2024年九年级中考数学复习：圆的切线证明

2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明

1.如图，在..ABC中，AB=AC,于点Z),E是AC上一点，以3E为直径的

O交BC于点、F,连接DE,DO,且NDO3=90。.

⑴求证：AC是：。的切线；

(2)若。尸=1,DC=3,求BE的长.

2.如图，在：。中，3c为非直径弦，点、D是BC的中点，CD是.ABC的角平分线.

⑵求证：AC是；。的切线；

(3)若3D=1,BC=石时，求弦3D与80围城的弓形面积・

3.如图，点C为以AB为直径的半圆。上一点，连接AC、BC,并延长AC到点G,使

得/CBG=/A,半径ODLAC交AC于点E,连接8。交AC于点尸.

(1)求证：8G是：。的切线；

(2)若AB=6,B.AC=BD,求8尸的长度.

4.如图，已知等腰一ABC,他=AC,以A3为直径作。交5c于点D,过。作DP工AC

于点E,交54延长线于点足

⑴求证：£)b是：。的切线；

⑵若CE=6，CD=2,求：。的半径.

5.已知：如图，直线/与。相离，。尸，/于点P,交。于点A,点3是।。上一点,

连接54并延长，交直线/于点C,且尸3=PC.

CP

⑴求证：PB是，。的切线；

⑵若AC=2行，0P=5,求O的半径.

6.如图，点。是，ABC的边AC上一点，以点。为圆心，为半径作C。，与3c相

切于点E,连接08,0E,。交0B于点D,连接AD并延长交C3的延长线于点尸，

ZAOD=ZEOD.

⑴求证：A3是的切线；

⑵若3c=10,AC=8,求：。的半径.

7.如图，A3是Q的直径，AC是O的弦.

r

⑴尺规作图：过点C作,O的切线，交AB的延长线于点D（保留作图痕迹，不写作法）;

(2)若3D=O3=2,求AC的长.

8.如图，丫48。的顶点481在。上，AC为对角线，DC的延长线交(。于点E,

连接OC,OE,AE.

(2)若AD是O的切线，OC=6,ZD=40°,求CE的长.

9.如图，Rt^ABC中，ZC=90°,点E为AB上一点，以AE为直径的。上一点。

在3C上，且AD平分NA4C.

(1)证明：BC是：。的切线；

(2)若BD=4,BE=2,求A3的长.

10.如图，己知。的弦等于半径,连接。4、。3,并延长OB到点C,使得BC=OB,

连接AC,过点A作于点E,延长AE交I。于点。.

⑴求证：AC是：。的切线;

(2)若BC=6,求A。的长.

11.如图，线段AB经过。的圆心。.交(。于A,C两点，AD为O的弦，连接即,

ZA=ZABD=3O°,连接。。并延长交O于点E,连接BE交。于点尸.

(1)求证：BD是:。的切线;

⑵若3c=1,求防的长.

12.如图，AB为，。的直径，C为。上一点，CD1BD,ZABC=ZCBD.

⑴求证：co为的切线.

(2)当8D=1,AB=4时，求。的长.

13.如图，已知43是。的直径，3CLAS于B,E是Q4上的一点，ED//BC交0。

于。，OC//AD,连接AC交瓦＞于尸.

A

⑴求证：co是：。的切线；

⑵若AB=8,AE=1,求ED、EF的长.

14.如图，48是（。的直径，AC,3C是弦，点。在45的延长线上，且ZDCB=ZZMC,

O的切线AE与DC的延长线交于点E.

⑴求证：8是：。的切线；

⑵若。的半径为2,ZD=30°,求AE的长.

15.如图，已知A3是：O的直径，点P在54的延长线上,弦BC平分NPBD,J.BD±PD

(2)若AB=8cm,BD=6cm,求弧AC的长.

16.如图，AB为。的直径，CO_LAB于。，。在上，连接3£>,CD,延长8与

AB的延长线交于E,F在BE上,且FD=fE.

⑴求证：FD是:。的切线;

(2)若AP=6,tanZBDF=—,求E77的长.

4

17.如图，42为1的直径，点C是圆上一点，/ABC的平分线交C。于点E，过点

E作即，BC交3C的延长线于点。.

⑴求证：DE为:O切线;

⑵若AB=10,BC=6,求DE的长.

18.如图，。是ABC的外接圆，点。在2C延长线上，且满足NC4D=N3.

⑴求证：A。是：。的切线;

3

⑵若AC是4AD的平分线，sinB=-,BC=4,求二。的半径.

参考答案：

1.

【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、等

腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

(1)由AB=AC,4013。于点。，得BD=DC,而BO=OE,根据三角形的中位线定理得

OD//EC,则NCEB=NOO3=90。，即可证明AC是)0的切线；

(2)连接£F,由。尸=1得至Ij3尸=&)+£＞尸=3+1=4,由。。垂直平分3E,

得比＞=。£=3,由BE是:。的直径，得NBFE=90。，则所={DE?-DF?=,3?-F=20，

BE=y/BF2+EF2=&+(2⑸=2#.

【详解】(1)证明：'：AB=AC,ADIBC,

：.BD=DC,

又:,BO=OE,

：.OD//EC.

：.ZCEB=ZDOB=90°,即BE_LAC.

又,:OE是：。的半径，

•••AC是。的切线.

(2)连接EF,

*.*BD=DC=3,DF=1,

BF=BD+DF=3+1=4.

VBO=OE,ZDOB=90。,即OO垂直平分BE,

・•・BD=DE=3.

又：BE是i)。的直径，

NBFE=90。.

RtADEF中，EF=yjDE2-DF2=招―F=20

口△3£F中，BE=<BF。+EF°=JA2+(20)。=2底

BD7F

2.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3、2兀-3址)

12~

【分析】此题考查了解直角三角形、切线的判定以及扇形的面积.注意掌握辅助线的作法，.

(1)点。是8C的中点，可以得到8D=CZ)，即可得到/O3C="CB,再根据角平分

线的定义得到28=48,进而得到结论；

(2)连接OC、OD、OB,则可得到81.BC,然后根据等边对等角可以得到

NOCD+/ACD=90°,即可得到结论

⑶先求出ZODB=60°,继而利用S阴影部分=S扇形.一SOBD求得答案.

【详解】(1)解：如图，：点。是8c的中点，

：•BD=CD，

：.NDBC=NDCB,

又•:C。是.ABC的角平分线，

:.NACD=/BCD,

：.ZACD=ZABC-,

(2)证明：如图，连接OC、OD、OB,

:点。是8C的中点，

OD1BC,

：.NODC+NBCD=90。,

,：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

又•:/ACD=/BCD,

，/OCD+ZACD=90°,

即OC1AC,

：OC是，。的半径,

，AC是，。的切线;

（3）解：由（2）可知，OD工BC,

在Rt3DE中，BD=1,BE=-BC=—,

22

.../enoBEG

・sin/ODB==——,

BD2

：.ZODB^60°,

•：OB=OD,

・•・05。是等边三角形,

：.ZBOD=6G°,OB=BD=1,

._60TTX1216_2I—

"

**3阴影部分=3扇形OBO_3OBD=一记°5乂1*”=%__彳=^2

3.（1）见解析

（2）26

【分析】（1）根据A3为半圆。的直径，得出/。步+/。胡=90。，根据已知条件可得

ZCBG+ZABC=90°,即可得证；

（2）根据垂径定理得A£）=CJD,进而根据己知可得BO=AC，得出AO=CJ9=8C，根据

ZCAB+Z.CBA=90°得出ZZMC=Z.CAB=ZABD=30°,进而得出一BFG是等边三角形，勾

股定理求得BG,根据等边三角形的性质，即可求解.

【详解】（1）证明：为半圆。的直径，

ZACB=90°,ZCAB+ZCBA=90°,

NCBG=ZA,

・•・/CBG+ZABC=90°,即ZABG=90°,

・•・AB^BG,

；・BG是。的切线；

(2)解：如图所示，连接AO,

VOD1AC,

•*-AD=CD，

,:BD=AC,

•**BD=AC，

**-AD=BC^

•*-AD=CD=BC、

•・,A5为半圆。的直径，

・•・ZC4B+ZCBA=90°,

・•・ZDAC=ZCAB=ZABD=30°,

：.ZGBF=ZG=6O°,GB=-AG,

2

•e•班G是等边三角形，AB=VAG2-BG2=V3BG

BF=BG=^AB=273.

【点睛】本题考查了切线的判定，弧与弦的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等

边三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.⑴证明

⑵空

3

【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用，掌握切线问题中的辅

助线的作法是解题的关键.

(1)连接0D,证明N0D3=NC,推出AC〃OD,即可证明结论成立；

(2)连接A。，在RtCED中，求得利用三角形函数的定义求得NC=30。，ZAOD=60°,

在Rt.AZ由中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可.

:.NB=NC,

又：OB=OD,

:.NB=NODB,

:.ZODB=ZC,

:.AC//OD,

DFLAC,

:.ODLDF,

:.DF是。的切线;

CE=®CD=2,

ED-=CD--CE2=22-(A/3)2=1,

▽“CE也

乂cosZC=----=——，

CD2

.*.ZC=30°,

/.ZB=30°,

:.AAOD=60°,

的是一。的直径.

.\ZADB=9Q°,

AD=-AB=r,

2

,:AB=AC,

：.CD=BD=2,

又AD2^BD2=AB2^

r2+22=(2r)2,

.•/=2叵(负值已舍).

3

5.(1)证明见解析

(2)3

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练的证明圆的

切线是解本题的关键；

（1）连接证明=NOAB=NOBA,再证明NPBC+NOSA=90。即可；

（2）设O的半径为r,PC2=AC2-AP2=（2A/5）2-（5-r）2,PB2=OP2-OB2=52-r2,

再利用P3=PC建立方程求解即可.

【详解】（1）解：连接。8,

•:PB=PC,OA=OB,

：.ZPCB=ZPBC,Z.OAB=AOBA,

'：OPVI,ZOAB^ZPAC,

：.NBCP+ZC4P=90°=NBCP+ZOAB,

ZPBC+ZOBA=90°,

：.ZOBP=90°,

：.OBYPB,

:•PB是。的切线；

(2)设O的半径为r,OP=5,则AP=5-r,

VOP11,AC=2y/5,

：.PC2=AC2-AP2=(2V5)2-(5-r)2,

VPC=PB,BPLOB,

而PB-=OP2-OB2=52-r2,

25-r2=20-(5-r)2,

解得：r=3,

O的半径为3.

【点睛】

6.(1)见解析

(2)3

【分析】本题主要考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识.

(1)根据SAS证，AC®刍EO3,得出/MB=/O£B=90。，即可得出结论；

(2)设圆。的半径为r，则。E=OA=r,求得OC=8-r,根据AOB^EOB得BE=AB=6,

求得CE=4,在RtOCE中运用勾股定理列式求出r的值即可.

【详解】(1)证明：在和EOB中，

AO=EO

<ZAOB=NEOB,

OB=OB

：._AOBEOB(SAS),

：.ZOAF=Z.OEF,

•・•BC与。相切，

：.OE.LBCf

：.NOAB=NOEB=900,

即OA_LA厂,

是，。的半径，

...AB是。的切线；

（2）解：在RtZkCAB中，ZCAB=90°,BC=10,AC=8,

AB=ylBC2-AC2=7102-82=6，

设圆。的半径为r，则OE=OA=r,

/.OC=8-r,

•：AOB乌EOB,

：.BE=AB=6

•：BC=10,

：.CE=BC-BE=10-6=4,

在RtOCE中，OE?+CE2=OC?

：,r2+42=（8-r）2,

解得r=3.

，）0的半径为3.

7.⑴作图见解析

⑵T

【分析】本题考查了作图，复杂作图，切线的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，

熟练掌握切线的性质，弧长公式是解答本题的关键.

（1）根据题意，连接OC,作OC_LC£>,交AB的延长线于点。，由此得到答案.

（2）根据题意，得到△03C是等边三角形，求出NAOC=120。，再利用弧长公式，得到答

案.

【详解】（1）解：如图所示，CO即为所求.

(2)如图所示，连接5C,

根据题意，

8是切线，0C是半径,

OC1CD,

ZOCD=90°,

BD=OB=2,

OB-BD=BC,

「•△O5C是等边三角形,

,ZBOC=60°f

ZAOC=120°,

又半径OC=2,

,,I,,rmr2x120兀_4兀

FC的长/=函

180-

8.(1)见解析

（2）6A/3

【分析】⑴根据平行四边形的性质得出/B=ND,AD=BC,根据圆周角定理得出

ZB=ZAEC,根据等腰三角形的判定得出AE=AD,求出结论即可；

(2)连接OA,过点。作于点尸，证明。4LAD,根据垂径定理得出汽g=冷^，

得出NAEC=ZB="=40。，求出NdEnNZME-NG4D=60。，得出

ZCOE=2ZCAE=120°,求出/OCE=30。，根据三角函数求出

CE=2CF=2OC-cos30°=6』.

【详解】(1)证明：在YABCD中，NB=ND,AD=BC,

AC=AC'

ZB=ZAEC,

：.ZAEC=ZD,

.\AE=AD,

：.AE=BC.

(2)解：连接Q4,过点。作。尸ICE于点尸，如图所示:

A£)是。的切线，

:.OA1AD,

:.OA.LBC9

AB=AC^

ZAEC=ZB=ZD=40°f

.\ZACB=ZB=40°,

在YABCQ中，AD//BC,

:.ZDAC=ZACB=40°,

又、ZDAE=180°-ZD-ZAEC=100°,

:.ZCAE=ZDAE-ZCAD=60°,

ZCOE=2ZCAE=120°,

OC=OE,

.•.NOC石=30。，

OFLCE,

二.CE=2CF=2OCcos30°=6石.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，垂

径定理，等腰三角形的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

9.(1)证明详见解析；

(2)8.

【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是

解题的关键.

(1)连接根据平行线判定推出OD〃AC,推出根据切线的判定推出即

可；

(2)根据勾股定理求出8=Q4=OE=3,再根据线段的和差求解即可.

【详解】(1)证明：连接。。，

OA=OD,

・•・ZOAD=ZODAf

•・・平分/B4C,

・•・ZBAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCADf

：.OD//AC,

zc+zor>c=i80°,

ZC=90°,

・•・ZODC=90°f

：.OD±BC,

•・・。。为半径，

；.BC是。的切线；

(2)解：设OD=OE=r,

在中，BD=4,BE=2,

OB=r+2,

由勾股定理，得：r2+42=(r+2)2,

解得：r=3,

OD=OA=OE=3,

AB=6+2=8.

10.(1)证明见解析；

(2)65/3.

【分析】(1)先证明“也是等边三角形，再由性质得出==朋=60。，再

由3C=AB和角度和差即可求解；

(2)先根据等边三角形性质求出OE=goA=3,再根据勾股定理求得AE=3^,最后由

垂径定理即可求解；

此题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟练掌握以上知

识点的应用.

【详解】(1)证明：:至二8二。，

一。钻是等边三角形，

Z.ZAOB=ZOAB=ZOBA=60°,

BC=OB,

：.BC=AB,

：.ABAC=ZBCA=-NOBA=30°,

2

ZOAC=ZOAB+ZBAC=90°,

又为(。的半径，

；.AC是「。的切线；

(2)解:---BC=6,

AB=OA=OB=6,

・・・于点E,

・•・ZOAE=30°,

：.OE=-OA=3,

2

AE=y/OA'-OE2=3A/3，

AE±OB,

：.AD=2AE=6y/3.

IL(1)见解析

(2)8尸=」^

7

【分析】(1)证明NOD3=90。，再根据切线的判定即可得出结论；

(2)解直角三角形求出。。，根据勾股定理求出连接DF,根据相似三角形的判定得

出△BFDsABDE,得出比例式，再代入求出即可.

【详解】(1)证明：ZBAD^ZABD=30°,

:.ZDOB=2ZBAD=60°,

ZODB=180°-30°-60°=90°,

即OD_L3。，

OD是。的半径，

直线8。是，。的切线；

(2)解：设0£>=0C=r,

在RtZkBDO中，sin30°=—=—,

OBr+1

解得：r=1,

即OD=1,OB=OC+BC=1+1=2,

由勾股定理得：BD=4-f=6,

.'.BE=j22+(^)2=V7，

连接。尸，

DE是,:。的直径，

.-.ZDFE=90°,

5PZDFB^ZBDE=90°,

ZDBF=NDBE,

:.Z\BFDs/\RDE,

BFBD

BF_y[3

:飞=工'

解得：BF=9.

7

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理

等知识点，作出辅助线构造出相似三角形是解题关键.

12.⑴见详解

⑵6

【分析】（1）连接0C,由Z.OCB=ZABC,ZABC=ZCBD,得ZOCB=ZCBD,则OC//BD,

所以/。。£>=180。一/。=90。，即可证明。为O的切线；

（2）由A3为I的直径，得NACB=90。，则NACB=N3,ZABC=ZCBD,所以

ADZ^D______________

△ABCs/\CBD,贝！）"=/，可求得CB=，由勾股定理得CD=JCB?・

CnDD

【详解】（1）证明：连接OC,则OC=QB,

:.NOCB=ZABC,

ZABC=/CBD,

:.ZOCB=ZCBDf

:.OC//BD,

CDLBD,

「.N。=90。，

/.ZOCD=180。—ND=90°,

OC是o的半径，且CDLOC,

:.CD为。的切线.

(2)解：AB为的直径，

ZACB=90°,

:.ZACB=ZD,

ZABC=NCBD,

ABC—CBD,

.ABCB

'~CB~~BD"

QBD=1,AB=4

:.CB=dBDAB=y/i^=2,

.\CD=ylcB2-BD2=A/22-12，

二.CD的长是g.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、

相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明/OCB=/CBD及是解题

的关键.

13.(1)证明见详解

【分析】(1)连接。。，由OC〃AO可以推出NOOC=3OC,从而证明△ODC会/XOB。即

可；

(2)作交5C于点根据勾股定理求出的长，然后再根据平行得到

△A£FS2\AB。即可求解.

【详解】(1)证明：连接。。，如图所示：

AD//OC,

:.ZADO=ZDOC,ZDAO=/BOC,

OA=OD,

.\ZADO=ZDAO,

:.ZDOC=ZBOC,

OD=OB,OC=OC,

■.AODC^AOBC,

.NOBC=NODC,

BC1AB,

.ZOBC=ZODC=90°,

如为经过圆心的半径，

.CD是,。的切线；

(2)如图所示：作功交8C于点M,

AB=8,AE=1,

;.OA=OB=OD=-AB=4,OE=OA-AE=3,

2

DE=BM=y]OD2-OE2=41>

令CM=x,CB=CD=x+近,BE=DM=7,

在RtADMC,CM2+DM2=CD2,

(X+A/7)2=72+X2,

解得：尤=3A/7,

BC=4近，

DE//BC

:.AADE^AABC,

,EFAE1EF

"AB-8-4V7,

._A/7

..EPFF-----•

2

【点睛】本题考查了圆的切线证明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知识，综

合性较强，熟练掌握几何基础知识并联系各知识体系并正确的作出辅助线是解题的关键.

14.⑴见解析

Q)AE=2C

【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定

是解题的关键；

(1)连接OC,根据。4=OC,和/。C8=/£)AC,得出NDC8=/OC4.再根据圆周角

定理得出，ZOCA+ZOCB^90°,即可得出/OCB+/OCB=90。，从而证明CO是。的

切线.

(2)在RtzXOCD中，得出OD=4,从而解得AD=AO+8=6,再根据AE■是［O的切线，

得出在Rt_E4D中，运用解直角三角形即可解答；

【详解】(1)证明：连接。C.

OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA.

又：NDCB=NDAC,

：.ZDCB=ZOCA.

,/AB是。的直径，

/.ZOCA+ZOCB=90°.

：.ZDCB+ZOCB=90°.

即ZOCD=90°.

又：OC是半径，CO经过。的半径外端C.

8是。的切线.

(2)解：在RtZkOCD中，

•：ZOCD=90°,ZD=30°,OC=2,

：.OD=4.

AD=AO+OD=6.

TAE是。的切线，切点为A,

：.OA±AE.

在RtE4D中，

•：ZEAD=90°,/。=30。，AD=6,

•*.AE=AOtan30°=6x3=2技

3

15.(1)见解析

4

⑵丁

【分析】本题考查圆与三角形的综合问题，掌握与圆有关的性质，正确作出辅助线是关键.

(1)连接0C,根据条件证明OC〃3D,即可证明；

(2)根据.尸COsPDB可得上4,利用余弦值可求出NCOP,通过弧长公式求解即可.

【详解】(1)证明：连接OC,如图，

ZOCB=ZOBC,

•.•弦8C平分NPBD,

ZDBC=NOBC,

：.ZOCB^ZDBC.

：.OC//BD,

"：BD±PD,

：.OCA.PD.

0c为、O的半径,

・•・PD是。的切线;

(2)解：连接OC,如图,

由(1)知：OC//BD,

:・PCOS.PDB,

,PCPO

••50一访，

*.*AB=8cm,BD=6cm,

/.OC=-AB=4cm,

2

.4_PA+4

•%―PA+8，

PA=4,

：.PO=PA+OA=8,

在Rt_OC尸中，

•cos4cop—----——,

OP2

，ZCOP=60°,

.，一弘i/60乃x447r

...3弧nTAC的长=I”=丁.

lot)3

16.(1)证明见解析；

3

(2)£F=-.

【分析】⑴连结。£>,由COLAB得4+NC=90。，根据等腰三角形的性质由小=网),

OD=OC得至1]ZE=NFDE,ZC=ZODC,于是有NFDE+/ODC=90。，根据切线的判定

定理即可得到ED是。的切线；

(2)连结AD,证明aFBDsFDA,得到空=丝，根据正切的定义得到

AFAD

tanZA=tanZB£>F=—=1进而得到竺=工，即可求解；

AD464

本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余角性质，根据题

意，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】（1）证明：连结

,/COLAB,

：.ZE+ZC=90°,

,;FE=FD,OD=OC,

AZE=ZFDE,ZC=ZODC,

；・/FDE+/ODC=90。,

：.ZODF=90°,

：.OD.LDF,

；・FD是O的切线；

(2)解：连结A。，如图,

•；AB为O的直径，

：.ZADB=90°9

AZA+ZABD=90°,

•：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZA+ZODB=90°,

NBDF+NODB=90°,

:・ZA=ZBDF,

又,：ZDFB=ZAFD,

•••FBD^FDA,

DFBD

~AF~~AD

BD]

在RtAABD中，tanNA=tanZBDF=——=-,

AD4

.DF_1

••~~=一，

64

3

DF=-,

2

3

・・・EF=-.

2

17.(1)见解析

(2)4

【分析】本题考查了圆的切线的判断，

(1)