2024届云南省昆明市高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

2024届云南省昆明市高二数学第一学期期末综合测试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线二-斗=1(。>0,6>0),过其右焦点R作渐近线的垂线，垂足为3,延长EB交另一条渐近线于点4

ab

已知0为原点，且则|AF|=()

x+y<l,

2.设尤,y满足X-则z=2'+2y的最大值为

%>0,

1

A.-B.2

4

C.4D.16

3.已知实数x,丁满足f+y2+2x—4y—20=0,则丁的最小值是()

A.-3B.2

C.7D.-6

4.在四面体O—ABC中，设。4=a,QB=6,OC=c,OE=3E4,若F为的中点，尸为EF的中点，则。尸=()

3-11-1-1,1-

A.—aH—br-\—cB.—aH—bH—C

844344

2111-3,1-

C.—ClH—bzH—cD.—ClH—bH—C

344484

5.已知函数〃X)=lg(加+X+1).设命题P"(x)的定义域为R,命题4"(x)的值域为R.若。vq为真，。人q为

假，则实数。的取值范围是。

A.，B.0,；

C.[0,+8）D.（。,+8）

6.直线3x-y+5=0与直线6x—2y+10=0的位置关系是（）

A.相交但不垂直B.平行

C.重合D.垂直

7.直线x—y+l=O的倾斜角为（）

A.lB.-1

8.函数/（X）的导函数/'（X）的图像如图所示，贝|（）

B.尤=-2为/'（X）的极大值点

C.x=2为/'（X）的极大值点

D.%=0为的极小值点

9.已知双曲线9炉—冲2=i的一个焦点到它的一条渐近线的距离为则机=（）

A.5B.25

C.75D.|

10.某人忘了电脑屏保密码的后两位，但记得最后一位是1,3,5,7,9中的一个数字，倒数第二位是G,O,。中的

一个字母，若他尝试输入密码，则一次输入就解开屏保的概率是（）

81

A.一B.-

158

11

C.—D.—

1530

2

11.设4B是双曲线V七=1的两个焦点,P是双曲线上的一点，且31M=4|%，则的面积等于（）

A.4A/2B.8石

C.24D.48

2222

12.已知随圆一丁+二=1(。〉0力〉0)与双曲线二-3=1相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心与，02分别为

3a3ba"b~

)

AV2

AW-氏

1222

C.q=—,e2—A/3D-CJ——,e2—

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线x+百y_]=0的倾斜角为.

14.已知函数/(%)=§X3—法在彳=2处有极值.贝峰=

15.在空间直角坐标系O-xyz中，平面OAB的一个法向量为〃=(2,-2,1),已知点P(—1,3,2),则点P到平面OAB

的距离d等于__________________

16.已知正方体ABC。—A4GA的棱长为6,E为棱A4的中点，尸为棱A4上的点，且4^：万4=1：5,则

EFBQ=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点R与曲线E：1—V=i的右焦点重合.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若抛物线C上的点尸满足|尸司=6,求P点的坐标.

18.(12分)△△5c的三个顶点分别为4(1,3),5(3,—1),。(4,0)

(1)求△ABC的外接圆M的方程；

(2)设直线/：2x+y—1=0与圆M交于P,Q两点，求甲0的值

19.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABC。，底面ABC。是直角梯形，其中AB±AD,

AB=AD=-BC^2,丛=4,E为棱BC上的点，且

24

(1)求证：DE，平面尸AC；

(2)求二面角A—PC—。的正弦值；

(3)设。为棱CP上的点(不与C,尸重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为"，求嗝的值.

5

20.(12分)已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上，且过点4(—1,1),B(2,-2)

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(2,3)作圆C的切线，求切线的方程

21.(12分)如图1所示，在四边形A3C。中，AD//BC,AD1BD，AD=BD=2,将△AB。沿5。折起，使

得直线A5与平面所成的角为45。，连接AC,得到如图2所示的三棱锥A-BCD

(1)证明：平面平面

(2)若三棱锥A—BCD中，二面角£>—AC—3的大小为60。，求三棱锥A—6co的体积

22.(10分)已知函数/(x)=(x—l)e"+x.

(1)判断〃龙)的单调性.

(2)证明：2/(x)之一02+(e+2)x-e.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】画出图象，结合渐近线方程得到|?归|=6,|。因=。，进而得到tanNA03=g,结合渐近线的斜率及角度

关系，列出方程，求出b=2a,从而求出|AF|.

【详解】渐近线为y=±?x,如图，过点尸作F3垂直y=2x于点8,交y=-于点4,则歹(c,o)到渐近线丁=b

-x

aaaa

距离为恒a=则|0同=—忸=a,又|QA|=ga,由勾股定理得：|A3|=ga,则

tanZAOB=\^-=~,又tanZBOB=2,ZAOB=2f--ZBOF\=7c-2ZBOF,所以

\OB3a【2)

2b

2tanZBOF4

tan/AOB=-tan2ZBOF=-

l-tan2ZBOF解得：b=2a,所以

故选:C

2、C

【解析】可行域如图测直线/=x+2y过点A(0,l)取最大值2,则z=2必2》的最大值为4,选C.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画

目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最

大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

3、A

【解析】将f+y2+2x—4y—20=0化成（x+iy+（y—2）2=25,即可求出V的最小值

【详解】由f+y+2x—4y—20=0可化为（x+l）?+（y—2）2=25,所以（y—2）2<25,解得—3WyW7,因此y

最小值是-3

故选：A

4、A

【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.

【详解】如图示：连接OE

因为P为£尸中点，OE=3EA，厂为5C的中点，

1.-131

则（O石+。/）=一［—OA+—（O6+OC）］

2242

31—1

=-OA+-OB+-OC

844

311

=—a+—zb+—c,

844

故选:A

5、C

【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得"应为真命题时。的取值范围，根据〃V4和2八4的真假

性可知，9一真一假，分类讨论可得结果.

［a>Q（1、

【详解】若命题"为真，则依2+X+1>。在H上恒成立，.■.{.\ae\-,+oo.

1—4〃<014）

若命题q为真，贝！|丁=以2+》+1的值域包含（。,+8）,

a>0

则〃=0或<a£0,一

l-4a>04

pvq为真,〃八4为假，，P应一真一假,

若P真q假,贝！若〃假夕真，则0,；

综上所述：实数。的取值范围为［0,+"）.

故选：C.

6、C

【解析】把直线6x-2y+10=0化简后即可判断.

【详解】直线6x—2y+10=0可化为3x—y+5=。，

所以直线3x-y+5=0与直线6x-2y+10=0的位置关系是重合.

故选：C

7、C

【解析】根据直线斜率的定义即可求解.

TT

【详解】X-y+l=o=y=x+l,斜率为1,则倾斜角为丁.

4

故选：C.

8、A

【解析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值

【详解】由/（X）的图像可知，f（x）在（-8,-2）和［1,2］上单调递减，在［-2,：］和（2,+8）上单调递增，

所以x=工为了（X）的极大值点，x=-2和x=2为/（x）的极小值点，x=0不是函数的极值点，

2

故选：A

9、B

【解析】由渐近线方程得到/=4,/=工,°2=2±里，焦点坐标为（±2±里,0）,渐近线方程为：3X土J/y=0,

9m9my9m

利用点到直线距离公式即得解

22

9龙之_2_［q2L-1

【详解】由题意，双曲线mvy~1£

9m

故/=]_32=O=LL%2

9m9m9m

焦点坐标为（土、尸竺,0）,渐近线方程为：y=±-x=±—o3x±y/my=0

V9may/m

p+m

焦点到它的一条渐近线的距离为：/1

a=—]—=—

v9+m5

解得：m-25

故选：B

10、C

【解析】应用分步计数法求后两位的可能组合数，即可求一次输入就解开屏保的概率.

【详解】由题设，后两位可能情况有C；G=15,

...一次输入就解开屏保的概率是5.

故选：C.

11、C

【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为闺段=10.根据题意和双曲线的定义知

2=归周一p用=g|P闾一|也|=曰「用,所以|P段=6,「用=8,

所以归川+忸6「=|「司2,所以PK’PB.所以尸与卜归周=3义6义8=24.

故选:C

【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用，属于基础题型.

12、B

【解析】设公共焦点为（±c,o）,推导出片=2方2,可得出,=乎4,进而可求得6、e2的值.

【详解】设公共焦点为（±c,0）,则c2=3a2—3b2=a2+b2,贝

即02=3",故c=®,

22

故选:B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、150

【解析】由直线x+—1=0的斜率为左=—岑，得到tana=—g,ec[0°,180°)，即可求解.

【详解】由题意，可知直线x+by—1=0的斜率为左=—

设直线的倾斜角为贝！ltane=—*,ae[0°/80°)，解得。=150°，

即换线的倾斜角为150°.

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

14、4

【解析】根据极值点概念求解

【详解】f(x)=x2-b,由题意得了'(2)=4—人=0,b=4,经检验满足题意

故答案为：4

15、2

【解析】O是平面OAB上一个点，设点P到平面OAB的距离为d,则

T"而'J7OP•〃=(-l，3,2).(2,-2,1)=-6,\n\=74+4+1=3/.d=g=2即点P到平面OAB的距离为2

考点：空间向量在立体几何中的运用

16、18

【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求解.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系：

则E(6,0,3)，尸(6,1,6),2(6,6,0)6(066),

所以丽=（O,l,3）,BQ=（-6,0,6）,

所以跳■•Bq=18,

故答案为：18

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）/=8%；（2）（4,4夜）或（4,4/可.

【解析】（1）求出双曲线E的右焦点坐标，可求出0的值，即可得出抛物线C的标准方程；

（2）设点〃（方，几），由抛物线的定义求出修的值，代入抛物线C的方程可求得先的值，即可得出点P的坐标.

2

【详解】（1）由双曲线方程土-y2=i可得储=3,廿=1,

3-

所以°2=/+〃=4,解得c=2.

则曲线E的右焦点为（2,0）,所以々=2,p=4.

因此，抛物线C的标准方程为/=8x；

⑵设月（知九），由抛物线的定义及已知可得附+2=6,解得/=4.

代入抛物线方程可得y；=8x4=32,解得为=±40,

所以P点的坐标为（4,4或（4,-4及）.

18、（1）（x-2）2+（y-l）2=5；

5

【解析】（1）设出圆M的一般方程，根据A5C的坐标满足圆方程，待定系数，即可求得圆方程;

（2）根据（1）中所求圆方程，结合弦长公式，即可求得结果.

【小问1详解】

设圆M的方程为公+^+6+冲+尸=0,因为A（1,3）,B（3,—l）,C（4,0）都在圆上，

D+3E+F+10=0fD=-4

则｛3D—E+R+10=0,解得|E=—2,

4D+F+16=0[F=0

故圆M的方程为/+4x—2y=0,也即（无一2）2+（y—1『=5.

【小问2详解】

由（1）可知，圆M的圆心坐标为（2,1）,半径为百，

点M到直线/：2尤+y—1=0的距离d=邑喜上』=逑

故幽|=2/5—詈哈

19、（1）证明见解析；（2）好；（3）

53

【解析】（1）由已知证得以，43,PA±AD,AB1AD,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根

据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；

（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；

（3）设口=4（0<2<1）,表示点。，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得X,可得答案.

CP

【详解】（1）因为K4J_平面ABC。，ABI平面ABC。，ADu平面ABC。，

所以PA±AD,又因为AB_LAD,

则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得40,0,0),5(2,0,0),。(2,4,0),£>(0,2,0),尸(0,0,4),£(2,1,0),

所以。E=(2,-1,0)，AC=(2,4,0),"=(0,0,4),

因为DEAC=2x2—lx4+0=0，DEAP=0>所以DELAC,DE±AP,

又APcAC=A,APu平面PAC,ACu平面PAC,

所以DE_L平面PAC.

(2)由(1)可知DE_L平面PAC,

DE=(2,-1,0)可作为平面PAC的法向量,

设平面PCD的法向量〃=(%,y,z)

ULIUUUU

因为尸£>=(0,2,-4)，PC=(2,4,-4).

n-PD=0[2y-4z=0

所以《，即《"

n-PC=02x+4y-4z=0

不妨设z=L得九=(-2,2,1).

DEn2x(-2)+(-l)x2+0_275

cos〈DE,n)=

HR722+(-1)2X7(-2)2+22+1-5

又由图示知二面角A—PC—。为锐角，

所以二面角A—PC—。的正弦值为心.

5

(JOULIUULI

⑶设谭=%(0<%<1)，即。。=丸。尸=(—24-444；1)，DE=(2,—1,0),

UIXI

所以Q=(2—22,4—4442),即0石=(2442—3,-42)，

因为直线度与平面PAC所成角的正弦值为.

|QEQE|_|2x22-(42-3)+0|—逐

所以COS(QE.DE)

\QE\]DE\722+(-1)2X7(22)2+(42-3)2+(-42)25

即136万一24丸+9=3,解得彳=],即■^=3。

【点睛】本题考查利用空间向量求线面垂直、线面角、二面角的求法,

向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取:

1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的垂线的交点为原点；

2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标；

3、求：求出两个面的法向量；

4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；

5、取：根据二面角的范围(0,万)和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.

20、(1)(x+l)2+(y+2)2=9

(2)8x-15y+29=0或x=2

【解析】⑴由圆心在直线x—2y—3=0上，设。(2机+3,机)，由点A8在圆。上，列方程求加，由此求出圆心坐

标及半径，确定圆的方程；(2)当切线的斜率存在时，设其方程为y-3=左(％-2),由切线的性质列方程求左，再检

验直线x=2是否为切线，由此确定答案.

小问1详解】

因为圆C的圆心在直线x-2y-3=0上，设圆心的坐标为C(2〃z+3,m),

圆C过点4(—1,1),6(2,—2),所以|C4|=|CB|,即(2机+3+1『+(加—=(2m+3—2『+(7〃+2『，

解得m=-2,

则圆心c(—L—2),半径r=|C4|=3,所以圆的方程为(x+iy+(y+2)2=9；

【小问2详解】

当切线的斜率存在时，设直线的方程为丁―3=左(*—2),即6—y—2左+3=0,

\-k+2-2k+3\8

因为直线和圆相切，得^——1=~[=3,解得左=2,所以直线方程为8x-15y+29=0,

“2+115

当切线的斜率不存在时，易知直线彳=2也是圆的切线，

综上，所求的切线方程为8x-15y+29=0或x=2

21、(1)证明见解析；

(2)

3

【解析】(1)过A作面连接班，结合题设易知AB=0AE=0A。，根据过面外一点在该面上垂线

性质知重合，再应用面面垂直的判定证明结论.

(2)面中过。作。结合题设构建空间直角坐标系，设5C=a>0并确定相关点坐标，求面ABC、

面ADC法向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数，最后由棱锥体积公式求体积.

【小问1详解】

由题设，易知：△ABD是等腰直角三角形，即NABD=45°,

将△板5沿50折起过程中使直线45与平面所成的角为45。，此时过A作AE面BCD,连接3E,如下图示,

所以NABE=45°,在RtZkABE中=0AE，又AB=且瓦面BCD,

因为过平面外一点有且只有一条垂线段，故E,。重合，此时面BC。，

又ADu面故平面430,平面3C。；

【小问2详解】

在平面中过。作。由(1)结论可构建如下图示的空间直角坐标系,

由AD/ABC,AD1BD，AD=BD=2,若BC=a>0,

则。(0,0,0),4(0,0,2),8(2,0,0),。(2,上0),故AC=(2,a,—2),AB=(2,0,—2),ZM=(0,0,2).

"2.AC—2x+cry—2z—0

若机=(%,y,z)是面ABC的一个法向量