量积的运算律·＝·.(λ)·＝λ(·)＝·(λ)．(＋)·＝·＋·．五．平面向量数量积的有关结论已知非零向量＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ结论几何表示坐标表示模||＝||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件·＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|·|≤|||||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))一．求非零向量，的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积二．求平面向量模的2种方法公式法利用||＝及(±)2＝||2±2·＋||2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解三．求平面向量夹角的2种方法定义法当，是非坐标形式，求与的夹角θ时，需求出·及||，||或得出它们之间的关系，由cosθ＝求得坐标法若已知＝(x1，y1)与＝(x2，y2)，〈，〉∈[0，π]则cos〈，〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))考点一平面向量的数量积运算【例11】（2023·江西景德镇·统考三模）若向量与向量的夹角为，则（

）A． B． C． D．【例12】．（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则（

）A．10 B． C．14 D．【一隅三反】1．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量，，则（

）A． B． C．40 D．462．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）平面向量，，，则与的夹角是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知，，则的值为（

）．A． B．3 C． D．24．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）设向量，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．考点二平面向量数量积的应用【例21】（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量，，且在方向上的投影数量是，则.【例22】（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知点，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【例23】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【例24】（2023·上海嘉定·校考三模）已知，与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为.【例25】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知向量，，则与的夹角为.【一隅三反】1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量，，且在方向上的投影是，则.2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知，则在上的投影为.3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）若向量，，且，则与的夹角为.4．（2023春·江苏无锡）（多选）下列选项中正确的是（

）A．设向量，，若，共线，则B．已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为D．若平面向量，满足，则的最大值是5考点三平面向量的综合运用【例31】（2023秋·江苏南通·高三校考开学考试）（多选）在中，，点在线段上，下列结论正确的是（

）A．B．若是中线，则C．若是角平分线，则D．若，则是线段的三等分点【例32】（2023·全国·高三专题练习）已知平面非零向量满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【例33】（2023·江西九江·统考一模）已知、为单位向量，则向量与夹角的最大值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）正六边形的边长是2，则（

）A． B． C． D．122．（2023秋·山东临沂·高三校考阶段练习）在中，已知向量，，则的值为（

）A．0 B． C． D．3．（2024秋·贵州·高三统考开学考试）设为的外心，，，则．【答案】

4．（2023·江西九江·统考一模）已知