焦作市重点中学2024年中考联考数学试题含解析

焦作市重点中学2024年中考联考数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列计算正确的是（）

A.2a2-a2=lB.（ab）2=ab2C.a2+a3=a5D.（a2）3=a6

2.-2的相反数是

11

A.-2B.2C.-D.——

22

3.已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）

A.10B.±10C.20D.±20

4.如图，与直线h相离，圆心O到直线h的距离OB=2g,OA=4,将直线h绕点A逆时针旋转30。后得到

的直线12刚好与◎。相切于点c,则OC=（）

A.1B.2C.3D.4

5.为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位。C：-6,-1,X,

2,-1,1.若这组数据的中位数是-1,则下列结论错误的是（）

A,方差是8B.极差是9C.众数是-1D.平均数是-1

6.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

ABcD

©A,-

7.若实数a,b满足|a|>|b|,则与实数a,t）对应的点在数轴上的位置可以是（）

AI1I>C-----------------------―—“一，

A.QabB.aQbC.匕々0>D・a6。'

8.主席在2018年新年贺词中指出，2017年，基本医疗保险已经覆盖1350000000人.将1350000000用科学记数法表

示为（）

A.135xl07B.1.35X109C.13.5X108D.1.35X1014

10.如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去!圆周的一个扇形，将留下的扇形围成

3

一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为

A.6cmB.3A/?cmC.8cmD.56cm

11.某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的主视图可以是（）

12.如图，△ABC是等腰直角三角形，NA=90。，BC=4,点P是△ABC边上一动点，沿B—A—C的路径移动，过点

P作PDLBC于点D,设BD=x,4BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）

BD

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，等腰△ABC中，AB=AC,ZDBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则NA的度数是

14.已知A（xi,yi）,B（X2,y2）都在反比例函数y=9的图象上.若xiX2=-4,则yi，y2的值为.

x

15.如图1,在平面直角坐标系中，将口ABCD放置在第一象限，且AB〃x轴，直线y=-x从原点出发沿x轴正方向

平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度1与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2,那么ABCD

面积为

16.（题文）如图1,点P从AABC的顶点B出发，沿B—C-A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP的长

度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AABC的面积是.

17.“若实数a,b,c满足aVb<c,则a+bVc”，能够说明该命题是假命题的一组a,b,c的值依次为

18.已知点尸是线段4B的黄金分割点，PA>PB,AB=4cm,则Rl=cm.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只

能选两人打第一场.

(1)如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率;

(2)如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是：三人同时伸“手心、

手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”

都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.

20.(6分)甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元.已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公

4

司人数的《，问甲、乙两公司人均捐款各多少元?

21.(6分)如图，AB是。O的直径，点E是A。上的一点，ZDBC=ZBED.

(1)求证：BC是。O的切线;

22.(8分)徐州至北京的高铁里程约为700km,甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B

前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h,A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%,两车的行

驶时间分别为多少？

23.（8分）（1）计算：53|一而-2sin30°+（-1）-2

2x%+2y、.x-2y

化简：(

(2)~"22•

%+yx+y犬-y

24.(10分)如图，AB是。O的直径，AC是。O的切线，BC与。O相交于点D,点E在。。上，且DE=DA,AE与

BC交于点F.

(1)求证：FD=CD；

(2)若AE=8,tanZE=,求。。的半径.

0

BC

E

25.(10分)如图，直线丁=女科+伪与第一象限的一支双曲线y=—交于A、B两点,A在B的左边.

X

⑴若伪=4,B(3,l),求直线及双曲线的解析式：并直接写出不等式‘<匕x+4的解集；

X

⑵若A(l,3),第三象限的双曲线上有一点C,接AC、BC,设直线BC解析式为y=kx+b•当AC_LAB时,求证：k为定值.

26.（12分）计算：y/lSx（2--&+币+I

27.（12分）如图1,在RtAABC中，NC=90。，AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB±,AD=DE=-AB,连接

2

DE.将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为6.

(1)问题发现

BF

①当0=0。时，--；

CD

BE

②当8=180。时，——=.

CD

(2)拓展探究

BF

试判断：当0%0<360。时，布的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明;

(3)问题解决

①在旋转过程中，BE的最大值为；

②当AADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

根据合并同类项法则判断A、C；根据积的乘方法则判断B；根据塞的乘方法判断D,由此即可得答案.

【详解】

A、2a2-a2=a2,故A错误；

B、(ab)2=a2b2,故B错误;

C、a?与a3不是同类项，不能合并，故C错误；

D、(a2)3=a6,故D正确,

故选D.

【点睛】

本题考查塞的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握各运算的运算性质和运算法则是解题的关键.

2、B

【解析】

根据相反数的性质可得结果.

【详解】

因为-2+2=0,所以-2的相反数是2,

故选B.

【点睛】

本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.

3、B

【解析】

根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b\

【详解】

x2+inx+25是完全平方式，

雨=±10,

故选B.

【点睛】

本题考查了完全平方公式:。2±2而+/,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是无和1的平方,

那么中间项为加上或减去X和1的乘积的2倍.

4、B

【解析】

先利用三角函数计算出NOAB=60。,再根据旋转的性质得NCAB=30。,根据切线的性质得OCLAC,从而得到NOAC

=30。，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到OC的长.

【详解】

解：在RtAABO中，sinZOAB=—=,

OA42

，NOAB=60。，

•.•直线h绕点A逆时针旋转30。后得到的直线h刚好与。O相切于点C,

,*.ZCAB=30°,OC±AC,

/.ZOAC=60°-30°=30°,

*»1

在R3OAC中，OC=-OA=1.

2

故选B.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系：设。O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,则直线1和。O相交udVr；直线

1和。。相切ud=r；直线1和。。相离ud>r.也考查了旋转的性质.

5、A

【解析】

根据题意可知x=-l,

平均数=(-6-1-1-1+2+1)+6=-1,

•数据-1出现两次最多，

,众数为-1,

极差=1-(-6)=2,

方差=工[(-6+1)2+(-1+1)2+(-1+1)2+(2+1)2+(-1+1)2+(1+1)2]=2.

6

故选A.

6、C

【解析】

试题解析：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C.既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选c.

7、D

【解析】

根据绝对值的意义即可解答.

【详解】

由|a|>|b|,得a与原点的距离比b与原点的距离远，只有选项D符合，故选D.

【点睛】

本题考查了实数与数轴，熟练运用绝对值的意义是解题关键.

8、B

【解析】

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中K|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝

对值VI时，n是负数.

【详解】

将1350000000用科学记数法表示为：1350000000=1.35xl09,

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中K|a|V10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值及n的值.

9、D

【解析】

根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可.

【详解】

解：作AEL5c于E,

则四边形AEC。为矩形,

：.EC=AD=1,AE=CD=3,

：.BE=4,

由勾股定理得，AB=7AE2+BE2=5»

二四边形ABC。的四条边之比为1：3：5：5,

D选项中，四条边之比为1：3：5：5,且对应角相等，

故选D.

【点睛】

本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.

10、B

【解析】

试题分析：•••从半径为9cm的圆形纸片上剪去;圆周的一个扇形，

二留下的扇形的弧长一（“四人葭兀,

3

根据底面圆的周长等于扇形弧长，

.•.圆锥的底面半径r=——=6cm,

2万

二圆锥的高为792-62=3非cm

故选B.

考点：圆锥的计算.

11、B

【解析】

从几何体的正面看可得下图，故选B.

12、B

【解析】

解：过A点作5c于H,•.•△A5C是等腰直角三角形，，N5=NC=45。，BH=CH=AH={BC=2,当叱烂2时，如

图1,":NB=45°,.,.PD=BD=x,.'.y=-*x*x=-Z*;

A

B

当2V烂4时，如图2,VZC=45°,：.PD=CD=4-x,・力旦（4-x）•%=-：：；+二，故选B.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、50°.

【解析】

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD,根据等边对等角可得NA=NABD,然后表示出NABC,

再根据等腰三角形两底角相等可得NC=NABC,然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：

【详解】

VMN是AB的垂直平分线，.*.AD="BD."AZA=ZABD.

VZDBC=15°,.,.ZABC=ZA+15°.

VAB=AC,/.ZC=ZABC=ZA+15°.

ZA+ZA+15o+ZA+15°=180°,

解得NA=50。.

故答案为50°.

14、-1.

【解析】

66

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到乂=%=『，再把它们相乘，然后把占%2=-4代入计算即可.

【详解】

66

根据题意得％=一，%=—，

%x2

663636小

所以%%=耳.3=卷=4=一9・

故答案为:T.

【点睛】

66

考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点A,8的坐标代入反比例函数解析式得到%=一,%=一，是解题的关键.

X]x2

15、1

【解析】

根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A,当移动距离是7时，直线经过D,在移动距离是1时经过B,则

AB=L4=4,当直线经过D点,设其交AB与E,则DE=272，作DF,AB于点F.利用三角函数即可求得DF即平行四边形

的高,然后利用平行四边形的面积公式即可求解

【详解】

解：由图象可知，当移动距离为4时，直线经过点A,当移动距离为7时，直线经过点D,移动距离为1时，直线经

过点B,

贝！JAB=1-4=4,

当直线经过点D,设其交AB于点E,则DE=20,作DFLAB于点F,

；y=-x于x轴负方向成45。角，且AB〃x轴，

；.NDEF=45。，

；.DF=EF,

二在直角三角形DFE中，DF2+EF2=DE2,

.\2DF2=1

；.DF=2,

那么ABCD面积为：AB«DF=4x2=l,

故答案为1.

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质和一次函数图象与几何变换，解题关键在于利用好辅助线

16、12

【解析】

根据题意观察图象可得BC=5,点P在AC上运动时，BP.AC时，BP有最小值，观察图象可得，BP的最小值为4,

即BPAC时BP=4,又勾股定理求得CP=3,因点P从点C运动到点A,根据函数的对称性可得CP=AP=3,所以二二二二

的面积是=12.

17、答案不唯一，如1,2,3；

【解析】

分析：设a,b,c是任意实数.若a<6<c,则a+kc”是假命题，则若则a+妃c”是真命题，举例即可，本题答

案不唯一

详解：设a,b,c是任意实数.若a<b<c,则a+b〈c”是假命题，

则若a<b<c,则a+bNc"是真命题，

可设a,b,c的值依次1,2,3,(答案不唯一)，

故答案为1,2,3.

点睛：本题考查了命题的真假，举例说明即可，

18、275-2

【解析】

根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=Y1二1AB,代入运算即可.

2

【详解】

解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，

且AP是较长线段；

贝!JAP=4x—1)cm,

故答案为：(26一2)cm.

【点睛】

此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的好匚，难度一般.

2

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)-(2)-

34

【解析】

(1)由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可；

(2)画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率.

【详解】

解：(1)•••确定小亮打第一场，

,再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为:；

(2)列表如下：

手^手背

/\/\

多b手背尹必丰背

所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2个,

21

则小莹与小芳打第一场的概率为工=:.

84

【点睛】

本题主要考查了列表法与树状图法；概率公式.

20、甲、乙两公司人均捐款分别为80元、100元.

【解析】

试题分析：本题考察的是分式的应用题，设甲公司人均捐款x元，根据题意列出方程即可.

试题解析：

设甲公司人均捐款X元

200042000

-----------X——--------------

x5x+20

解得：I=80

经检验，1=80为原方程的根，80+20=100

答：甲、乙两公司人均各捐款为80元、100元.

21、⑴证明见解析

⑵BC=,：

【解析】

(l)AB是。O的直径，得NADB=90。，从而得出NBAD=NDBC,即NABC=90。，即可证明BC是。O的切线;

BeCD

(2)可证明△ABCS/\BDC,则一=——，即可得出BC=J而.

CABC

【详解】

(1)TAB是。O的切直径，

...NADB=90。，

XVZBAD=ZBED,ZBED=ZDBC,

；./BAD=/DBC,

，ZBAD+ZABD=ZDBC+ZABD=90°,

，/ABC=90。，

.••BC是。O的切线；

(2)解：；NBAD=NDBC,ZC=ZC,

/.△ABC^ABDC,

BcCD

:.——=——，BPBC2=AC«CD=(AD+CD)«CD=10,

CABC

/.BC=V10.

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.

22、A车行驶的时间为3.1小时，B车行驶的时间为2.1小时.

【解析】

设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据题意得：②-②=80,解分式方程即可，注意

t14

验根.

【详解】

解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，

卬gm*四700700

根据题意得：------80,

t1.4/

解得：t=2.L

经检验，t=2.1是原分式方程的解，且符合题意，

.,.1.4t=3.1.

答：A车行驶的时间为3.1小时，B车行驶的时间为2.1小时.

【点睛】

本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据题意找出数量关系，列出方程.

23、(1)2;(2)x-y.

【解析】

分析：（1）本题涉及了二次根式的化简、绝对值、负指数幕及特殊三角函数值，在计算时，需要针对每个知识点分别

进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.（2）原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除

法法则变形,约分即可得到结果.

详解：（1）原式=3-4-2x%=2；

⑵原式=3.（x+y）（xy）=x_y.

x+yx-2y

点睛：（1）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数

指数塞、二次根式的化简、绝对值及特殊三角函数值等考点的运算；（2）考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是

解本题的关键.

24、（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）先利用切线的性质得出NCAD+NBAD=90。，再利用直径所对的圆周角是直角得出NB+NBAD=90。，从而可证明

ZB=ZEAD,进而得出NEAD=NCAD,进而判断出△ADF之△ADC,即可得出结论；（2）过点D作DGJLAE,垂

足为G.依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=1,然后在R3GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长,

然后依据勾股定理可得到AD=ED=2,然后在RtAABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得。O

的半径的长.

【详解】

（1）VAC是。O的切线，

.\BA_LAC,

.,.ZCAD+ZBAD=90°,

VAB是。O的直径，

二ZADB=90°,

.•.ZB+ZBAD=90°,

.•.ZCAD=ZB,

；DA=DE,

.\ZEAD=ZE,

又；NB=NE,

/.ZB=ZEAD,

.\ZEAD=ZCAD,

在ZkADF和AADC中，ZADF=ZADC=90°,AD=AD,ZFAD=ZCAD,

/.△ADF^AADC,

/.FD=CD.

(2)如下图所示：过点D作DG_LAE,垂足为G.

VDE=AE,DG±AE,

AEG=AG=AE=1.

■:tanZE=,

・•・_=.，即一二.，解得DG=1.

Ou$3

DQ444

AED==2.

•；NB=NE,tanNE=，

J

4

sinZB=,即，解得AB二.

二二_cc_ijiu

•——QQ-J20-j3

.•.(DO的半径为.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，利用等式的性质和同角的余角相等判断

角相等是解本题的关键.

25、(l)l〈x<3或x<0；(2)证明见解析.

【解析】

rn

(1)将5(3,1)代入y=一,将5(3,1)代入丁=尤%+4,即可求出解析式；

x

irj

再根据图像直接写出不等式一V左元+4的解集；(2)过A作轴，过。作CGL于G,过5作5HL于H,

x

=kx+b

33

△AGC^ABHA,设6（叫一）、C（〃，-）,根据对应线段成比例即可得出机〃二一9,联立43，得

mny=一

X

-31

k2x2+bx-3=0,根据根与系数的关系得加〃=丁=-9,由此得出攵二彳为定值.

k3

【详解】

解：⑴将3(3,1)代入y=一,

x

.3

・・m=3,y=~

x9

将5(3,1)代入丁=%％+4,

:.3kl+4=1温=

/.y——x+4,

.••不等式一〈左九+4的解集为l<x<3或x<0

x

⑵过A作l//x轴，过C作CGL于G,过B作BHU于H,

贝！)△AGCsABHA,

33

设b(izz,—)、C(〃，一)，

mn

.・AG_BH

・CG-AH?

1—3—3

・]_〃____m

••方一

J—

n

°m-1

1_n§

・1"=m

n-1m-19

j------

n

2

・]_m_

•,『T'

n

:.mn=-9.

y=kx+b

联立，[3

y二一

IX

：・k2x2+bx-3=0

【点睛】

此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据反比例函数的性质进行求解.

26、572

3

【解析】

分析：先化简各二次根式，再根据混合运算顺序依次计算可得.

详解：原式=3血x（2-逅）-夜+走

63

=6万

=5日也

3

点睛：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键.

27、（1）①"②应；（2）无变化，证明见解析；（3）①2衣+2,②百+1或6-1.

【解析】

4/7Ar）

（D①先判断出OE〃C3,进而得出比例式，代值即可得出结论；②先得出OE〃3C,即可得出，一=—，再用

ABAC

比