2024届高考数学质量调研模拟卷及其详细解析一（新高考适用）

2024年高考数学质量调研卷（一）（新高考适用）

一、单选题

1.设集合“={x|-2Wx<2},N=[y\y=2x+^,则AfuN=()

A.[-2,+co)B.(1,2]C.[1,2]D.(l,+oo)

2.若复数Znl+i2^（i为虚数单位）,则复数z2-2在复平面上对应的点所在的象限为

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2X-1TT7T

3.函数/(%)=-sinx+-在区间上的图象大致为（)

2”+1I2

A.B.

C.D._____....

巧

4.已知A(cosa,sina),3(1,0),C(0,l),«G(0,2TT),若，台卜,4则a的值为()

713兀…7兀

A.—Bc.2D.—或一

4444

己知数列｛%｝满足％=；,4

5.,Q]+Q]〃2++«i«成"，贝门

n+1〃2

的最大值为（）

A.7B.8C.9D.10

6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:（x-a）2+（y-o）2=a2g>0),A(—3,0),若圆C

上存在点尸，使得|上4|=2归。］,则正数。的取值范围为（）

A.(0,1]B.[L2]

C.[73,2]D.[1,3+2A/3]

7.正四棱锥P-AfiCD的底面边长为4万，PA=4下则平面尸CD截四棱锥尸-ABCD外

接球所得截面的面积为（）.

A.3□504C200%100万

B.-----D.-------

9393

8.已知a=sin三+cos三，h=^c=log32+log43,则()

1313“一"TJ

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

二、多选题

9.若〃司=-$3+；/+2%+1是区间（川-1,加+4）上的单调函数，则实数机的值可以

是（）

A.-4B.-3C.3D.4

10.过抛物线C：/=4x的焦点/作直线/交C于A,B两点，则（）

A.C的准线方程为x=-2

B.以AB为直径的圆与C的准线相切

□

C.若|A5|=5,则线段A3中点的横坐标为5

D.若|AB|=4,则直线/有且只有一条

11.在棱长为2的正方体ABCD-AqG〃中，E,尸分别为棱AB,8C的中点，则（）

A.直线所与BG所成的角为60°

B.过空间中一点有且仅有两条直线与AA，AR所成的角都是60°

C.过a，E,尸三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3近+26

D.过直线E尸的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形

12.从标有1,2,3,10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字。，b,

记点A（a,6）,3（1,-1）,0（0,0）,则（）

9Q

A.是锐角的概率为与B.NBA。是锐角的概率为高

9Q

C.AO3是锐角三角形的概率为前D.AC®的面积不大于5的概率为三

三、填空题

2

13.已知复数z=「，其中i为虚数单位，贝匹=.

14.如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实

写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半

径都为。，则上层的最高点离平台的距离为.

15.动点户与两个定点0(0,0),4(0,3)满足|上4|=2忖。|,则点P到直线/：

如—严"3加=。的距离的最大值为.

/兀-JI\

16.函数〃%)=2sin(0>0)在区间［不，5)上有且只有两个零点，则。的取

值范围是.

四、解答题

17.已知数列｛%｝满足乎方+墨++果=%

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若b„=log2a„,求数列J—|的前〃项和.

222

18.已知；ABC中，角A及C所对的边分别为a,b,c,a=3b+c,且sinC=2sin&

(1)求角A的大小；

⑵若6+c=6,点。在边BC上，且AD平分/BAC,求的长度.

19.如图，已知五面体ABCDE,其中ABC内接于圆。，AB是圆。的直径，四边形。C3E

为平行四边形，且OCL平面ABC.

(1)证明：AD1BC-,

⑵若AB=4,3c=2,且二面角A-3£>-C所成角。的正切值是2,试求该几何体ABCDE

的体积.

20.某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查.根

据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图(如图)，将平均每天读书时

长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.5小时的市

民称为“读书迷”.

⑴试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；

(2)省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中55%的成年人平均每天读书时

长不低于。小时，则认定此城市为“儒城”.若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足

什么条件？(精确到0.1)

(3)该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名.根据调查，如果收取会费，

则非阅读爱好者不愿意加入读书会,而阅读爱好者愿意加入读书会.为了调控入会人数,

设定会费参数x(x>l),适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人

1QInx

数会减少lOlnx%,“读书迷”愿意加入的人数会减少二；%.问会费参数%至少

O.llnx+1.1

定为多少时，才能使会员的人数不超过20万人？

22

21.已知双曲线C：q-*=l(a>0,b>0)的左、右焦点为片、尸2，虚轴长为40，离心

率为血，过C的左焦点匕作直线/交C的左支于A、B两点.

⑴求双曲线C的方程；

(2)若|A耳|=40,求qA8的大小；

(3)若M(-2,0),试问：是否存在直线/,使得点M在以A3为直径的圆上？请说明理由.

22.已知函数/(%)=雇工-(％+1).

⑴判断函数的零点个数；

X+]

(2)当％=1时，若对xe[0,l],函数/(x)=〃x)+尤+]-2xcosx的图象都不在

5(尤)=J+〃a+1图象的下方，求实数机的取值范围.

参考答案：

1.A

【分析】由指数函数值域求集合M应用集合并运算求结果.

【详解】由题设N={y|y>l},故MuN={x|-2WxW2}“y|y〉l}={x|xN-2}.

故选：A

2.C

【分析】先根据i的运算性质计算出Z,然后计算出z2-2并写出对应点坐标，由此可知对应

点所在象限.

【详解】因为Z=l+i23=l+(i4广石3=1一i,

所以z~_2=(l—i)—2=—2—2i,

在复平面上对应的点为(-2,-2),该点在第三象限.

故选：C.

3.D

【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当时，f(x)>0,判断出答案.

【详解】化简函数A©解析式可得/(x)=土二1-cosx,定义域为R,

2X+1

、2—12—12—12X

f(x)+t(-X)=--X---COSXH----x---cos(-x)=---X---COSX+W----COSX

JJ2+12-+l2+1X+1

2X

・••/(%)为奇函数,AC错误；

又因为当时，/(兀)=4■---cosx>0,B错误，D正确.

I2)2+1

故选：D.

4.B

【分析】由向量的运算和三角函数即可得。的值.

【详解】AB=(l-cosa,-sina),AC=(-cosa,l-sincr),

AB=J(l-cosa『十(-sin二Jl-2cosa+cos2a+sin2n=j2-2cosa,

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222

AC\=J(-coscr)+(l-sina『=^cos+1-2sinor+sincr=j2-2sin。‘

因为|回卜,4

所以，2-2COS6Z=j2-2sin6z，2—2cosa=2-2sina,

即cosa=sina显然a+E(^eZ),

所以tana=1,a=：+E（左£Z）,

又a«0,2兀），所以々=:或彳.

故选：B

5.B

【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出

«1+«1«2++«i«24,进而确定〃的最大值.

..4”，n+1ny1

【详解】因为需=—'整理得不一乙=1'且;T'

可知［7）是以首项为3,

公差为1的等差数列,

n<一

所以一二3+〃-1=〃+2,可得”号

an

12"2=1(1_____

当〃22时,可得q%La—x—x-xLx

n345〃+2(〃+l)(〃+2)2(〃+ln+2J

1

且符合上式,所以q%L

n+2

ETJI11二+L+二--一1=1.2<色

则q+q%+L+q%LTa=21---+j

n4n+\n+2〃+2-5'

解得〃W8,即m的最大值为8.

故选：B.

6.D

【分析】设尸。》）,根据条件得到。-1）2+/=4,从而将问题转化成（X-1）2+/=4与圆C

有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.

【详解】设P（2）,则由陷|=2|PO|,得至（尤+3）2+：/=2小/+/，

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整理得到（x-iy+y2=4,又点在圆C上，所以（》-1）2+y=4与圆C有交点，

又（x-iy+y?=4的圆心为（1,0）,半径为厂=2,圆C的圆心为（〃,。），半径为R=o,

所以12_司VJ（q-I）-+a~V2+a,解得1VaV3+，

故选：D.

7.C

【分析】利用直角三角形求出外接圆的半径，设CD中点为尸，连接小，过。作。。,尸尸，

则OQ即为点。到平面尸CD的距离，根据相似即可求出PQ,得到外接球所得截面的面积.

【详解】设正方形筋。。边长为°=4应，底面中心为瓦CD中点为尸，

连接PE,EF,PF,CE,如图所示，

由题意得尸E=8,且正四棱锥的外接球球心。，

设外接球半径为R,则OP=a4=O8=OC=OD=R,

在RtAOEC中，。。'㈤+国仔，且EC=4,

所以代=16+（8-R『，解得R=5,即。尸=5,

在RT!PEF中，PF={PE。+EF?=+Q后=60，

过。作。。，尸尸，则OQ即为点。到平面PCD的距离，且。为平面PCD截其外接球所得截

面圆的圆心，

所以PEFPQO,

PQOP5

则r诟=乐=凝’

所以「止竽,

所以截面的面积s=7TPQ2=芋.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出外接圆半径以及找到点。到平面PCD的距离.

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8.B

【分析】依题意分别根据各式特点，利用辅助角公式和三角函数单调性可得l<a〈且，利

2

（522、

用近似值可得“L87,再利用对数函数单调性即可得"匕，记J,即可比较得出结论.

【详解】根据题意可知，a=sin-^+cos-^=^sinf^+-^1<^/2sinf^+^=^sin^-=^,

〃=+应sin；=l,即可得]<〃<逅；

<413；42

由人=35+3彳可得力=（G]+曰>（1.69成+罟=1.3+0.57=1.87,即“1.87；

212

易知23<32，即2<3§，所以log3百<1。832<1%32"即/

34

又34=81>43=64,即3>4彳，又3$=243<甲=256,可得3<於；

3434

zlo

所以Iog44“<log43<log44行，可得z<§43<g;

可得:+1<°=i°g32+iog43<：+g,所以。£1mi

•J-J\T,_LJJ

曰AI\2^/6J24522,tsn,

、叱名太a<——---=----<—<c<—<1.87<b,艮

244415

故选：B

【点睛】关键点点睛：求解本题关键在于通过观察式子特征可知，三个式子各不相同，构造

函数的方法失效，所以只能通过限定。，4c的取值范围使其落在不同的区间内即可得出结论.

9.CD

【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由己知建立关于加的不等式组，

解出即可.

【详解】由题意，/（力—+*+2=_口_2）（彳+1）,

令/'（x）>°，解得一1VXV2,令/'（%）<。，角犁得光<一1或%>2,

所以/（%）在（T2）上单调递减，在（-（2,+巧上单调递减，

若函数"％）=-；尤3+；尤2+2%+1在区间（〃7一1,„1+4）上单调，

、——1、、

则加+4（一1或加一1>2或</c，解得加4一5或机23或根£0,

m+4<2

即小4一5或机23.

故选：CD.

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10.BCD

【分析】对于选项A:计算出准线即可判断；对于选项B:验证=用是否成立；对于选

项C,D:借助焦点弦及通径的相关公式计算即可.

【详解】对于选项A:由抛物线C：y2=4%,可得2〃=4,解得p=2,故准线方程为

尤=-4=-1,故选项A错误；

对于选项B:设AB的中点为M,且AB,M在准线上的投影为A,B',M',

由抛物线的定义可知：班1=|班1，

易知四边形ABAZ'为直角梯形，所以1=四'网==四，

11222

故以A3为直径的圆与C的准线相切，故选项B正确；

对于选项C:设

,,

因为[AB]=|AF|+忸尸六|AA|+|BB|=xl+-^+x2+-^=xl+x2+p=5,

所以为+%=3,所以线段相中点的横坐标为土产=：,故选项c正确；

对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得|A5122P=4,要使|AB|=4,

则线段A3为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条，故选项D正确.

故选：BCD.

11.ACD

【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可.

【详解】对于A,如图所示，连接AC,4G,48,

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由AA〃CG，M=CC］可知，四边形是平行四边形，

所以AC//AG，所以ER//AC，

所以跖与BCX所成的角即为4G与Ba所成的角,即NAG3或其补角,

因为V4BG是等边三角形，所以NAGB=60。，

所以E/与BC］所成的角为60。，故A正确；

对于B,因为直线A与，40所成角是90。，且两条直线相交于A,

所以过点4与两直线所成角为60。的直线有4条，故B错误；

对于C,易知平面4瓦G为过4，E,尸三点的截面，该截面为梯形，

显然AC=20，AE=C/=Jf+22=&EF=E，

所以截面图形的周长为AG+AE+EF+C/=20+>/^+0+斯=30+2石，故C正确;

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对于D,如图所示，分别取AA，CG的靠近A,C的三等分点G,H,

连接GB，GE,HD1,HF,易知GE//HO1,HF//GDt,

故点2，G,E,F,H共面，该截面图形为五边形，故D正确.

故选：ACD

12.ACD

【分析】根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A,B选项，根据数量积为正得出锐角

判断C选项，结合面积公式判断D选项.

【详解】易知。4，不共线，若/AO3是锐角，OA-OB—(—^―a-QD>,易知

A(a,b)共有100种情况，其中共有10种，。“与a<6有相同种情况，即45种，所以

459

/AC®是锐角的概率为砺=三，A正确；

若是锐角，恒成立，所以/BA。是锐角的概率为1,B错

误；

OAOB>Q

若.AOB是锐角三角形，则<8O-BA>0,

AOAB>Q

⑷。)4-)=a-(^>

即b+^=d-b<2,

(―a1—b)彳l-ci-—b)=cr—a+Z?2@,6〉

Q

所以。-匕=1,共有9种情况，所以一AC®是锐角三角形的概率为F，C正确；

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若SAOB=Isin/AOB

=||OA||OB|71-COS2ZAOB=22

—y/a+bx\a+b\<5,a+b<10,

2

inQQ

该不等式共有c；0=3x=45组正整数解，所以的面积不大于5的概率为京，D正确.

1X，ZAJ

故选：ACD.

13.1+i

【分析】应用复数除法化简，结合共辗复数的概念即可得答案.

2=2(1)

【详解】

1+i(l+i)(l-i)

・・Z=l+l•

故答案为：l+i

2n+6

14.a

3

【分析】根据给定条件，求出四个球的球心构成的正四面体的高即可得解.

【详解】依次连接四个球的球心9。2，。3，。4，则四面体。|-。2。3。4为正四面体，且边长为2°,

正。2。3。4外接圆半径厂=^。2。35苗60=半4,则。1到底面。2。3。4的距离

h=d(2a)2-r。=~~~a，

所以最高点到平台的距离为亚a+2a=2n+6小

33

故答案为：宜辿a

15.2+用

【分析】利用两点距离公式及已知求得尸的轨迹是圆心为QT),半径为2的圆上，再确定

直线所过的定点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在

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直线与直线/垂直，进而求最大值.

【详解】令尸（尤,y）,则次+"-3)2=2次+/，整理得V+(y+l)2=4,

所以P的轨迹是圆心为半径为2的圆上,

又直线/：〃吠一，+4-3〃1=0可化为加（无一3）-0-4）=0,易知过定点（3,4）,

由3?+(4+>4,故点(3,4)在圆/+⑶+1)2=4外,

则圆心与定点所在直线与直线/垂直，圆心与直线/距离最大,

所以点P到直线/距离的最大值为J3?+（4+1）2+2=2+庖.

故答案为：2+后

1723

16.

【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.

由于在区间（巳,5上有且只有两个零点，所以!＜三＜?，

rr兀兀3兀八c

即—<一<—=>3<g<9,由/(%)=0得，cox+—=kii,keZ,

co3co6

71710)兀兀。兀

G)XH--W——+—,——+—

66626

710)71,兀。71八

——+—<717iW-------1—<2兀

6666々刀用11u—*23

或＜，解传一<④<5或——，

c71①71c兀。兀333

2兀<——+—<3713兀<——+—44兀

2626

11

所以①的取值范围是

1723

故答案为：

71

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到。/+工€再根据零点

O

个数得到不等式组，解出即可.

17.(1)。“=2"

⑵号

n+1

【分析】（1）由数列递推式可得当“22时递推式，和已知等式相减即可求得答案;

（2）由（1）可得a=log2%的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.

第14页共22页

【详解】(1)由题意得"+生+墨+.+墨=〃，①

当“22时，幺+与+胃++冬=〃_1,②

222232“一

由①-②得生=1，即％=2”,

又”=1时，y=1,=2,满足上式，

综上，。,=2".

(2)由(1)可得4=log24=",

111__1_

故。〃包+in(n+l)nn+\

设数列I的前”项和为I,，

所以［=4+11111

-------FH---------------1-------FH-----....-

)

b2也b“-b”+'1x22x3«-(»+!

11111n

_——1---------------.

223nn+1n+1n+1

2兀

18.⑴5；

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算即可;

\c=4-

⑵结合⑴问，求出利用LiS四计算出AD的长度即可.

【详解】（1）因为sinC=2sin5,由正弦定理可得：c=2b,

因为a?=3/+(?,所以储=3Z?2+(2Z?)2=7Z?2,即a=yflb，

由余弦定理可得侬又以丁62+4/-7/

2bx2b2

在4MC中，Ae(O,7t),

所以A年

_27T

（2）由（1）问可知A=曰,c=2b,

c=2bc=4

所以八J,解得

b+c=6b=2

第15页共22页

设AD=x,由AO平分N54C,所以SAB»+SADC=SMe，

口门1.JC1■..7C12兀

BP—Gxsin—+—tosm—=—c7psm——，

232323

解得：x=-^=i

b+c3

4

故AD的长度为

19.(1)证明见解析

(2)8

【分析】(1)依题意可得AC13C,再由线面垂直的性质得到。CL5C,即可得到8cl平

面ACD,从而得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出。。的长，进而可求得几何体AB8E的体

积.

【详解】(1)反是圆。的直径，

ACLBC,

又一DC_L平面ABC,BCu平面A3C,

:.DCLBC,

又AC，CD=C,AC,C£>u平面AC。，

3c，平面ACD,

又ADu平面AC。，:.AD±BC.

(2)设CD=a(a>0),以CB,CA,CO所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直

角坐标系，如图所示.

则C(0,0,0),8(2,0,0),4(0,2班,0),D(0,0,a).

由(1)可得，AC,平面BCD,

・•・平面BCD的一个法向量是C4=(0,2班,0),

设〃=(%,y,z)为平面的一个法向量，

由条件得AB=G，-2疯0),AD=(-2,0,a).

第16页共22页

nAB=02x-2y/3y=0

即

nAD=0-2x+az=0

不妨令X=l,贝！|y二也,2

z=一

3a

又二面角人-皮＞-。所成角。的正切值是2,

cos6>=—

5

|cosn,CA|=cos9=,

V5

,解得〃=2指(负值舍去).

5

-V^BCDE=^E-ADC+^E-ABC

3e.⑷+」sMC•网

3A/loixV||3./IOV||

=-x|AC|x|£)C|x|ED|+-x|AC|x|BC|x|EB|

66

=-x2sj3x2y/3x2+-x2-j3x2x2s/3

66

该几何体ABCDE的体积是8.

20.(1)32万“阅读爱好者”，“读书迷”约有6万人

(2)参考标准。不能高于0.7小时(42分钟)

(3)至少定为e“时，才能使入会的人员不超过20万人

第17页共22页

【分析】(1)利用频率分布直方图的性质直接求解即可；

(2)根据百分位数的定义直接求解即可；

(3)结合对数的运算，根据题意列出不等式，然后求解即可.

【详解】(1)样本中“阅读爱好者”出现频率为(0.16+0.10+0.06)x0.5=16%,

“阅读爱好者”的人数为200X16%=32(万)，

“读书迷”人数为200x(0.06x0.5)=6(万),

所以32万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有6万人.

(2)由题意知至多有45%的成年人每天读书时长少于

即找到45%分位数，

又0.5x0.72=0.36<45%,0.5x(0.72+0.44)=0.58>45%,

所以0.72x0.5+0.44x(a-0.5)=45%,可得。=卫=0.7,

即参考标准。不能高于Q7小时(42分钟).

(3)“阅读爱好者”中非“读书迷”约有26(1-特1万人,

“读书迷”约有人一记%J万人,

令26,一特1+6]1一Inx131nx61nx

=32—<20,

Inx+115Inx+11

化简得：13(lnx)2+1131nx-660>0,

解得：ln.x<——^lnx>4,所以无Ze,,

所以会费参数尤至少定为时，才能使入会的人员不超过20万人.

21.(1)—-^=1

88

3

(2)arccos—

⑶不存在，理由见解析

【分析】(1)根据条件列出关于b，c的方程组，由此求解出万的值，则双曲线方程可知；

(2)根据双曲线的定义求解出|A月在中利用余弦定理求解出cos/44乙的值，则

/月的大小可知；

(3)当/的斜率不存在时，直接分析即可，当/的斜率存在时，设出/的方程并与双曲线方

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程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据M4-MB=0进行化简计算，从而判断出/是否存

在.

2b=40

2v2

【详解】（1）由题意可知：e=£=0,解得＜a=

ab=2及

a2+b2=c2

22

所以双曲线c的方程为：—-^=1；

88

（2）因为|A4|=4形,所以|A闾=2a+4后=8四，且闺闾=2c=8,

32+128-64_3

所以cosN耳Ag=

12x4忘x8夜一W

21A朴AF2\

3

所以NKA区的大小为arccos：；

（3）假设存在/满足要求，

A-4［x=-4

当/的斜率不存在时，/：x=-4,由位_£_］解得丫_+20，

所以肱4."8=卜2,2点）.卜2,-2忘）=-420,所以肱1,MB不垂直，故不满足要求;

h

当/的斜率存在时，因为/与双曲线有两个交点，所以左二土一，即左N±l,

a

设/:y=%（x+4）,A（五,,

联立〔；2=¥］：）可得（1-二产-8以-（16/+8）=0,

且△=（—8女）一4（1—左2）［—（16左2+8）］＞0,即产+1＞0,

8/16V+8

所以石+々=

匚5小一-1T记~

所以M4.Affi=（芯+2,+2,%）=（苔+2）伍+2）+人（为+4）*上伍+4）,

2

^^M4-MB=（^+1）X1X2+（4^+2）（X1+X2）+16F+4,

16公+8、（4r+2）x842（16左2+4）（1—左2）

所以=（左2+1）.卜+

2

1-k7

-164'-2442-8+32%'+1642-16rt+12A?+44fc2-4

=4/0

k2-]

所以也不满足要求,

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