2024年中考数学训练-对角互补模型综合应用（知识解读）

对角互补模型综合应用（知识解读）

【专驳说跚】

共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90。的对角互补，

含120。的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常

用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.

【方放技巧】

类型一：含90°的对角互补模型

（1）如图，NAOB=NDCE=90°,OC平分/AOB,则有以下结论:

（2）如图，/AOB=NDCE=90°,OC平分NAOB,当NDCE的一边与AO的延长线交于点D

时，则有以下结论：

③SaOCEOCP=5

S4。。~

类型二：含120°的对角互补模型

(1)如图，ZAOB=2ZDCE=120°,0C平分/AOB,则有以下结论:

②OD+OE=OC.

③s„+seq

4

(2)如图，ZAOB=ZDCE=90°,0C平分NAOB,当NDCE的一边与A0的延长线交于点D

时，则有以下结论：

.QCD=-

③A(A.X"SA(TvI*20C~

【真例今折】

【类型一：含90°的对角互补模型】

【典例1](1)如图1,在四边形ABCQ中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边

BC、CD上的点，且线段EF、BE、FD之间的关系是；

2

(不需要证明)

(2)如图2,在四边形A8CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、/分别是边8C、CD

上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成

2

立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是边BC、CD

延长线上的点，且/切尸=」/氏4£),(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若

2

不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

【变式1-1]如图，在△A8C中，AB=AC,N54C=90°,直角/EPF的顶点P是8c的

中点，两边PE、尸尸分别交AB、AC于点E、F,连接跖交A尸于点G,以下五个结论：

①NB=NC=45°；②AP=EF；③NAFP和NAEP互补；④△■£/不是等腰直角三角形；

⑤四边形AEP尸的面积是△ABC面积的反，其中正确的结论是()

4

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【变式1-2](1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=l00°,ZB=ZADC=

90°.E,尸分别是BC,CD上的点.且NEA尸=50°.探究图中线段EF,BE,F£)之间

的数量关系.

小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△A2E四△AOG,

再证明斯0ZVIGR可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；

(2)如图2,若在四边形A8CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E,F分别是8C,CD

上的点，且上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请

说明理由；

(3)如图3,四边形ABCD是边长为7的正方形，/EBF=45：直接写出△£>£1〃的周

长.

【变式1-3](1)如图①，在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E,尸分别是

边BC,C。上的点，且请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关

2

系：；

(2)如图②，在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+Z£>=180°,E,尸分别是边BC,CD

上的点，且/切尸=a/54。，(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

2

(3)在四边形A3CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是边BC,CD所在直

线上的点，且请直接写出线段ERBE,FD之间的数量关系：.

2

【变式1-4】问题探究：如图1,在AABC中，点。是8c的中点，DELDF,DE交AB于

点、E,交AC于点R连接EF.

①BE、CB与E尸之间的关系为：BE+CFEF；(填“>”、“=”或“<”)

②若NA=90°,探索线段BE、CF、EP之间的等量关系，并加以证明.

问题解决：如图2,在四边形ABZJC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZB£>C=130°,

以。为顶点作/瓦加=65°,/即尸的两边分别交A3、AC于£、尸两点，连接ER探

索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.

A

【类型二：含120°的对角互补模型】

【典例2】问题背景：如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,NA4O=120°,/B=/ADC

=90°,E,尸分别是BC,CD上的点，且NEAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD

之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长9到点G.使连接

AG,先证明△ABEg△4DG,再证明△AEF也凡可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：如图2,若在四边形ABC。中，AB=A。，ZB+ZD=180°,E,尸分别是8C,

CD上的点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由；

2

实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，

舰艇乙在指挥中心南偏东70°的8处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指

令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90

海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,尸处，且

两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

G

图1图2图3

【变式2-1］如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以点。

为顶点作一个60°角，使其两边分别交于点交AC于点N,连结则

的周长是

【变式2-2】【问题背景】

如图1：在四边形中，AB^AD,ZBA£>=120°,NB=NADC=90°,E、F分

另ij是8C、CQ上的点，且NEAF=60°,试探究图中线段BE、EF、FO之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长式£>到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE

^AADG,再证明△?!£1/会△AGF,可得出结论，他的结论应是.

【探索延伸】如图2,若在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是

BC,CD上的点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由.

2

【学以致用】

如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形，/EBF=45°,直接写出△。跖的周长

对角互补模型综合应用（知识解读）

【专毁饯明】

共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90。的对角互补，

含120。的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常

用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.

【方放技巧】

类型一：含90°的对角互补模型

（1）如图，NAOB=NDCE=90°,0C平分NAOB,则有以下结论:

③S.OC"+S,0r产1。。2

（2）如图，NAOB=NDCE=90°,0C平分/AOB,当NDCE的一边与A0的延长线交于点D

时，则有以下结论：

③S*OC£SAOCD=5℃~

类型二：含120。的对角互补模型

（1）如图，ZAOB=2ZDCE=120°,0C平分/AOB,则有以下结论:

作法1作法2

@OD+OE-OC.

.

=

③S+S40c有

(2)如图，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分/AOB,当/DCE的一边与AO的延长线交于点D

时，则有以下结论:

③KOCE~S太〃=—0C~

【典例今析】

【类型一：含90°的对角互补模型】

【典例1】(1)如图1,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB=ZD=90°,E、尸分别是边

BC、CD上的点，且/胡尸=1/54。，线段£尸、BE、FD之间的关系是；

2

(不需要证明)

(2)如图2,在四边形A8CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、/分别是边8C、CD

上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成

2

立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是边8C、CD

延长线上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若

2

不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

【解答】解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如图1,延长C2至G,使BG=DF,连接AG,

在△ABG和△AOF中，

rAB=AD

-ZABG=ZD=90°>

BG=DF

：.AABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

'：ZEAF=XzBAD,

2

ZDAF+ZBAE=ZEAF,

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBAE=ZEAF,

在△G4E和中，

'AG=AF

<ZGAE=ZFAE)

AE=AE

.,.△GAE^AM£(SAS),

:.EF=EG,

"：EG=BG+BE=BE+DF,

：.EF=BE+FD,

故答案为：EF=BE+FD-,

(2)(1)中的结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长CB至使BM=DF,连接AM,

VZABC+ZZ>=180°,ZABC+Z1=180°,

：.Z1=ZD,

在△ABM和△A。/中，

/.AABM^AADF(SAS),

：.AM=AF,Z3=Z2,

"?ZEAF=^ZBAD,

2

.*.Z3+Z4=Z£AF,

ZEAM=Z3+Z4=Z2+Z4=ZEAF,

在△M4E和△ME中，

，AM=AF

，ZMAE=ZFAE>

AE=AE

/\MAE^/\FAE(SAS),

：.EF=EM,

EM=BM+BE=BE+DF,

:.EF=BE+FD；

(3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如图3,在仍上截取8"=。尸，连接AH,

同(2)中证法可得，0△ADR

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：.ZHAE=ZFAE,

在△HAE和△物E中，

'AH=AF

-ZHAE=ZFAE>

AE=AE

/.(SAS),

：.EF=EH,

•:EH=BE-BH=BE-DF,

E

图1图3

【变式1-1］如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角/EPE的顶点P是BC的

中点，两边尸£、尸尸分别交A3、AC于点E、F,连接EE交AP于点G,以下五个结论：

①/B=NC=45°；②AP=EF；③NAEP和/AEP互补；④△£2尸是等腰直角三角形；

⑤四边形A"尸的面积是△ABC面积的旦，其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【答案】D

【解答】解：：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZC=45°,

故①正确；

•.,点尸为BC的中点，ZBAC=90°,AB=AC,

：.AP=CP,ZAPC=90°,ZBAP=ZC=45°,

'：ZEPF=ZAPC,

：.ZAPE=ZFPC,

在和△CED中，

，ZEAP=ZC

-AP=PC，

ZAPE=ZCPF

.♦.△AEP咨ACFP(ASA),

：.PE=PF,

乙EPF是等腰直角三角形，

四边形AEPF的面积为SMEP+S^AFP—SACPF+SMPF—SAAPC——SAABC,

2

故④正确，⑤不正确；

；/R4C=/EPF=90°,

/AFP和/AEP互补，

故③正确；

不是定长，故②不正确.

..•正确的有：①③④，

故选：D.

【变式1-2](1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=IOO°,ZB=ZADC=

90°.E,尸分别是BC,CD上的点.且NEAP=50°.探究图中线段ERBE,即之间

的数量关系.

小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE四△AOG,

再证明△AEFgZXAGF,可得出结论，他的结论是EF=BE+DF(直接写结论，不需

证明)；

(2)如图2,若在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分别是BC,CD

上的点，且2/胡尸=N54。，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请

说明理由；

(3)如图3,四边形ABCZ)是边长为7的正方形，NEBF=45°,直接写出△。所的周

长.

【解答】证明：(1)延长尸。到点G.使DG=2E.连接AG,

在△ABE和△AOG中,

AAABE^AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

\"ZBAD=W0°,ZEAF=50°,

ZBAE+ZFAD=NZMG+NEW=50°,

：.ZEAF=ZFAG=50°,

在和AGA产中，

AE=AG

ZEAF=ZGAF-

AF=AF

.•.△EAF^AGAF(SAS),

：.EF=FG=DF+DG,

：.EF=BE+DF,

故答案为：EF^BE+DF；

(2)结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长到G,使BG=DF,连接AG.

VZABC+ZD=180°,ZABG+ZABC=180°,

：.ZABG=ZD,

:在△ABG与△A。尸中，

rAB=AD

<ZABG=ZD>

BG=DF

AAABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

；2/EAF=/BAD,

：.ZDAF+ZBAE=NBAG+/BAE=工/BAD=ZEAF,

2

：.ZGAE=ZEAF,

又AE=AE,

：.^AEG^^AEF(SAS),

；.EG=EF.

;EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD；

(3)如图，延长E4到H,使AH=CF,连接BH,

：.AB=BC=7=AD=CD,ZBAD=ZBCD=90°,

：.ZBAH=ZBCF=90°,

又•：AH=CF,AB=BC,

•・•△ABH咨LCBF(SAS),

：・BH=BF,/ABH=/CBF,

•：/EBF=45°,

：.ZCBF+ZABE=45°=NHBA+/ABE=NEBF,

：./EBH=/EBF,

又•：BH=BF,BE=BE,

:.AEBHmAEBF(SAS),

:・EF=EH,

；・EF=EH=AE+CF,

：.ADEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.

【变式1-3](1)如图①，在四边形ABC。中，ZB=ZD=90°,E,歹分别是

边BC,CO上的点，且NEAb=』NBAD请直接写出线段ERBE,尸。之间的数量关

2

系：;

(2)如图②，在四边形A3CD中，AB=ADfZB+ZZ)=180°,E,b分别是边3C,CD

上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

2

(3)在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+Z£>=180°,E,尸分别是边BC,CD所在直

线上的点，且请直接写出线段所，BE,FD之间的数量关系：.

2

:在与△&£)/中,

AAABG^AADF(SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

：.Z\+Z3=Z2+Z3=1.ZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易证△AEG安△AEK

：.EG=EF.

'：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的结论E/=2E+FD仍然成立.

理由是：如图2,延长匹到G,使BG=OE连接AG.

VZABC+Z£>=180°,ZABG+ZABC=1SQ°,

：.ZABG=ZD,

:在与△&£)尸中，

fAB=AD

<ZABG=ZD>

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.AG^AF,N1=N2,

.\Z1+Z3=Z2+Z3=AZBAD=ZEAF.

2

:./GAE=/EAF.

又AE=AE,

，AAEG^AAEF.

：.EG=EF.

•；EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(3)当(1)结论EF=BE+FD成立，

当图三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

证明：在BE上截取8G,使3G=。/，连接AG.

'：ZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=180°,

・•・/B=ZADF.

'：在4ABG与△AZ)尸中,

/./\ABG^/\ADF(SAS).

AZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=/DAF+NEAD=/EAF=Z/BAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

*：AE=AE,

：.AAEG^AAEF(SAS).

：.EG=EF

'：EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

同理可得：：.EG=EF

'：EG=BG-BE

：.EF=FD-BE.

故答案为：(1)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BEFD或EF

FD-BE.

图1

【变式1-4】问题探究：如图1,在△ABC中，点。是8c的中点，DELDF,DE交AB于

点、E,DF交AC于点F,连接

①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CFEF；（填“>”、"=”或“<”）

②若NA=90°,探索线段BE、CF、斯之间的等量关系，并加以证明.

问题解决：如图2,在四边形A8OC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=13Q°,

以。为顶点作/即P=65°,/即尸的两边分别交A3、AC于£、尸两点，连接EE探

索线段BE、CF、Eb之间的数量关系，并加以证明.

【解答】解：（1）如图1中，延长皮）到"，使得DH=DE,连接CH,FH.

,:BD=CD,ZBDE=ZCDH,DE=DH,

:.ABDEmACDH(SAS),

：.BE=CH,

,:DE=DH,FD1.EH,

：.FE=FH,

在△PCH■中，CH+CF>FH,

：.BE+CF>EF.

故答案为〉.

(2)结论：EF2=BE1+CF2.

理由：如图2中，延长E0到H,使得连接CH,FH.

■:BD=CD,NBDE=/CDH,DE=DH,

:,ABDE咨ACDH(SAS),

；.BE=CH,/B=NDCH,

■;DE=DH,FD2EH,

:・FE=FH,

VZA=90°,

AZB+ZACB=90°,

AZACB+ZDCH=90°,

：.ZFCH=90°,

AF//2=CH2+CF2,

：.EF1=BE1+CF2.

(3)如图3中，结论：EF=BE+CF.

理由：・；DB=DC,ZB+ZACZ)=180°,

・•・可以将△OBE绕点。顺时针旋转得到△OCH,A,C,H共线.

VZBZ)C=130°,NE。尸=65°,

ZCDH+ZCDF=NBDE+ZCDF=65°,

：.ZFDE=ZFDH,

,:DF=DF,DE=DH,

：./\FDE^/\FDH(SAS),

：.EF=FH,

'：FH=CF+CH=CF+BE,

:.EF=BE+CF.

【类型二：含120。的对角互补模型】

【典例2】问题背景：如图1,在四边形48。中，AB=AD,NA4O=120°,/B=/ADC

=90°,E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD

之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接

AG,先证明△ABEg△AOG,再证明△AEFgA4G凡可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：如图2,若在四边形ABC。中，AB，ZB+ZD=180°,E,尸分别是BC,

CD上的点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由；

2

实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(。处)北偏西30°的A处，

舰艇乙在指挥中心南偏东70°的8处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指

令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90

海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,尸处，且

两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

G

图1图2图3

【解答】解：问题背景：由题意：△ABE四△ADG,/\AEF^/\AGF,

：.BE=DG,EF=GF,

：.EF=FG=DF+DG=BE+FD.

故答案为：EF=BE+FD.

探索延伸：EF=BE+FD仍然成立.

理由：如图2,延长ED到点G,DG=BE,连接AG

'：ZB+ZADC=180°,ZADG+ZADC=180°,

：.ZB^ZADG,

5L"：AB=AD,

在△ABE和△ADG中，

，AB=AD

-NB=NADG，

BE=DG

/.AABE^AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

又：/胡尸二工/胡。，

2

/E4G=ZFAD+ZDAG^ZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF,

=ZBAD-XZBAD=1ZBAD,

22

：.ZEAF=ZGAF.

在AAE尸和△AGF中，

'AE=AG

<ZEAF=ZGAF>

AF=AF

AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

又,JFG=DG+DF=BE+DF,

；.EF=BE+FD.

实际应用：如图3,连接ER延长AE,2厂相交于点C,

在四边形AOBC中，

：/AOB=30°+90°+20°=140°,ZFOE=70a=^ZAOB,

2

又：O4=02,ZOAC+ZOBC=6Q°+120°=180°,符合探索延伸中的条件,

结论EF=AE+FB成立.

即，EF=AE+FB=2X(70+90)=320(海里)

答：此时两舰艇之间的距离为320海里.

图2

【变式2-1］如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD=CD,ZBZ)C=120°,以点。

为顶点作一个60°角，使其两边分别交A8于点交AC于点N,连结MN,则△AMN

的周长是.

【解答】解：•••△2OC是等腰三角形，且/BOC=120°,

：.ZBCD=ZDBC=30°,

AABC是边长为4的等边三角形，

ZABC=ZBAC=ZBCA^60°,

：.ZDBA^ZDCA^90°,

延长AB至尸，使BF=CN,连接DR

在△BDF和ACND中，

：.ABDF沿丛CND(SAS),

：.ZBDF=ZCDN,DF=DN,

VZMDN=60°,

：.ZBDM+ZCDN=60°,

ZBDM+ZBDF=60°,

在和△£)河/中，

：.ADMN”ADMF(SAS),