直线与圆7类常考题型训练(原卷及答案)-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

直线与圆

目录

一常规题型方法.........................................................1

题型一直线的倾斜角与斜率...............................................1

题型二直线的平行与垂直关系.............................................3

题型三直线的距离问题...................................................4

题型四直线的定点与对称问题.............................................5

题型五圆的方程.........................................................7

题型六直线与圆的位置关系...............................................8

题型七圆与圆的位置关系................................................10

二针对性巩固练习......................................................12

练习一直线的倾斜角与斜率..............................................12

练习二直线的平行与垂直关系............................................12

练习三直线的距离问题..................................................13

练习四直线的定点与对称问题............................................13

练习五圆的方程........................................................14

练习六直线与圆的位置关系..............................................15

练习七圆与圆的位置关系................................................16

常规题型方法

题型一直线的倾斜角与斜率

【典例分析】

典例1-1.（2022春・河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）若直线/：

尤一2y+l=0的倾斜角为a,则tan（7i—a）=（）

A.2B.-2C.1D.

典例1-2.（2022春.福建福州.高二福建省福州延安中学校考阶段练习）设直线/的斜

率为上且-IV左<相，直线/的倾斜角。的取值范围为（）

典例1-3.（2022春・甘肃兰州•高二校考阶段练习）已知直线/过A（-U）、3（1,3）两点，

则直线/的倾斜角的大小为（）

A.工B.工C.2D.包

4334

典例1-4.（2022春•江苏连云港•高二校考期末）设x,y为实数，已知直线的斜率左=2,

且A（3,5）,B（x,7）,C（-l,y）是这条直线上的三个点,则x+y=（）

A.4B.3C.-1D.1

典例15（2022春・山东荷泽・高二山东省邺城县第一中学校考期中）已知点A（2,3）,

3（-2,-1）,若直线/：y=1）-2与线段A3有公共点，则人的取值范围是（）

A.-1,5B.JC.[5,-H»）D』-8,一；U[5,+<»）

【方法技巧总结】

1.公式:①斜率左=tana.a为倾斜角0<a<180；②已知点片（七,%）、6（%,%），

过两点耳，P,的直线的斜率公式k="±.

玉~X2

2.技巧：要注意倾斜角的范围与斜率有意义之间的关系，用两点求斜率也要注意分

母有没有意义。

【变式训练】

1.（2020春・浙江绍兴.高二校考阶段练习）如图，直线《，12,4的斜率分别为*L

心，则（）

A.k]<卜3<卜2B.卜3<k]<k?

C.<k2<k3D.k3<k2<

2.（2022.全国•高三专题练习）直线"+l）x-y+l=0的倾斜角的取值范围是（）

r「八兀'-「兀兀、「兀）r「兀兀）

A.0,-B.0,-C.D.

L4；L2；[42）[2）[42）

3.（2022・全国•高二假期作业）若直线经过两点4（2,%）,3（m,1-2根），且其倾斜角为45。,

则机的值为（）

A.0B.—C.\D.—

224

4.（2022春•江苏连云港•高二期末）若A。,2）,………三点共线，

则实数用的值为（）

A.-2B.2C.-3D.3

5.（2022春.浙江嘉兴.高二校考阶段练习）已知点42,-3）,5（-3,-2）.若直线

/：如+>—机—1=。与线段人3相交，则实数加的取值范围是（）

3

A.[4,+oo)B.(-00,-4]U—,+00

4

3）

C.一J

题型二直线的平行与垂直关系

【典例分析】

典例2-1.（2022春•吉林通化・高三梅河口市第五中学校考期末）若直线4：

依+4y+8=。与直线。3x+（a+l）y-6=0平行，贝I"的值为（）

A.3B.-4C.3或TD.-3或4

典例2-2.（2022春・北京昌平•高二北京市昌平区第二中学校考期末）设aeR,则

“。=一3"是"直线4：办+2y-l=0与直线4：（。+1）》+。>-2=0垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.重要条件D.既不充分也不必

要条件

【方法技巧总结】

1.公式:平行：kIIO左=左2,4W仇；垂直：/1_L4O左1,左2=—1・

2.技巧：已知直线平行或垂直求参数，首先需把两直线都转化为斜截式，然后利用

平行或垂直的斜率关系公式来求解参数。需注意两平行得出的结果需检验截距是否

相同，从而排除重合的情况；两直线垂直，需注意转化斜截式的时候斜率的分母要

有意义，如果不确定需进行特殊情况讨论。

【变式训练】

1.（2022.上海金山.统考一模）已知直线4：3x-（a+2）y+6=O,直线

/?：Gtx+（2a—3）y+2=0,贝!J"o=—9"是"/J//?”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

2.（2022春.浙江杭州.高二浙江大学附属中学校考期中）若直线乙：2〃优->+1=0与

4:（加一l）x+阳+2=0互相垂直,贝I］实数”？=（）

733

A.jB.-C.-1或0D.7或0

题型三直线的距离问题

【典例分析】

典例3-1.（2022.四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考二模）在平面直角坐标系xOy

中，点尸在曲线y=x+J（x>0）上，则点尸到直线3x-4y-2=0的距离的最小值为（）

A.—B.1C.—D.一

555

典例3-2.（2022春.山西运城.高二山西省运城中学校校联考期中）若点A（-l,5）和点

8（3,1）到直线/：奴+"1=0的距离相等，则。=（）

A.-1B.1C.-1或TD.1或T

典例33（2022春•高二校考期末）两平行直线3x-2y-1=0和6元-4y+3=0间的距离

是（）

A5岳口4A/13-2^/13n3y/13

2613133

【方法技巧总结】

1.公式：①点到直线的距离公式：点P6,九）到直线Ar+5y+C=0的距离为

,_|^o+By。+C\

df2•

VA+B2

②两平行线间的距离公式：直线Ax+5y+G=0与直线4》+队+。2=。的距离为

〃一C-GI

VA2+B2

2.技巧：适用距离公式时需把直线转化为一般式，两直线平行的距离公式还需把A

和B统一。

【变式训练】

1.（2022秋・天津津南•高二天津市咸水沽第一中学校考期末）抛物线丁=8丈的焦点

22

到双曲线乙-二=1的渐近线的距离是（）

62

A.V3B.2C.当D.|

2.（2022春•山东青岛•高二统考期中）直线/过点P。,2）,A（2,3）和3（4,-5）两点到直

线/的距离相等，则直线/的方程为（）

A.4x+y-9=0或3%+2y-8=0B.4x+y-6=0或3x+2y-7=0

C.4x+y-9=0或2x+3y-8=0D.4%+>-9=0或2%+3y-8=0

3.（2022春.河南.高三校联考阶段练习）已知直线

li:x-2y-l=0J2:2x+my+2^/5-2=0,若I、〃k,则4与4之间的距离为（）

A.1B.2C.I一口.“2百

55

题型四直线的定点与对称问题

【典例分析】

典例4-1.（2022秋•上海普陀・高二曹杨二中校考阶段练习）已知定点尸（1,0）.和直线/：

（1+3为x+（3—4）y-6+22=0,则点尸到直线/的距离d的最大值为（）

A.>/2B.6C.75D.2亚

典例42（2022秋•河北张家口•高二校联考期中）点*2,0）关于直线/:x-y+3=0的

对称点Q的坐标为（）.

A.（-3,5）B.（-1）C.（4,1）D.（2,3）

典例4-3.（2021春•陕西榆林.高一陕西省神木中学校考阶段练习）已知入射光线经

过点A（-3,4）,被直线/：x-y+3=0反射，反射光线经过点3（3,8）,则反射光线所在

直线的斜率为（）

A.—1B.—C.4D.—4

【方法技巧总结】

1.方法一：定点有两种求法，简单的可以通过尝试x值使得取此x值y值为固定常

数，不受参数影响，此xy值即是定点坐标，另一种方法是方程较为复杂时，可将

其整理为参数在一起的不定方程，并让其恒成立，产生方程组，求出一组解，即为

定点坐标。

2.方法二：对称也有两种求法，第一种，求出点与对称点所在方程，再与已知直线

方程联立求出交点，最后结合中点公式求出对称点坐标。第二种，把对称点设出，

利用点在直线上和垂直的斜率公式产生两个方程，联立求出所设点坐标。

【变式训练】

1.（2023秋・广东广州•高二广州市天河中学校考期末）已知直线/：

（2〃z+l）尤+（〃?+l）y+〃2=0经过定点尸，直线厂经过点P,且/'的方向向量a=（3,2）,则

直线/'的方程为（）

A.2x-3y+5=0B.2x-3y-5=0C.3x-2y+5=0D.3x-2y-5=0

2.（1990・全国•高考真题）如果直线>=依+2与直线y=3x-6关于直线丫=无对称，那

么（）

A.a=-,b=6B.a=—,b=—6C.a=3,b=-2D.a=3,b=6

33

3.（2022春.云南•高二校联考阶段练习）如图，已知4（5,0）,3（0,5）,从点P（l,0）射

出的光线经直线反射后再射到直线OB上,最后经直线08反射后又回到点P,

则光线所经过的路程长为（）

A2A/T3B2A/10C2^/26D4^3

题型五圆的方程

【典例分析】

典例5-1.（2022秋•江苏淮安•高二校考阶段练习）以点（3,-2）为圆心，且与直线

3x-y-l=。相切的圆的方程是（）

A.（x-3）2+（y+2）2=lB.（X+3）2+（J-2）2=1

C.（x+3）2+（〉—2）2=10D.（尤-3）2+（y+2>=10

典例5-2.（2022秋•江苏扬州•高二校考阶段练习）已知点*1,2）为圆

/+:/+》-4）/+〃2=0外一点，则实数加的取值范围为（）

典例5-3.（2021秋.江苏常州.高二校考阶段练习）如图，某个圆拱桥的水面跨度是

20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）

A.2而米B.20®米C.4闻米D.126米

【方法技巧总结】

L技巧：方程如果表示圆，可利用半径的平方大于零来求解参数的范围。另外点与

圆的位置关系最好利用带点法，此方法更为快捷和通用。

【变式训练】

1.（2022秋.河南郑州.高二郑州十九中校考阶段练习）ABC三个顶点的坐标分别是

B（4,2）,C（3,o）,则A5C外接圆方程是（）

A.无2+丁2_5%_3y+6=0B.x2+y2—3x—5y+6=0

C.炉+y?—3%—5y—6=0D.x2+y2—5x—3y—6=0

2.（2022秋.福建三明.高二校联考期中）过点。,2）总可以向圆

尤2+/一2丘+2y+/-24=。作两条切线，则上的取值范围是（）

A.k<—3B.k>5

C.左<一3或左>5D.k<—5或k>3

3.（2021秋•福建宁德•高二校联考期中）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），

经测得某圆拱索桥（如图）的跨度卜10。米，拱高|。4=10米，在建造圆拱桥时每

隔5米需用一根支柱支撑，则与。尸相距30米的支柱MN的高度是（）米.（注意：

710-3.162）

C.4.48D.3.48

题型六直线与圆的位置关系

【典例分析】

典例6-1.（2022秋•安徽滁州•高二校考阶段练习）直线x+y+6=。与曲线x=TW有

两个公共点，则实数6的取值范围是（）

A.B.l<b<y/2

C.-垃<b<-lD.-V2<Z?<-1

典例6-2.（2022秋.广东广州•高二广州市第九十七中学校考期末）过点「（2,1）作圆

O：/+丁=1的切线/,则切线/的方程为（）

A.3%-4y-5=0B.4x-3y—5=0

C.y=l或4x-3y-5=0D.y=l或3尤一4y-5=°

典例6-3.（2022秋.湖南常德.高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知直线

4x+3y-9=0与圆C：产一2工+/+。=。相交的弦长为4后，贝U。=（）

A.-8B.-2C.2D.8

典例6-4.（2022•全国•高三专题练习）在圆加:/+/一2》-3=0中，过点—0,1）的最

长弦和最短弦分别为AC和3。，则四边形ABCD的面积为（）

A.2>/2B.4A/2C.6&D.8立

典例6-5.（2022.全国•高三专题练习）若点C到A（T,0）,3（1,0）的距离之比为6，则

点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为（）

A.2A/5-A/3B.V5-V3C.275D.73

【方法技巧总结】

1.分类：（1）当d<r时，直线/与圆C相交；（2）当』=「时，直线/与圆C相切;

（3）当d>厂时，直线/与圆C相离.

2.技巧：过定点求切线方程时要注意是否有斜率不存在的特殊情况；线长问题利用

勾股定理，最短弦长与最长弦长要记好结论；动点最值问题注意加减半径。

【变式训练】

1.（2022秋•贵州黔东南•高二凯里一中校考阶段练习）直线/：后->+左-1=0与圆

三+丁=3的位置关系是（）

A.相交B.相离

C.相切D.无法确定

2.（2023秋•广东东莞•高二东莞市东莞中学校考期末）已知圆C:（尤-2）2+（y-2）2=8,

点尸为直线/：尤+y+4=。上一个动点，过点尸作圆C的切线，切点为A,则切线长|PA|

的最小值为（）

A.4A/2B.2瓜C.26D.272

3.（2023秋•重庆大渡口•高二重庆市第三十七中学校校考期末）若点尸（1,1）为圆

/+丁=4的弦A3的中点，则弦A3所在直线方程为（）

A.%+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y+2=0D.x-y-2=0

4.（2022秋•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考期末）直线/:ox-y-3a+l=0被圆

C:（尤+1）2+"-2）2=25截得的弦长的最小值为（）

A.4A/3B.4A/2C.3后D.2A/6

5.（2022秋•江苏连云港•高二期末）设6为实数，若圆d+丁=4上恰有三个点到直线

/：y=x+8的距离都等于1,则/，的值是（）

A.b=2B.b=—y/2C.b=-\/2D.b=+A/2

题型七圆与圆的位置关系

【典例分析】

典例7-1.（2022秋・浙江宁波・高二效实中学校考期中）两圆f+y2=9和

/+丁一舐+6、+9=0的位置关系是（）

A.相离B.相交C.内切D.外切

典例7-2.（2022秋.陕西渭南.高一校考期末）两个圆G：/+/+2尤+2广2=0与

C2：/+9一4苫-2、+1=0的公切线有且仅有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

典例7-3.（2022秋.江西•高二统考阶段练习）已知圆储：/+/=4和圆

C：（x-l）2+（y+l）2=a的公共弦所在直线经过原点，则实数。的值为（）

A.6B.4C.—6D.—4

【方法技巧总结】

1.分类：设。的半径为小Q的半径为2,两圆的圆心距为小

（1）当+u时，两圆外离；

（2）当d=6+弓时，两圆外切；

（3）当卜一臼<d<{+々时，两圆相交；

（4）当4=,—目时,两圆内切；

（5）当。<卜—目时，两圆内含.

2.技巧：公切线条数与两圆位置关系有关；两圆联立可直接求出交线方程，并根据

交线方程结合弦长求法可求出公共弦长。

【变式训练】

1.（2022秋・河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）若圆M：

食一人）2+丁=4与圆N：（无一1）2+丁=1相交，贝心的取值范围为（）

A.（-2,0）B.（2,4）C.（-2,0）（2,4）D.（-2,4）

2.（2023秋・天津西青•高二统考期末）圆（苫-.丫-。-丁=4与/+;/=1恰有三条公

切线，则实数。的值为（）

A.±26B.2A/3C.2A/2D.±2近

3.（2022秋•福建・高二福建师大附中校考期末）圆Q:尤2+丁-2%-2y-26=0与圆

。2：/+>2一8>-2=。的公共弦长为（）

A.6及B.3后C.2限D.2A/3

针对性巩固练习

练习一直线的倾斜角与斜率

1.（2022春・安徽合肥•高二校考期末）已知直线/的一个方向向量为〃=（-1,、回），则

直线/斜率为（）

A.1B.gC.也D.-V3

3

2.（2022春•浙江湖州•高二湖州中学校考期中）直线尤-ysin6+2=0的倾斜角的取值

范围是（）

3.（2022春•江苏连云港•高二期末）经过两点A。,机），3（机-1,3）的直线的倾斜角是

钝角，则实数加的范围是（）

A.（-°O,-3）U（-2,+QO）B.（-oo,-3）U（2,y）

C.（―8,—2）u（3,+oo）D.（—oo,2）u（3,+oo）

4.（2022春・浙江•高二校联考期中）已知A（l,2）,5（-3/）,。（5,-6）三点共线，则实

数，=（）

A.10B.4C.-4D.-10

5.（2022春•江苏泰州•高二统考期中）经过点P（0，-D作直线I,若直线I与连接41,-2）,

3（2,1）两点的线段总有公共点，则直线/的倾斜角a的取值范围是（）

练习二直线的平行与垂直关系

6.（2021春・河南安阳•高一安阳一中校考期末）已知直线4"+阳+6=0和

/2：（〃2—2）x+3y+2〃?=。互相平行，则实数m的取值为（）

A.-1或3B.-3或-1C.-1D.3

7.（2022春•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨市第一中学校校考阶段练习）已知直线

小区+（1—左）y-3=0与/2：（左一1八一3丫-2=0互相垂直，则实数人（）

A.1B.3C.1或一3D.-1或3

练习三直线的距离问题

8.（2022.高二课时练习）已知点M（l,2）,点P（x,y）在直线2x+y-l=0上，则物的

最小值是（）

A.MB.手C.76D.3A/5

9.（2021春•山东枣庄•高二统考期中）已知直线/过点尸（3,3）,且点4（-2,2）,3（4,-2）

到直线/的距离相等，则直线/的方程为（）

A.3x—2y-3=0或2%+3y-15=0B.2%—3y+3=0或3%—2y—3=0

C.2x—3y+3=0或2%+3y-15=0D.2x+3y—15=0或2x+3y-2=0

10.（2022春•辽宁葫芦岛•高二兴城市高级中学校联考阶段练习）若直线

4：无+相>+1=0与/:2x-y=0垂直，直线4的方程为2x+2冲+3=。，贝也与4间的距离

为（）

A.—B.—C.—D.—

55105

练习四直线的定点与对称问题

H.（2022秋・福建厦门•高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）点尸（-2,-1）到直线

Z:（l+32）x+（l+^）j-2-42=0（2为任意实数）的距离的最大值为（）

A.2KB.V13C.4D.3A/2

12.（2022・全国•高三专题练习）已知点”（1,-2）、N（m,2）,若M、N关于直线

x+2y-2=0对称，贝U实数加的值是（）

A.3B.1C.-2D.-7

13.（2022春・四川广安•高二广安二中校考期中）已知一条光线从点尸（T5）射出,

经直线彳->=0反射后经过点（2,3）,则反射光线所在直线的方程为（）

A.2%+3y—13=0B.3%+4>-17=0C.4x+3y-17=0D.3x+2y—12=0

练习五圆的方程

14.（2022秋.江苏连云港.高一校考期末）求过两点4（0,4）,3（4,6）,且圆心在直线

尤-2y-2=。上的圆的标准方程是（）

A.（x+4）2+（y+l）2=25B.（尤+4>+（>-1）?=25

C.U-4）2+（J+1）2=25D.（x-4）2+（y-l）2=25

15.（2022秋・河南关B州•高二郑州市回民高级中学校考期中）若点P（-l,2）在圆

C:x2+/-2x+4y+左=。的夕卜部，则实数上的取值范围是（）

A.㈠⑸B.（-15,5）

C.（一8,—15）u（5,+e）D.（-15,2）

16.（2022秋.甘肃兰州.高二校考阶段练习）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时,

拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（）

C.15米D.16米

练习六直线与圆的位置关系

17.（2023秋・北京西城•高二统考期末）若直线3尤+4y+m=0与圆（尤+讲+丁与相离,

则实数加的取值范围是（）

A.（一8,—8）U（2,+8）B.（一8,—2）"8,+8）

C.(-oo,-2)u(2,+<»)D.(-00,-8)u(8,+oo)

18.（2023秋・重庆•高二校联考期末）已知直线/：*+y-4=0上尸（2,%）,过点P向圆

丁+丁=1弓|切线，则切线长是（）

A."B.遥C.272-1D.2A/2

22

19.（2022秋•上海浦东新•高二上海市进才中学校考期末）若双曲线c：土-匕=1的

824

一条渐近线被圆（》-2）2+/=4所截得的弦长为（）

A.1B.2C.4D.6

20.（2022秋・山西运城・高二山西省运城中学校校联考期中）已知圆一+（y-3）2=16内

一点尸（2』），则过P点的最短弦所在的直线方程是（）

A.x+y-3=0B.x+y-l=0

C.x-y+l=0D.x-y-l=0

21.（2022•高二课时练习）已知直线/：尤->+4=0与圆C:（x-l）2+（y-l）2=2,则圆C

上的点到直线/的距离的最小值为（）

A.72B.0C.1D.3

练习七圆与圆的位置关系

22.（2023秋•河北唐山•高二开滦第一中学校考期末）圆G：f+y2-4x+2y+l=。与圆

C?:/+,2+©-4>+4=0的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

23.（2022秋.四川达州.高二达州中学校考阶段练习）若圆C/（x-l）2+y2=i与圆

。2：。-4）2+（>-4>=32-也有且仅有3条公切线，贝［加=（）

A.16B.28C.9D.-11

24.（2022秋•四川南充•高二四川省南充高级中学校考期中）已知圆

小丘+了-履+2尸0与圆。2：/+》+2能-1=0的公共弦所在直线恒过点尸,则点尸

的坐标为（）

直线与圆

目录

一常规题型方法.........................................................1

题型一直线的倾斜角与斜率...............................................1

题型二直线的平行与垂直关系.............................................6

题型三直线的距离问题...................................................8

题型四直线的定点与对称问题............................................11

题型五圆的方程........................................................15

题型六直线与圆的位置关系..............................................19

题型七圆与圆的位置关系................................................24

二针对性巩固练习......................................................27

练习一直线的倾斜角与斜率..............................................27

练习二直线的平行与垂直关系............................................29

练习三直线的距离问题..................................................30

练习四直线的定点与对称问题............................................32

练习五圆的方程........................................................33

练习六直线与圆的位置关系.............................................35

练习七圆与圆的位置关系...............................................37

常规题型方法

题型一直线的倾斜角与斜率

【典例分析】

典例1-1.（2022春・河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）若直线/：

x-2y+l=。的倾斜角为a,则tan（7t—。）=（）

A.2B.-2C.1D.--

22

【答案】D

【分析】根据直线方程可得tanc,再利用诱导公式即可得解.

【详解】解：因为直线/：x-2y+l=0的倾斜角为

所以tana=；,

贝！Jtan（兀-a）=-tana=-1.

故选：D.

典例1-2.（2022春•福建福州•高二福建省福州延安中学校考阶段练习）设直线/的斜

率为k,且-1《左＜有，直线/的倾斜角。的取值范围为（）

A

-B.10,却m

【答案】D

【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到TWtana<G，结合正切函数的图象及

«e[0,7t）,数形结合得到直线/的倾斜角a的取值范围.

【详解】由题意得：-l<tana<73,

因为ae[0,7t）,且tan手=-1,tanj=\/3,

画出y=tanx的图象如下：

所以aeO,|juy,7tj

故选：D

典例1-3.（2022春・甘肃兰州.高二校考阶段练习）已知直线/过A（-l,l）、3（l,3）两点，

则直线/的倾斜角的大小为（）

A.2B.工C.祖D.四

4334

【答案】A

【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角

【详解】直线/过A（-U）、3。,3）两点，则直线/的斜率上=言]=1,...直线的倾

斜角为

4

故选：A.

典例1-4.（2022春•江苏连云港•高二校考期末）设工，y为实数，已知直线的斜率k=2,

且A（3,5）,B（x,7）,C（Ty）是这条直线上的三个点，贝也+>=（）

A.4B.3C.-1D.1

【答案】D

【分析】由已知A（3,5）,B（x,7）,C（-l,y）是斜率％=2直线上的三个点，进而结合斜

率公式，由如=廉=2,得到关于x,了的方程，解方程即可得答案.

【详解】因为4（3,5）,B（x,7）,C（-l,y）是斜率无=2直线上的三个点,

则勤=%=2,

所以二=*=2,解得x=4,y=-3.则无+y=l.

x-3-1-3

故选：D.

典例15（2022春・山东荷泽・高二山东省邺城县第一中学校考期中）已知点&（2,3）,

5（-2,-1）,若直线/：y=1）-2与线段有公共点，则k的取值范围是（）

一1J

A.--,5B.I

【答案】D

【分析】根据直线/：>=左（》-1）-2过定点21,一2）,再分别求得直线出，的斜率,

利用数形结合法求解.

【详解】解：直线/：y=Mx-i）-2过定点打1,一2）,

又三手

3

如图所示:

若直线/：y=1）-2与线段有公共点,

则上的取值范围是卜8,-]u[5,+o?）,

故选：D

【方法技巧总结】

1.公式:①斜率左=tana.a为倾斜角0<a<180；②已知点片（七,弘）、鸟（%2，%），

过两点R,P,的直线的斜率公式k=上匚匹.

xx-x2

2.技巧：要注意倾斜角的范围与斜率有意义之间的关系，用两点求斜率也要注意分

母有没有意义。

【变式训练】

1.（2020春・浙江绍兴•高二校考阶段练习）如图，直线K4,4的斜率分别为匕，右，

匕，则（）

C.k1<k2<k3D.左3Vk2Vzi

【答案】A

【分析】先根据图象得倾斜角范围以及大小关系，再根据斜率与倾斜角关系确定斜

率大小.

【详解】令直线6,34的倾斜角分别为4，%，%，

由图像可得0°<a<2<90°<，<180°,

所以tanqv0<tanq〈tan%,BP<0<.

所以匕<&〈网

故选：A.

2.（2022.全国•高三专题练习）直线（一+l）x-y+l=0的倾斜角的取值范围是（）

c兀、「八兀、„「兀兀、「兀）一「兀兀、

A.0,-B.0,-C.u-,7iD.

L4；L2J[42）[2）[42）

【答案】D

【分析】求出斜率的范围即可得出倾斜角的范围.

【详解】设倾斜角为。，则斜率tana="+i»i，

因为0目0,兀），所以即倾斜角的取值范围是

故选：D.

3.（2022•全国•高二假期作业）若直线经过两点A（2,机）,3（以1-2⑼，且其倾斜角为45。,

则加的值为（）

A.0B.—C.]D.—

224

【答案】D

【分析】根据直线的斜率公式即可求解.

【详解】经过两点4（2,叫3（，”,1-2间的直线的斜率为左=纥1匕网=网二1,

2-m2-m

又直线的倾斜角为45。,.•.孚匚=1,解得，〃=

2-m4

故选：D.

4.（2022春•江苏连云港.高二期末）若4（1,2）,B（3,m）,C（7,祖+2）三点共线，则实

数m的值为（）

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】D

【分析】先判定斜率存在，再由三点共线可得，任意两个点组成直线斜率相等即可

得结果

【详解】因为3工1,直线斜率存在，A,B,C三点共线，则勤=廉，

即詈=陪匕，解得加=3.

3—1/—1

故选：D

5.（2022春・浙江嘉兴•高二校考阶段练习）已知点A（2,-3）,B（-3,-2）.若直线

/:如+y-m-1=。与线段A3相交，则实数加的取值范围是（）

3

B.(-00,-4]u—,+oo

4

C.-卜

【答案】A

【分析】求得直线/恒过的定点，根据直线的斜率，数形结合即可求得结果.

【详解】直线人如+y-加-1=0,即y—1=—%(无—1),其恒过定点

数形结合可知，要满足题意，直线/的斜率-加2匕，或-机4右，

33

即一加2]或-m<-4,解得m£—00,-------[4,+oo).

4

故选：A.

题型二直线的平行与垂直关系

【典例分析】

典例2-1.(2022春.吉林通化.高三梅河口市第五中学校考期末)若直线k

办+4y+8=0与直线4：3x+(a+l)y-6=0平行，则。的值为()

A.3B.-4C.3或TD.-3或4

【答案】A

【分析】由两直线平行得到方程，求出。=3或。=7,通过检验舍去不合要求的解.

【详解】因为，直线6：ox+4y+8=l与直线七3x+(a+l)y-6=。平行，

所以a(a+l)=4x3,解得：a=3^a=-4,

当“=3时，h：3x+4y+8=0,Z2：3x+4y-6=0,lt//12,符合题意;

当a=T时，4：―4x+4y+8=0,Z2：3x—3y—6=0,均可化为无-y_2=0,即4,/■1重

合，舍去.

故。=3.

故选：A.

典例2-2.（2022春・北京昌平.高二北京市昌平区第二中学校考期末）设aeR,则

“。=—3”是“直线小办+2y—l=0与直线/2：（a+l）x+«y-2=。垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.重要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】A

【分析】先根据直线垂直求出。的值，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】直线4：0%+2,-1=0与直线/2：（（2+1）》+舒-2=。垂直

贝［|。（。+1）+2。=0,解得。=0或a=—3,

则“a=-3”是“直线4：办+2y-1=。与直线4：（。++分-2=。垂直”的充分不必要条

件.

故选：A.

【方法技巧总结】

1.公式：平行：liIII2okx-k2,bvb2；垂直：乙_L。o匕，=—L

2.技巧：已知直线平行或垂直求参数，首先需把两直线都转化为斜截式，然后利用

平行或垂直的斜率关系公式来求解参数。需注意两平行得出的结果需检验截距是否

相同，从而排除重合的情况；两直线垂直，需注意转化斜截式的时候斜率的分母要

有意义，如果不确定需进行特殊情况讨论。

【变式训练】

1.（2022.上海金山.统考一模）已知直线4：3x-（a+2）y+6=O,直线

4:ax+（2a-3）y+2=0,贝！J"a=-9"是""//z"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可.

2

【详解】若。=一9,贝U两直线方程分另U为小3尤+7y+6=。和33尤+7〉一：=。，

满足两直线平行，即充分性成立，

若

当a=0时，两直线分别为6：3x—2y+6=。和4：-3y+2=0,

此时两直线不平行，不满足条件.

6

3

当时，若两直线平行则一二2-

a

由一二7^方得3(2a-3)=-a(a+2),即a?+8々一9=0,

a(la~Ji

所以a=-9或a=l,

当。=1时，~=~7^3=1，不满足条件.

a(2a-3)2

则aw1,即a=—9,

则“a=-9”是的充要条件,

故选：C

2.（2022春.浙江杭州.高二浙江大学附属中学校考期中）若直线小2松-尹1=。与

4：（加一l）x+，wy+2=0互相垂直，则实数加=（）

733

A.jB.-C.-1或0D.7或0

【答案】D

【分析】根据直线一般式方程下两直线垂直的充要条件列方程，即可得实数加的值.

【详解】解：若直线4：2〃优一，+1=。与/2：（加一1）彳+切+2=。互相垂直，

则2〃7（相-1）+（—1）=0,即2m2-3m=0,解得加=5或〃7=0.

故选：D.

题型三直线的距离问题

【典例分析】

典例3-1.（2022.四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考二模）在平面直角坐标系xQy

中，点P在曲线y=x+1（x>0）上，贝IJ点尸至IJ直线3%—4>-2=0的距离的最小值为（）

A.-B.1C.yD.y

【答案】C

【分析】将问题转化为计算曲线上的点到直线的最短距离，由导数的几何意义求得

即可.

【详解】设直线3x-4y+〃?=0与曲线y=〃司=尤+：相切于点4（天,%）,

所以r（x）=l一二，则1-3=],因为%>。解得%=2,即则%=2+；=。

xxo422

故曲线V…g与直线31y-2=。的最短距离为点尸（2,到直线31y-2=。

的距离,

3x2-4x--2

所以d.=26

mtn5

故选：C

典例3-2.（2022春・山西运城.高二山西省运城中学校校联考期中）若点4（-1,5）和点

矶3,1）到直线/：办+丫+1=0的距离相等，则。=（）

A.-1B.1